Выч.мат
..pdf
yn′ = yn −hyn−1 + O(h)
т.к. оно имеет первый порядок точности.
Пример. Методом прогонки решить краевую задачу
u′′ − 2xu′ − 2u = −4x, |
0 ≤ x ≤1 |
(10) |
u(0) =0, |
u(1) =1 |
(11) |
на равномерной сетке с шагом h = 0.1.
Решение. Коэффициенты системы (4) для уравнения (10) равны
a |
i |
= 2(1 + hx |
i |
), b = 4(1 + h2 ), c |
i |
= 2(1 − hx |
i |
), d |
i |
= −8h2 x |
i |
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α =0, |
β =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисления удобно оформить в виде таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
|
|
xi |
ai |
|
|
bi |
ci |
di |
|
|
Прямой ход |
|
|
yi |
|
|
ui |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li+1 |
|
|
Ki+1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0.1 |
2.02 |
|
4.04 |
1.98 |
-0.008 |
0.490099 |
0.0019802 |
|
0.0999999 |
0.1 |
||||||||
2 |
|
|
0.2 |
2.04 |
|
4.04 |
1.96 |
-0.016 |
0.644695 |
0.0065916 |
|
0.1999999 |
0.2 |
||||||||
3 |
|
|
0.3 |
2.06 |
|
4.04 |
1.94 |
-0.024 |
0.715358 |
0.0138568 |
|
0.2999998 |
0.3 |
||||||||
4 |
|
|
0.4 |
2.08 |
|
4.04 |
1.92 |
-0.032 |
0.752335 |
0.0238326 |
|
0.3999997 |
0.4 |
||||||||
5 |
|
|
0.5 |
2.10 |
|
4.04 |
1.90 |
-0.040 |
0.772327 |
0.0366036 |
|
0.4999994 |
0.5 |
||||||||
6 |
|
|
0.6 |
2.12 |
|
4.04 |
1.88 |
-0.048 |
0.7824639 |
0.0522751 |
|
0.5999995 |
0.6 |
||||||||
7 |
|
|
0.7 |
2.14 |
|
4.04 |
1.86 |
-0.056 |
0.7862941 |
0.0709646 |
|
0.6999996 |
0.7 |
||||||||
8 |
|
|
0.8 |
2.16 |
|
4.04 |
1.84 |
-0.064 |
0.7857859 |
0.0927926 |
|
0.7999997 |
0.8 |
||||||||
9 |
|
|
0.9 |
2.18 |
|
4.04 |
1.82 |
-0.072 |
0.7821273 |
0.1178725 |
|
0.8999998 |
0.9 |
||||||||
10 |
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
На прямом ходе таблица заполняется построчно в столбцах i – Ki+1 включительно. При i = 1 имеем
L2 |
= |
c1 |
= |
1.98 |
, |
K 2 |
= |
a1α − d1 |
= |
0.008 |
. |
|
b1 |
4.04 |
b1 |
4.04 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В остальных строчках столбцы Li+1, Ki+1 заполняются в соответствии с рекуррентными соотношениями (8). После заполнения строч-
ки i = 9 начинается процедура обратного хода:
y9 = L10 y10 + K10 =0.78212734 1 + 0.1178725 .
Дальнейшее заполнение столбца yi снизу вверх проводится по формулам обратного хода (9). В последнем столбце приведено точное решение ui.
Обращает на себя внимание высокая точность приближенного решения yi. В данном случае для краевой задачи (10), (11) справедливы выводы, приведенной выше теоремы о погрешности решения. Поскольку точное решение этой задачи есть u(x) = x , то M4 = 0,
81
следовательно, все погрешности приближенного решения yi – это погрешности округления.
Задачи
Методом прогонки решить краевые задачи с шагом h :
1. |
y′′− y = 0, |
y(0) = 0, y(1) = 1 , |
0 ≤ x ≤1 , |
h =0.2 |
2. |
y′′+ y = 0, |
y(0) = 0, y(1) = 1 , |
0 ≤ x ≤1 , |
h =0.2 |
3. y′′+ y = x, |
y(0) = 0, y(π / 2) = 0 , 0 ≤ x ≤π / 2 , h =π / 10 |
|||
4. |
y′′− xy = e x , |
y(0) = 0, y(1) = 0 , |
0 ≤ x ≤1 , |
h =0.2 |
5.Подсчитать количество арифметических операций, необходимое для решения методом прогонки системы N линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.
6.Составить разностную схему второго порядка точности для краевой задачи:
y′′− p(x) y = f (x) , |
0 ≤ x ≤ a |
|
′ |
′ |
|
y (0) =α , |
y (a) = β |
|
Здесь α и β − числа, p(x) и f(x) – дважды непрерывно дифференцируемые функции и p(x) > 0.
7. Составить разностную схему второго порядка точности задачи
y′ − 4z =0, |
y = y(x), z = z(x), 0 ≤ x ≤1 |
z′ − y + 3z =0 |
|
y(0) =1, |
z(1) = 2 |
8. Какой порядок точности будет иметь разностное решение задачи (1), (1b), если граничные условия на равномерной сетке {xn, 0≤ n ≤ N} аппроксимировать выражениями
u0′ ≈ |
u1 − u0 |
, |
u′N |
≈ |
uN − uN −1 |
. |
h |
|
|||||
|
|
|
|
h |
||
Ответы и указания
2.Сравнить решение с функцией y = sin x/ sin1. 3. Сравнить решение
сфункцией y = x - π sin x /2. 5. 8N. 7. Свести систему уравнений к одному уравнению второго порядка.
82
Литература
1.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1,2. – М.: Наука, 1974.
2.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – Т.1. –
М.: Наука, 1966.
3.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978
4.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные ме-
тоды. – М.−С-Пб.: Физматлит, 2002.
5.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.
6.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.
7.Черкасова М.П. Сборник задач по численным методам.
– Минск: Высшая школа, 1967.
Содержание
I. Абсолютная и относительная погрешность числа. Правила округления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Вычисление значений трансцендентных функций . . . . . . . . 6 III. Интерполяция функций и погрешность интерполяции . . . . 15 IV. Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 V. Приближенное вычисление определенных интегралов . . . 38 VI. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений …49 VII. Численное решение обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 VIII. Численное решение задач линейной алгебры . . . . . . . . . 65 IX. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ-2). Метод прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Редактор О.Ю.Волошенко Компьютерная верстка А.А.Шутов
ЛР № 020713 от 27.04.98
Подписано к печати |
Формат бумаги 60x84/16 |
|
Печать ризограф. |
Бумага KYMLUX |
Печ.л. 5,0 |
Заказ № |
Тираж 150 экз. |
Цена договорная |
Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1