- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
3.3.Матричный метод решения линейной системы.
Определение. Матрицу А-1 называют обратной для матрицы А, если А-1 А=А А-1 =Е.
Из определения следует, что матрицы А и А-1 квадратные и для них справедлив переместительный закон.
Теорема. Если А невырождена, то обратная матрица существует.
Доказательство. Ограничимся квадратной матрицей 2-го порядка.
Пусть имеется некоторая матрица А=.
Пусть detA0. Пусть имеется некоторая матрица В=- неизвестная нам. И пусть АВ=Е , где Е=. Тогда после умножения слева по равенству матриц получаем систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными элементами матрицы В :, которая фактически распадается на две автономные системы, каждая из которых имеет один и тот же определитель, равныйопределителю матрицы А и только по две переменные.:Каждую из этих систем можно решить, например, по формулам Крамера и получить ответ в виде:в числителях каждой дроби записано алгебраическое дополнение соответствующих элементов транспонированной матрицы АТ. Доказательство закончено. И из него вытекает алгоритм поиска А-1 :
1-й шаг - вычисли detA;
2-й шаг - если detA не равен нулю, перейдите к пункту 3, иначе обратной матрицы не существует;
3-й шаг - транспонируйте матрицу А;
4-й шаг - для всех элементов транспонированной матрицы выпишите алгебраические дополнения;
5-й шаг составьте обратную матрицу из отношений .
Используя обратную матрицу легко решить линейную систему, если она имеет единственное решение. В самом деле, пусть дана система АХ=В с невырожденной матрицей А (т.е. detA0). Сформируем матрицу А-1 по вышеприведенному алгоритму. Теперь умножим слева обе части уравнение АХ=В на матрицу А-1. Получим А-1АХ= А-1 В. Но А-1 А=Е, а ЕХ=Х и потому получаем Х= А-1В.
Пример 1.6. Решите систему
Ранг основной и расширенной матрицы этой системы равен 2 и потому система имеет решение. Базисный минор системы равен М2 и приведен в примере 5. Фактически нам предстоит решить систему .
На этот раз мы решим ее, используя обратную матрицу для последней системы. Так как матрица последней системы невырождена (detA= М2), легко найти ее обратную матрицу А-1 =, а потому решение принимает вид Х==.
А для исходной системы Х=.
Ответ: система имеет бесчисленное количество решений, определяемых по формуле для Х.
3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
Рассмотренные примеры решения линейных систем являются чисто учебными. На практике (при решении прикладных профессиональных или научных задач) приходится решать системы с сотнями , тысячами и даже сотнями тысяч уравнений. Естественно, что выполнить это можно только специальными численными методами. Понятие о некоторых из них и рассматривается в этом разделе. Сразу следует отметить, что эти методы обеспечивают поиск только единственно существующего решения системы. Вопросы обеспечения наличия или отсутствия решения решает тот, кто собирается решать такую систему.
Для линейных систем с несколькими сотнями уравнений используют метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных в разных вариациях). Для систем с несколькими тысячами уравнений, матрицы которых имеют специальный вид, используют итерационные методы решения(о которых будет сказано ниже). Для большего числа уравнений используют вероятностные методы Монте-Карло).
Пусть систему АХ+В удалось преобразовать к виду Х= А1Х+В1. Если матрица А1 такова, что:
- сумма модулей коэффициентов строки (для всех строк) не превосходит 1;
- сумма модулей коэффициентов столбца (для всех столбцов) не превосходит 1, тогда можно организовать вычислительный процесс по схеме Х(k+1)= А1Х(k) +В1, где k - номер предыдущего приближения к решению системы. Этот процесс называют итерационным (повторяющимся) и продолжают до тех пор, пока , где- требуемая погрешность решения задачи. В качестве приближенного решения системы берут матрицу-столбец Х(k+1) .
Пример 1.7. Методом итераций решить систему
Решение. переставим в системе первое и второе уравнение. Затем из первого уравнения найдем х1; из второго - х2 и из третьего х3. В результате получим систему вида
Теперь организуем итерационный процесс по схеме
Проверяем выполнение условий сходимости процесса к точному решению системы. Видим ,что сумма модулей коэффициентов при неизвестных в 1-й строке равна 0,8 , что меньше 1. То же самое верно для
2-й и 3-й строк. Т.о. система обеспечивает сходимость приближений к точному решению.
В эту итерационную схему в качестве нулевого (k=0) приближения в правую часть подставим столбец свободных членов (так чаще всего и делают, хотя можно было брать любой набор для неизвестных)
Х(о) = (1 0,2 0,05) Т .Тогда после вычислений справа получим слева первое (k=1) приближение Х(1) = (1,01 0,105 -0,1) Т. Повторим вычисления и получим последовательно Х(2) = (1,081 0,089 -0,053) Т ;
Х(3) = (1,050 0,087 -0,048) Т ; Х(4) = (1,046 0,090 -0,046) Т;
Х(5) = (1,046 0,090 -0,047) Т; Х(6) = (1,046 0,090 -0,048) Т. Мы видим, Что между 6-м и 5-м приближениями расхождение не превосходит 0,001. Поэтому в качестве решения системы может быть принято шестое приближение Х= Х(6) = (1,046 0,090 -0,048) Т .Это значит : х1=1,046; х2=0,090; х3=-0,046.
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:
Общий вид и свойства системы уравнений.
Матричная форма системы уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
Системы однородных линейных уравнений, их решение.
Фундаментальная система решений.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Методом Гаусса решить систему:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
18. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: