kalashnikov_tom_1
.pdf4.4. ®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï |
101 |
¨á. 4.5: ¡®â ª®á¥à¢ ⨢ëå ᨫ ¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ ®¯à¥¤¥«ï- ¥âáï «¨èì ¯®«®¦¥¨¥¬ ç «ì®© ¨ ª®¥ç®© â®ç¥ª, ¯®í⮬ã à ¡®â â ª¨å ᨫ ¯à¨ ®¡å®¤¥ § ¬ªã⮣® ª®âãà à ¢ ã«î
¥à¥¬¥á⨬ ⥯¥àì ⥫® ¨§ â®çª¨ 1 ¢ â®çªã 2 ¯® ¯ã⨠I, |
§ ⥬ | ¨§ |
â®çª¨ 2 ¢ â®çªã 1 ¯® ¯ã⨠II. ®« ï ᮢ¥àè¥ ï à ¡®â ¯® § ¬ªã⮬ã |
|
ª®âãàã à ¢ á㬬¥ |
|
A = A1;I;2 + A2;II;1 : |
(4.32) |
à ¢¨¬ à ¡®âë ¯ã⨠2, ¯à®å®¤¨¬®¬ ¢ ¯àאַ¬ ¨ ®¡à ⮬ ¯à -
¢«¥¨ïå. |
ª ¦¤®© â®çª¥ ¯ã⨠¤¥©áâ¢ãîâ ⥠¦¥ ᨫë, |
® ¨§¬¥¥¨¥ |
|
¯à ¢«¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï |
®¡à ⮥ ¯à¨¢®¤¨â ª § ¬¥¥ d~s |
;d~s. ª¨¬ |
|
®¡à §®¬, |
¨áª®¬ ï à ¡®â |
à ¢ |
|
|
|
A2;II;1 = ;A1;II;2 : |
(4.33) |
ç¨âë¢ ï (4.31) ¨ (4.33), ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥¬ (4.32) ¢ ¢¨¤¥ |
|
||
|
A = A1;I;2 + A2;II;1 = A1;I;2 ; A1;II;2 = 0: |
(4.34) |
|
ë ¤®ª § «¨ íª¢¨¢ «¥â®áâì ã⢥ত¥¨©, çâ® 1) à ¡®â |
ª®á¥à¢ ⨢- |
ëå ᨫ ¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ 2) à ¡®â â ª¨å ᨫ ¯à¨ ®¡å®¤¥ § ¬ªã⮣® ª®âãà à ¢ ã«î.
â ª, áâ 樮 ஥ ¯®â¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ ª®á¥à¢ ⨢®. ® ¢¥à® ¨ ®¡à ⮥: ª®á¥à¢ ⨢®¥ ¯®«¥ ¯®â¥æ¨ «ì®. ®ª ¦¥¬ íâ®. ¥à¥¬ ¯à®- ¨§¢®«ìãî â®çªã ~r0 ¨ § ¤ ¥¬ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à®¨§¢®«ì®¥ § 票¥ ¯®â¥æ¨- «ì®© í¥à£¨¨ U(~r0). ਠ¯¥à¥å®¤¥ ¨§ â®çª¨ ~r0 ¢ «î¡ãî ¤àã£ãî â®çªã
~r ᮢ¥àè ¥âáï à ¡®â A~r0!~r, ¥ § ¢¨áïé ï ®â ¯ã⨠¯¥à¥å®¤ . |
®í⮬ã |
¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì äãªæ¨î U ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ à ¢¥á⢮¬ |
|
U(~r) = U(~r0) ; A~r0!~r: |
(4.35) |
102 |
« ¢ 4. |
¡®â ¨ í¥à£¨ï |
®¤ç¥àª¥¬ ¥é¥ à §: |
§ ¤ âì äãªæ¨î U ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà á⢠|
|
¬®¦® «¨èì ¢á«¥¤á⢨¥ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨ à ¡®âë ®â ¯ãâ¨. |
ç¥, ¯à®å®¤ï |
¨§ â®çª¨ ~r0 ¢ â®çªã ~r, ¬ë ¯®«ãç «¨ ¡ë à §ë¥ à¥§ã«ìâ âë, ¨ äãªæ¨ï U ¡ë« ¡ë ¥®¤®§ 箩.
ਬ¥¨¬ (4.35) ¤«ï á®á¥¤¥© â®çª¨ ~r + d~r:
U(~r + d~r) = U(~r0) ; A~r0!~r+d~r: |
(4.36) |
¡®âã ¯® ¯¥à¥¬¥é¥¨î ¨§ â®çª¨ ~r0 ¢ â®çªã ~r +d~r ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ª ª á㬬ã à ¡®â ¯® ¯¥à¥¬¥é¥¨î ¨§ ~r0 ¢ ~r ¨ ¨§ ~r ¢ ~r + d~r: A~r0!~r+d~r = A~r0!~r +A~r!~r+d~r
(ᮢ |
¯®«ì§ãïáì ¥§ ¢¨á¨¬®áâìî à ¡®âë ®â ¯ãâ¨). ëç⥬ (4.36) ¨§ |
|||
(4.35): |
|
|
|
|
|
U(~r) |
; |
U(~r + d~r) = A~r!~r+d~r: |
(4.37) |
|
|
|
|
|
«¥¢ |
á⮨⠯à¨à 饨¥ |
;dU, á¯à ¢ | í«¥¬¥â à ï à ¡®â |
dA. ®- |
|
«ã祮¥ á®®â®è¥¨¥ dA = |
;dU ¢«¥ç¥â § ᮡ®©, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, á®åà - |
|||
¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ë T + U, â.¥. |
¢¢¥¤¥ ï ¬¨ äãªæ¨ï U ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® |
ï¥âáï ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¥© á¨á⥬ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«¥ ª®á¥à- ¢ ⨢ëå ᨫ ¯®â¥æ¨ «ì®.
¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® ¢á¥ ¯®«ï ¢ ¯à¨à®¤¥ ¯®â¥æ¨ «ìë, ᨫë | ª®á¥à¢ ⨢ë. ¯à¨¬¥à, ᨫë âà¥¨ï ¨«¨ ᮯà®â¨¢«¥¨ï áà¥¤ë ¢á¥£¤ ¯à ¢«¥ë ¯à®â¨¢ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥îâ ®¤¨ - ª®¢ë© § ª ¢á¥© âà ¥ªâ®à¨¨ ⥫ . ਠá㬬¨à®¢ ¨¨ í«¥¬¥â àëå à ¡®â ¯® § ¬ªã⮬㠯ã⨠¬ë ¥ ¯®«ã稬 ã«ï: à ¡®â ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ®â ¤«¨ë ¯à®©¤¥®£® ¯ãâ¨. ç¨â, íâ¨ á¨«ë ¥ ª®á¥à¢ ⨢ë.
ந§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï U(~r0), 䨣ãà¨àãîé ï ¢ (4.35), ¥ ¨£à ¥â ஫¨, â ª ª ª 䨧¨ç¥áª¨ ¡«î¤ ¥¬ë¬ ï¥âáï ¨§¬¥¥¨¥ ¯®â¥æ¨ «ì-
®© í¥à£¨¨, ¥ ¥¥ ¡á®«î⮥ § 票¥. áâ®, ª®£¤ íâ® ¢®§¬®¦®, ¢ ª ç¥á⢥ ~r0 ¢ë¡¨à îâ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ãî â®çªã, ¨ ¯®« £ îâ § ç¥- ¨¥ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ¢ ¥© à ¢®© ã«î. ® íâ®â ¢ë¡®à ¥ ¢á¥£¤ ¢®§¬®¦¥, ª ª ¤¥¬®áâà¨àã¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥.
®áâ®ï®¥ ®¤®à®¤®¥ ¯®«¥ ᨫ â殮áâ¨
¡«¨§¨ ¯®¢¥àå®á⨠¥¬«¨ ¢á¥ ⥫ ¯ ¤ îâ á ¯®áâ®ïë¬ ã᪮२¥¬
~g, ¯à ¢«¥ë¬ ª æ¥âàã ¯« ¥âë. ᫨ ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¤¢¨¦¥- ¨¥ ¢ ®¡« áâ¨, «¨¥©ë¥ à §¬¥àë ª®â®à®© ¬®£® ¬¥ìè¥ à ¤¨ãá ¥¬«¨,
§¥¬ãî ¯®¢¥àå®áâì ¬®¦® áç¨â âì ¯«®áª®©. í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¯®«¥ â殮á⨠®¤®à®¤®: ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ⥫®, ¢ «î¡®© â®çª¥ ¨¬¥îâ
4.4. ®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï |
103 |
®¤¨ ª®¢®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ¨ ¢¥«¨ç¨ã ~ ®ª ¦¥¬ ¯®â¥æ¨ «ì®áâì
F = m~g.
¯®«ï ᨫë â殮á⨠㠯®¢¥àå®á⨠¥¬«¨ (à¨á. 4.6).
¨á. 4.6: 宦¤¥¨¥ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ¯®«ï ᨫ â殮áâ¨
«¥¬¥â à ï à ¡®â ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨¨ d~s à ¢
~ |
|
dA = F d~s = m~g d~s = ;mg dh |
(4.38) |
£¤¥ ;dh | ¯à®¥ªæ¨ï ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¯à ¢«¥¨¥ ¤¥©á⢨ï ᨫë, â.¥. dh | ¨§¬¥¥¨¥ ¢ëá®âë ⥫ . ®« ï à ¡®â ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨¨ ⥫ ¨§ â®çª¨ 1 ¢ â®çªã 2 à ¢
A1!2 = ;mg Z2 dh = ;mg(h2 ; h1): (4.39)
1
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¯®«¥ ᨫ â殮áâ¨ à ¡®â ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ãâ¨, ¯® ª®â®- ஬㠤¢¨¦¥âáï ç áâ¨æ , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ç «ìë¬ ¨ ª®¥çë¬ ¯®«®¦¥¨ï¬¨ ç áâ¨æë ¢ ¯à®áâà á⢥. ®®â¢¥âá⢥®, ¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¢ ¯®«¥ ᨫ â殮á⨠室¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬ à¥æ¥¯â®¬
ª ª
U(h) = U(h0) ; Ah0!h = U(h0) + mg(h ; h0): |
(4.40) |
᫨ ®âáç¨âë¢ âì ¢ëá®â㠮⠯®¢¥àå®á⨠¥¬«¨, ¯à¨¯¨á ¢ ¯à¨ í⮬ â®çª¥ ¯®¢¥àå®á⨠㫥¢ãî ¯®â¥æ¨ «ìãî í¥à£¨î, ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥- ¤¥«¨âì ¯à®¨§¢®«ìãî ¯®áâ®ïãî ¢ (4.40). ®« £ ï h = 0 ¨ U(0) = 0,
104 |
« ¢ 4. ¡®â ¨ í¥à£¨ï |
室¨¬ U(h0) = mgh0, â ª çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¢ëá®âë ¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¯à¨®¡à¥â ¥â å®à®è® § ª®¬ë© ¢¨¤
U(h) = mgh:
¤ ç 4.11. áå®¤ï ¨§ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï, ¯®ª § âì á®åà ¥¨¥ ¯®«- ®© í¥à£¨¨ ⥫ , ¤¢¨¦ã饣®áï ¢ ®¤®à®¤®¬ ¯®«¥ ᨫë â殮áâ¨.
¥è¥¨¥. 롥६ ç «® ª®®à¤¨ â ¯®¢¥àå®á⨠¥¬«¨ ¨ ®áì Oz ¯à ¢¨¬ ¢¥à⨪ «ì®. ª ª ª ⥫® ¤¢¨¦¥âáï á ¯®áâ®ïë¬ ã᪮२¥¬ ~g, ¥£® âà ¥ªâ®à¨ï ®¯¨áë¢ ¥âáï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬
~g t2 ~r(t) = ~r0 + ~v0t + 2 :
¨ää¥à¥æ¨àãï ¯® ¢à¥¬¥¨, 室¨¬ ᪮à®áâì ⥫ :
~v(t) = ~v0 + ~g t:
¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï ⥫ |
à ¢ |
|
|
|
T = |
mv2(t) |
= |
m(~v0 + |
~g t)2 |
2 |
2 |
= |
||
|
|
|
||
|
mv2 |
|
|
mg2t2 |
= |
2 0 + m~v0 ~g t + |
2 : |
ëá®âã ⥫ ¤ ¯®¢¥àå®áâìî (â.¥. ¯à®¥ªæ¨î ~r) ¬®¦® ©â¨ ¨§ ᪠- «ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ~r ~g, ¯à¨¨¬ ï ¢® ¢¨¬ ¨¥, çâ® ¢¥ªâ®à ã᪮२ï
᢮¡®¤®£® ¯ ¤¥¨ï ¯à ¢«¥ ¢¨§: ~r ~g = xgx+ygy+zgz = 0 x+0 y;g z = ;gz, ®âªã¤ ¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ⥫ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥
U = mgz = ;m~r ~g = ;m~r0 ~g ; m~v0 ~g t ; |
mg2t2 |
2 : |
ª« ¤ë¢ ï U á ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¤«ï ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨, ¬ë ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ ᮪à 饨¨ á« £ ¥¬ëå, § ¢¨áïé¨å ®â ¢à¥¬¥¨:
|
mv2 |
|
mv2 |
|
E = T + U = |
2 0 |
; m~r0 ~g = |
2 0 |
+ mgz0: |
ç¥ £®¢®àï, ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t ¯®« ï í¥à£¨ï à ¢ ç «ì- ®© ¯®«®© í¥à£¨¨ ¯à¨ t = 0, â.¥. á㬬¥ ç «ìëå ª¨¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯®â¥æ¨ «ìëå í¥à£¨© ⥫ .
4.4. ®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï |
105 |
®«¥ æ¥âà «ìëå ᨫ
®«¥ æ¥âà «ìëå ᨫ â ª®¢®, çâ® á¨«ë ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à - ¢«¥ë ¯® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã ¨ § ¢¨áïâ ®â à ááâ®ï¨ï ¤® ¥ª®£® æ¥âà .
᫨ ¢ë¡à âì ç «® ª®®à¤¨ â ¢ í⮬ æ¥âà¥, â® æ¥âà «ìë¥ á¨«ë |
||
¯à¥¤áâ ¢¨¬ë ¢ ¢¨¤¥ |
~ |
ਬ¥à ¬¨ ¬®£ãâ á«ã¦¨âì ¯®«¥ |
F (~r) = (~r=r)F (r). |
â®ç¥ç®£® í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ ¨«¨ £à ¢¨â 樮®¥ ¯®«¥ áä¥à¨ç¥áª¨ ᨬ¬¥âà¨ç®£® ®¡ê¥ªâ .
«¥¬¥â à ï à ¡®â æ¥âà «ìëå ᨫ (à¨á. 4.7) § ¯¨áë¢ ¥âáï ⮣¤
ª ª
~ |
|
dA = F d~s = F (r) ~nr d~s = F (r)dr |
(4.41) |
£¤¥ ~nr = ~r=r | ¥¤¨¨çë© ¢¥ªâ®à ¢¤®«ì à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à . âáî¤ ¯®« ï à ¡®â
r2 |
|
|
A1!2 = rZ1 |
F(r)dr |
(4.42) |
¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë âà ¥ªâ®à¨¨, â.¥. ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 |
ç áâ¨æã ¢ |
æ¥âà «ì®¬ ¯®«¥ ª®á¥à¢ ⨢ë. ®®â¢¥âá⢥®, ¬®¦® ¢¢¥á⨠¯®â¥- æ¨ «ìãî í¥à£¨î
r |
|
|
U(r) = U(r0) ; rZ0 |
F (r0)dr0 |
(4.43) |
ª®â®à ï ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â à ááâ®ï¨ï ¤® æ¥âà , ® ¥ ®â ¯à - ¢«¥¨ï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à .
®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à æ¨ï \£à ¤¨¥â", ¯à¨¬¥¥ ï ª ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ U(r), ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤ ¥â ¬ ¯®«¥ æ¥âà «ìëå ᨫ á ¬®¤ã«¥¬ F(r), ¯à ¢«¥ëå ¯® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã ~r. ¥à¥¬ ¯à®¨§¢®¤ãî ®â U(r) ¯® ª®®à¤¨ ⥠x ª ª ¯à®¨§¢®¤ãî á«®¦®© äãªæ¨¨:
@x@ U(r) = dUdr @x@r :
ந§¢®¤ ï ¯® r ¢ëç¨á«ï¥âáï ¡¥§ âà㤠¨§ (4.43): dUdr = ;F (r):
106 |
« ¢ 4. ¡®â ¨ í¥à£¨ï |
¨á. 4.7: ®«¥ æ¥âà «ìëå ᨫ ¢á¥£¤ ¯®â¥æ¨ «ì®
ந§¢®¤ ï r ¯® x à ¢
@r |
|
@ |
p |
x2 |
+ y2 + z2 |
|
|
|
2x |
|
x |
|
||
@x |
= |
|
|
@x |
= |
|
|
|
|
= r |
: |
|||
|
|
|
p |
|
||||||||||
|
|
2 |
x2 + y2 + z2 |
|
||||||||||
ª¨¬ ®¡à §®¬, |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U(r) = ;F (r) r: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
«®£¨çë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¯®«ãç âáï ¯à¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¨ ¯® ª®®à¤¨- â ¬ y z. ¨â®£¥
|
~ |
@ |
~ |
@ |
~ |
@ |
|
F (r) |
~ ~ |
~ |
;grad U(r) = |
|
|
@zU(r) = |
|
||||||
;i |
@xU(r) ; j |
@yU(r) ; k |
r |
i x + j y + k z = |
||||||
= |
F (r) ~rr = ~nr F (r): |
|
|
|
|
|
|
ë ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® ¨á室®¥ æ¥âà «ì®¥ ¯®«¥ ᨫ ¢®ááâ ¢«¨¢ ¥âáï ¯®
äãªæ¨¨ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ~
: F = ;grad U:
®¢®àï ® æ¥âà «ìëå ᨫ å, ¬ë â ª¦¥ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¥ª®â®àãî ¡- áâà ªæ¨î. â® ®§ ç ¥â ᨫ®¢®© æ¥âà, ª ª®â®à®¬ã (¨«¨ ®â ª®â®à®£®) ¯à ¢«¥® ¯®«¥ ᨫ? ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® æ¥âà ¥¯®¤¢¨¦¥, ® à¥- «ì® ® ®¡à §®¢ ª ª¨¬¨-⮠䨧¨ç¥áª¨¬¨ ⥫ ¬¨ | § àï¤ ¬¨ ¢ á«ã- ç ¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï, ¬ áá ¬¨ | ¢ á«ãç ¥ £à ¢¨â 樮®£®. à®áâ® ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥ëå ãá«®¢¨ïå ¤¢¨¦¥¨¥¬ æ¥âà ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì. ª - ¦¥¬, ¨§ãç ï ¤¢¨¦¥¨¥ á¯ã⨪ ¢®ªà㣠¥¬«¨ ¬ë, áâண® £®¢®àï, ¤®«¦ë ãç¥áâì, çâ® á¯ã⨪ ¨ ¥¬«ï ¤¢¨¦ãâáï ¢®ªà㣠®¡é¥£® æ¥âà ¬ áá. ®
4.5. ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ |
107 |
¬ áá ¥¬«¨ ¬®£® ¯à¥¢ëè ¥â ¬ ááã á¯ã⨪ , æ¥âà ¬ áá á¨áâ¥¬ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á æ¥â஬ ¥¬«¨, ¨ ¥¥ ¬®¦® áç¨â âì ¥¯®¤¢¨¦- ë¬ æ¥â஬ £à ¢¨â 樮®£® ¯®«ï.
᫨ ¦¥ â ª®£® ¤®¯ã饨ï ᤥ« âì ¥«ì§ï, â® à áᬠâਢ îâ ᨫë
¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ⥫ ¬¨. |
®£¤ |
á¨«ë ¯à ¢«¥ë ¢¤®«ì «¨¨¨, |
ᮥ¤¨ïî饩 ⥫ , ¨å ¢¥«¨ç¨ |
§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢§ ¨¬®£® à ááâ®- |
|
ï¨ï r12 = j~r1 ; ~r2j, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á |
«®£®¬ æ¥âà «ìëå ᨫ. ¤¥áì |
|
⮦¥ ¬®¦® ¢¢¥á⨠¯®â¥æ¨ «ìãî í¥à£¨î ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⥫ ¬¥¦¤ã |
ᮡ®© U(r12), â ª ç⮠ᨫ |
~ |
¬¥¦¤ã ⥫ ¬¨ 1 |
¨ 2 㤮¢«¥â¢®àï¥â á®®â- |
||
F12 |
|||||
~ |
d~r12 |
= ;dU(r12): |
|
|
|
®è¥¨î F12 |
|
|
4.5ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨
ãáâì § ¤ á¨á⥬ N ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª á ¬ áá ¬¨ m1 : : : mN .
।¯®«®¦¨¬, çâ® â®çªã á ®¬¥à®¬ i ¤¥©áâ¢ãîâ 1) ¢ãâ२¥ ª®- |
|||||||
~ |
á® áâ®à®ë ¤à㣨å â®ç¥ª j á¨á⥬ë, 2) ¢¥è¨¥ |
||||||
á¥à¢ â¨¢ë¥ á¨«ë Fij |
|||||||
ª®á¥à¢ â¨¢ë¥ á¨«ë |
~ |
|
|
|
|
|
|
Fi ¨ 3) ª ª¨¥-â® ¥ª®á¥à¢ â¨¢ë¥ á¨«ë i. à ¢- |
|||||||
¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï i;© â®çª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
|
|
|||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
_ |
X |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
mi~vi = |
Fij |
+ Fi |
+ i |
i = 1 : : : N: |
(4.44) |
||
|
j=1 j=6i
¬®¦¨¬ ®¡¥ ç áâ¨ í«¥¬¥â ஥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ d~ri = ~vi dt ¨ á«®¦¨¬ ¢á¥ ãà ¢¥¨ï ¤«ï â®ç¥ª á ®¬¥à ¬¨ i = 1 : : : N. ਠí⮬ ãç⥬, çâ®
~v_i dt = d~vi:
N |
|
N |
N |
|
|
X |
|
X X |
~ |
||
mi~vi d~vi = |
Fij |
||||
i=1 |
i=1 |
|
|||
|
j=1 |
|
j=6i
N
d~ri + Fi
X ~
i=1
|
N |
|
|
|
X |
~ |
|
d~ri + |
i d~ri: (4.45) |
||
i=1 |
áᬮâਬ ¯®-®â¤¥«ì®á⨠ª ¦¤ë© ç«¥ ¢ í⮬ ãà ¢¥¨¨.
«¥¢®© ç á⨠á⮨⠢¥«¨ç¨
N |
mi~vi d~vi = |
N |
mi d |
|
vi2 |
|
= d |
N mivi2 |
! = dT |
(4.46) |
i=1 |
i=1 |
2 |
i=1 2 |
|||||||
X |
X |
|
|
X |
|
|
ª®â®à ï á ®ç¥¢¨¤®áâìî ï¥âáï ¯à¨à 饨¥¬ ¯®«®© ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à- £¨¨ T ç áâ¨æ á¨á⥬ë.
108 « ¢ 4. ¡®â ¨ í¥à£¨ï
¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(4.45) ¬®¦® ¯à¥®¡à §®-
¢ âì, |
¥á«¨ ãç¥áâì, çâ® ¢ ¥£® ¢å®¤ïâ ®¤¨ ª®¢ë¥ ¯® ¬®¤ã«î á¨«ë ¢§ |
- |
||||
|
|
~ |
~ |
¨ â.¤. |
â ª, ¯® |
|
¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨, ¯à¨¬¥à, F12 |
= ;F21 |
|||||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
âà¥â쥬㠧 ª®ã ìîâ® Fji = ;Fij , ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì íâã á㬬ã
â ª, ç⮡ë á㬬¨à®¢ ¨¥ ¢ë¯®«ï«®áì ⮫쪮 ¯® ¨¤¥ªá ¬ i < j. ¬¥-
áâ® ®¡é¥£® ¢ë¢®¤ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï í⮣® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ N = 3:
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X X |
~ |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
~ |
||
Fij d~ri |
= (F12 |
|
+ F13) d~r1 |
+ (F21 + F23) d~r2 + (F31 + F32) d~r3 = |
||||||||||||||||
i=1 j=1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j=6i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
d~r1 + ( |
|
~ |
~ |
|
|
d~r2 + ( |
|
~ |
|
|
~ |
|
d~r3 |
= |
||
= (F12 + F13) |
|
|
F12 |
+ F23) |
|
; |
F13 |
; |
F23) |
|
||||||||||
~ |
|
|
|
~ ; |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||||||
= F~12 |
d~(~r1 ; ~r~2) + F13 |
d(~~r1 ; |
~r3) + F23 |
d(~r2 |
; ~r3) = |
|
|
|
||||||||||||
= F12 dr12 + F13 d~r13 + F23 d~r23: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥¯¥àì, ãç¨âë¢ ï ª®á¥à¢ ⨢®áâì ¢ãâ२å ᨫ, ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ëà -
§¨âì ª ¦¤®¥ ¨§ á« £ ¥¬ëå ¢ ¯®á«¥¤¥© áâà®çª¥ ç¥à¥§ ¨§¬¥¥¨¥ ¯®â¥æ¨- |
||
~ |
~ |
= ;dU(r12) ¨ |
«ì®© í¥à£¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯ àë ç áâ¨æ: F12 |
dr12 |
|
â.¤. |
|
|
®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(4.45) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤:
N |
N |
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
~ |
d~rij = |
|
|
[;dU(rij )] = |
|
i=1 |
|
|
Fij |
i=1 |
|
|
||
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|||
X X |
|
|
X X |
|
|
|||
|
j>i |
|
|
|
j>i |
|
|
|
|
|
N N |
|
|
|
|
||
= ;d |
|
|
U(rij) |
= ;dU¢ãâà: |
(4.47) |
|||
|
|
i=1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
hX Xj=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
j>i |
|
|
|
|
|
¤¥áì ¢¢¥¤¥® ®¡®§ 票¥ ~rij |
= ~ri ; |
~rj. |
|
|
|
|||
ë ¯®«ã稫¨, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢® (á ®¡à âë¬ § ª®¬) ¨§- |
¬¥¥¨î á㬬 ன ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢á¥å ¯ à ç - áâ¨æ, â.¥. ã¡ë«¨ ¯®«®© ¢ãâ॥© ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ á¨á⥬ë.
â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (4.45) ®¡ëçë¬ ®¡à §®¬ ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¨§¬¥- ¥¨¥ ¯®«®© ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¢ ¯®«¥ ¢¥è¨å ª®á¥à¢ -
4.5. ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ |
109 |
⨢ëå ᨫ:
N |
|
|
N |
|
dU(ri) = ;d " |
N |
U(ri)# = ;dU¢¥è: |
|
~ |
; |
|
|
|
||
i=1 |
Fi d~ri = |
i=1 |
i=1 |
||||
X |
|
|
X |
|
X |
|
|
à¥âì¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢® à ¡®â¥ ¥ª®á¥à¢ ⨢ëå ᨫ: |
|||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
X |
~ |
|
|
||
|
|
i d~ri = X dAi = dA: |
i=1
¡ê¥¤¨ïï ¢á¥ í⨠१ã«ìâ âë, ¯®«ãç ¥¬
dT = ;dU¢ãâà ; dU¢¥è + dA
¨«¨, ¢¢®¤ï ®¡®§ 票¥ E = T + U¢ãâà + U¢¥è,
dE = dA:
(4.48)
(4.49)
(4.50)
¥«¨ç¨ E ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«ãî ¬¥å ¨ç¥áªãî í¥à£¨î á¨á⥬ë.᫨ ⥫ á¨áâ¥¬ë ¤¥©áâ¢ãîâ ⮫쪮 ª®á¥à¢ â¨¢ë¥ á¨«ë, â® dA = 0 ¨, ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ (4.50), dE = 0 ¨ ¥¥ ¯®« ï ¬¥å ¨ç¥áª ï í¥à£¨ï
E ¥ ¨§¬¥ï¥âáï. ª¨¬ ®¡à §®¬, § ª® á®åà ¥¨ï ¬¥å ¨ç¥áª®©
í¥à£¨¨ £« á¨â, çâ®
¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¥ª®б¥а¢ в¨¢ле б¨« ¯®« п ¬¥е ¨з¥- ᪠ï í¥à£¨ï á¨á⥬ë á®åà ï¥âáï:
E = T + U¢ãâà + U¢¥è = const:
®£¤ ¢ á¨á⥬¥ ¤¥©áâ¢ãîâ ¥ª®á¥à¢ â¨¢ë¥ á¨«ë, à ¡®â ª®â®àëå à ¢ ã«î. í⮬ á«ãç ¥ í¥à£¨ï â ª¦¥ á®åà ï¥âáï. ® ¥á«¨ ¥ª®- б¥а¢ в¨¢л¥ б¨«л п¢«повбп б¨« ¬¨ ва¥¨п, ᮯà®â¨¢«¥¨ï áà¥¤ë ¨ â.¯., â® ¨å à ¡®â ¢á¥£¤ ®âà¨æ ⥫ì (â ª¨¥ á¨«ë ¯à ¢«¥ë ¯à®â¨¢ ¯¥-
६¥é¥¨ï), ®âªã¤ á«¥¤ã¥â dE < 0 | ¬¥å ¨ç¥áª ï í¥à£¨ï á¨á⥬ë ã¡ë¢ ¥â.
ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ï¥âáï ¢á¥®¡ê¥¬«î騬. ®ª ¬ë ¨¬¥¥¬
¤¥«® ⮫쪮 á ¬¥å ¨ç¥áª®© í¥à£¨¥©, ® ¥áâì ¨ ¤à㣨¥ ¥¥ ä®à¬ë, ¢ ⮬ ç¨á«¥, ¡¥§ ᮬ¥¨ï, ¬ ¯®ª ¥ ¨§¢¥áâë¥. ᫨ ®¡ à㦨¢ ¥âáï, çâ®
¢ª ª®¬-«¨¡® 䨧¨ç¥áª®¬ ¯à®æ¥áᥠí¥à£¨ï ¥ á®åà ï¥âáï, ¬ë ¯à¨¤ã¬ë-
¢¥¬ ®¢ãî ä®à¬ã í¥à£¨¨, çâ®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨âì ¥¥ â®çë© ¡ « á. ®-
áâ㯠ï â ª, ¬ë ¢®¢á¥ ¥ \¦ã«ì¨ç ¥¬" ¨ ¥ ¤¥« ¥¬ ¥ç¥á⮩ ¯®¯ë⪨ áªàëâì ¥¤®áâ ⮪ è¨å § ¨© ® ¯à¨à®¤¥. ª ãç¥ë¥ \¯à¨¤ã¬ «¨"
110 |
« ¢ 4. ¡®â ¨ í¥à£¨ï |
¨á. 4.8: ¡« á⨠¤¢¨¦¥¨ï ç áâ¨æë ¢¡«¨§¨ ¯®«®¦¥¨© ãá⮩稢®£® ¨ ¥ãá⮩ç¨- ¢®£® à ¢®¢¥á¨ï
⥯«®¢ãî, í«¥ªâ஬ £¨âãî, 拉àãî ¨ ¤à. ä®à¬ë í¥à£¨¨. ¤¨ ¨§ ®á®¢®¯®«®¦¨ª®¢ ⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì®á⨠ਠ㠪 ॠ¯¨á «: \ ®- ᪮«ìªã ¬ë ¥ ¢ á®áâ®ï¨¨ ¤ âì ®¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ í¥à£¨¨, § ª® á®åà - ¥¨ï í¥à£¨¨ á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ¯à®áâ®, ª ª 㪠§ ¨¥ â®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥çâ®, ®áâ î饥áï ¯®áâ®ïë¬ (¢ «î¡®¬ 䨧¨ç¥áª®¬ ¯à®- æ¥áá¥). ª ª¨¬ ¡ë ®âªàëâ¨ï¬ ¨ ¯à¨¢¥«¨ á ¡ã¤ã騥 íªá¯¥à¨¬¥âë, ¬ë § à ¥¥ § ¥¬, çâ® ¨ ⮣¤ ¡ã¤¥â ¥çâ®, ®¡« ¤ ой¥¥ б¯®б®¡®бвмо б®еа пвмбп, ¨ íâ® ¥çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ §ë¢ âì í¥à£¨¥©".
4.6á«®¢¨ï à ¢®¢¥á¨ï ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë
ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ ¯®§¢®«ï¥â ¯à®¢¥á⨠«¨§ ®¡é¨å ®á®¡¥®- á⥩ ¤¢¨¦¥¨ï, ¥á«¨ ¨§¢¥áâ äãªæ¨ï ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨. áᬮ- âਬ ¤«ï ¯à¨¬¥à ¬ â¥à¨ «ìãî â®çªã (ç áâ¨æã), ¤¢¨¦гйгобп ¢¤®«м
®á¨ Ox ¢ ¯®â¥æ¨ «ì®¬ ¯®«¥, ¯®ª § ®¬ à¨á. 4.8. ®áª®«ìªã ¢ ®¤- ®à®¤®¬ ¯®«¥ ᨫ â殮á⨠¯®â¥æ¨ «ì ï í¥à£¨ï ¯à®¯®à樮 «ì ¢ë-
á®â¥ ¯®¤ê¥¬ ⥫ , ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ «¥¤ïãî £®àªã (¯à¥¥¡à¥£ ¥¬ â२¥¬) á ¯à®ä¨«¥¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 äãªæ¨¨ U(x) à¨á㪥.
§ § ª® á®åà ¥¨ï í¥à£¨¨ E = T +U ¨ ¨§ ä ªâ , çâ® ª¨¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï T = E ; U ¢á¥£¤ ¥®âà¨æ ⥫ì , á«¥¤ã¥â, çâ® ç áâ¨æ ¬®¦¥â 室¨âìáï «¨èì ¢ ®¡« áâïå, £¤¥ E U. à¨á㪥 ç áâ¨æ á ¯®«®©
í¥à£¨¥© E ¬®¦¥â ¤¢¨£ âìáï ⮫쪮 ¢ ®¡« á⨠[x1 x2] ¨ x3