Выч.мат

В тех случаях, когда для уравнения (2) не выполняется условие сходимости (4) можно использовать следующий метод решения. Пусть на всем рассматриваемом промежутке [a, b], содержащем корень, справедливо неравенство

ϕ′(x) ≥ q > 1 .

Пусть существует обратная функция ϕ−1 (x) =ψ(x) . Тогда равенство

(2) можно записать в виде x =ψ(x) . В соответствии с правилом дифференцирования обратной функции имеем ψ′(x) =1/ ϕ′(x) . Отсюда находим |ψ ′(x) | ≤1 / q <1 , т.е. сходящийся итерационный процесс для функции ψ(x) .

Пример 1. Итерационная процедура вычисления квадратного корня x = a (x2 = a). Итерационные процессы можно построить раз-

ными способами:

а) xn+1 = xan ,

здесь ϕ(x)= a / x ; имеем ϕ′(x)= −a / x2 и вблизи корня x2 = a получаем ϕ′ =1 . В данном случае итерационный процесс не сходится, а имеет место колебание между двух точек;

52

рации точка x1 попадает в область x > a монотонной сходимости

(рис. 13).

Пример 2. Найти корень уравнения (построить итерационный процесс):

Решение. Вначале графически или с помощью таблиц отыскиваются ориентировочные значения корней. Здесь это можно сделать с помощью разложения sin x в ряд:

отсюда находим

xn+1 = 2sin xn .

Легко видеть, что вблизи корня процесс носит колебательный характер. Начальное приближение x0 = 1.9 дает последовательность xn: 1.89260, 1.89733, 1.89431, 1.89624, 1.89501, 1.89580, 1.89530,…, 1.89549. С точностью до пяти знаков решение есть x = 1,89549 .

53

Таким образом, точка пересечения касательной к кривой в точке x0

с осью x определяет координату x1 следующего приближения. Из графика ясно, что в качестве начального приближения целесообразно брать точку x0 , в которой f (x0 )f ′′(x0 )> 0 , при этом последователь-

ность {xn } монотонно стремится к корню (рис.15).

Пример 3. Методом Ньютона найти корни уравнения с точностью до четырех знаков после запятой

x = cos x .

Решение. Обозначаем f(x) = x – cosx, тогда f‘ = 1 + sinx. Это дает следующую итерационную формулу:

Из геометрических соображений можно определить, что единственный корень расположен в промежутке 0, π/2. Нулевое приближение x0 = 1 дает следующую последовательность приближений: x1

=0.7503639, x2 =0.7391129, x3 =0.7390851, x4 =0.7390851. Ответ: x = 0.7391.

Пример 4. Исследовать сходимость итерационного процесса вычисления корня x = m a методом Ньютона для соотношения

f (x) = xm − a , a >0, m >1 .

Решение. Производная f равна f ′(x) = mxm−1 и итерационная формула имеет вид

Графики функций y = x и y = ϕ(x) приведены на рис. 16.

Функция Φ(z) = (z − a) z является монотонной и ограниченной на бесконечности (рис. 17). Следовательно, из | f f”/f’2 | < 1 находим, что процесс гарантированно сходится, если x0 > m a . Однако, как видно из рис.16, он сходится и в противоположном случае. Если

55

x0 < m a , то после первой же итерации следующее приближение x1

1

Задачи

1. Методом Ньютона найти корни уравнения с четырьмя правильными знаками после запятой

2. Найти методом Ньютона действительные корни уравнений с тремя знаками после запятой

а) методом простой итерации, в) методом Ньютона.

4. Найти корни уравнения с тремя правильными знаками после запятой

5. Найти корень уравнения в соответствующем диапазоне x с точностью 10 – 4

56

6. Методом простой итерации найти положительный корень уравнения f (x) =1 с тремя правильными знаками, где

7.Найти положительный корень уравнения с точностью 10 – 4

x4 − x −1 =0 .

8.Исследовать сходимость итерационных формул метода Ньютона

вычисления корня x = m a

9. С помощью метода Ньютона процедуру вычисления обратной величины y = 1/x можно свести к алгоритму, который использует только операции сложения и умножения, следующим образом. Обозначая F(x, y) = x – 1/y и пользуясь формулой

можно определить этот итерационный алгоритм как yn+1 = yn (2 − xyn ) .

Каким образом следует выбирать y0, чтобы указанный итерационный процесс сходился?

Ответы и указания.

1a) x = 0.7391; 1b) x = 0.6949; 1c) x = 1.1997; 2a) x = 2.5; 2b) x = 0.333; 3a) x = 0.9882; 3b) x = 0.6529; 4a) x = 1; 4b) x1 = 2 , x2 = 1.5; 5a) x = 3.9266; 5b) x = 3.9274; 5c) x = 2.0815; 5d) x = 3.3422.

VII. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

57

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера приведена на рис.18. Пунктиром изображены интегральные кривые уравнения (1). На каждом шаге согласно формуле (3) вычисляется приращение функции ∆y = f∆x, где f = y′. Ордината n-ой итерации будет определяться точкой пересечения касательной к интегральной кривой с вертикальной линией x = xn. Следовательно, использование процесса (3) эквивалентно движению точки в плоскости x-y не по интегральной кривой AB, а по ломаной линии ACDE.

Погрешность метода Эйлера. Обозначим точное значение решения y(xn )=U n , для которого справедливо разложение (2):

Выразим величину погрешности на n−ом шаге через погрешность на нулевом шаге. Имеем:

где α = 1 + hA . Если начальное значение задано точно, то z0 = 0 и

после суммирования геометрической прогрессии имеем для погрешности:

y(xn )− yn ≤ 2hBA [(1 + hA)n −1],

т.е. формула Эйлера является формулой первого порядка точности по h, хотя на каждом интервале (xn , xn+1 ) одношаговая погреш-

ность квадратична по h.

2.Процедура дробных шагов решения задачи Коши. Проинтегрируем уравнение (1) по промежутку (xn , xn + h):

59

Таким образом, по методу дробных шагов рекуррентный процесс, строится в два этапа. Сначала по методу Эйлера вычисляется промежуточное значение

Формула схемы дробных шагов на всем промежутке [x0, xn] является формулой второго порядка точности.

Пример. На отрезке [0,1] проинтегрировать уравнение y′ = y − 2yx с

начальным значением y(0)= 1 и шагом h=0,2: a) методом Эйлера;

b) с помощью процедуры дробных шагов.

Решение. Численное решение задачи удобно проводить в виде таблицы:

a) решаем численно методом Эйлера.

60