Выч.мат

где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования.

I = 1∫e−x2 dx .

0

Решение. Максимальные погрешности формул трапеций и Симпсона равны соответственно

достигает наибольшего значения на краях интервала, в данном случае

M 2 = f ′′(0) = 2 .

Погрешность формулы трапеций равна

RT = 2 1210 −2 ≈ 0.002 .

Четвертая производная f равна

f (4) = 4(4x4 −12x2 +3)e−x2 .

Экстремумы этой функции, т.е. нули функции

f (5) = 8x(−15 +20x 2 −4x4 )e−x2

лежат вне интервала (0,1). Легко проверить, что M4 = f(4)(0) = 12. Отсюда

RC = 12 10 −4 180 = 0.67 10 −5 .

В соответствии с оценками погрешности находим, что в значении интеграла, вычисленным по методу трапеций, третий знак после запятой является сомнительным, а по формуле Симпсона число правильных

41

знаков после запятой не превышает пяти. Вычисление функций в узлах проводим с двумя запасными знаками (шесть знаков после запятой).

Вычисление по формуле трапеций (6) с данными из таблицы дает значение интеграла I = 0.7462106, однако с учетом погрешности | R| < 0.002 значение интеграла следует положить равным I = 0.746.

Аналогичные вычисления по формуле Симпсона (8) дают значение интеграла I = 0.7468248. Поскольку погрешность в данном случае составляет | R | < 0.67 10 − 5, то интеграл равен I = 0.74682.

4. Выбор шага интегрирования по оценке остаточного члена

В подобных задачах требуется определить шаг сетки, который обеспечивает требуемую точность ε вычисления интеграла по выбранной квадратурной формуле. Шаг выбирается из условия равенства максимальной погрешности Rmax и заданной точности для данной формулы численного интегрирования

где остаточный член R определяется одним из условий (5), (7), (9) соответствующей квадратурной формулы. Тогда для формулы

по формуле трапеций с точностью ε = 10 − 4, определяя шаг h по оценке остаточного члена.

Решение. Величину шага интегрирования определим из соотношения (10) с максимальной погрешностью RT , соответствующей формуле трапеций. Для функции

42

имеем

f′′(x) = (2 − x 2 ) sin x − 2x cos x .

x3

Используя представления в виде отрезка ряда

Экстремумы функции F(x) лежат за пределами отрезка интегрирова-

ния; т.к. f ′′ (π/2) = − 0.121 и f ′′ (π/4) = − 0.274 , то M2 = 0.274.

В результате (b-a)/h = 10.5, и, следовательно, интервал интегрирования следует разбить на n = 11 отрезков.

Составляем таблицу значений функции в узлах с шагом h = π /44.

Вычисление по формуле (6) с данными из таблицы дает значение интеграла I = 0.611719. С заданной точностью I = 0.6117.

5. Процедура двойного пересчета (правило Рунге)

Оценка максимальной погрешности Rmax часто связана с выполнением громоздких вычислений, поэтому на практике используется процедура двойного пересчета. Величина интеграла I рассчитывается сначала с шагом h (n интервалов), затем на сетке с вдвое меньшим шагом h/2 (2n интервалов). Здесь роль погрешности метода вычислений играет величина

43

Более точные оценки погрешности дают формулы Рунге выбранной квадратурной формулы:

для формулы Симпсона.

Если ∆ не превосходит заданной погрешности ε, т.е. ∆ < ε, то вычисления прекращают и полагают

I ≈ I 2n .

Если точность вычислений не достигается, то процедуру уменьшения шага повторяют вновь.

Поскольку в данном случае априорная погрешность метода неизвестна, то невозможно использовать выражения (11). Однако, согласно этим соотношениям, погрешность имеет вид для формулы средних и трапеций R = a h2, а для формулы Симпсона R = b h4, где a и b – константы. Следовательно, шаг определяется соотношением h = const

k ε , где k = 2 или k = 4 в зависимости от метода вычисления. На практике константу полагают равной единице, и в качестве начального

шага выбирается величина ε для формул трапеций и средних, и 4 ε

для формулы Симпсона. Если точность вычисления интеграла невысока, то в качестве начальной сетки выбирают разбиение на 8 – 10 отрезков.

Пример 3. Используя процедуру двойного пересчета, вычислить по формуле Симпсона интеграл

с точностью ε = 2 10 − 4.

Решение. Вначале отрезок интегрирования разбиваем на 8 частей и вычисляем интеграл при h = π/8. Значения аргументов и подынтегральной функции приведены в таблице:

44

По формуле Симпсона вычисляем значение интеграла при h = π/8 (n=8): I8 = 3.143317. Из этой же таблицы находим значение интеграла при h = π/4 (n=4): I4 = 3.160861. По формуле (12) находим, что раз-

ность

| I8 –I4| = 0.016 > ε = 2 10 − 4

Погрешность ∆, вычисленная по формуле Рунге (14), также превышает ε. Поэтому вычисления следует выполнить с вдвое меньшим шагом h = π /16 (n=16). Результаты вычисления аргумента и функции сводим в следующую таблицу:

Следовательно, значение интеграла I = I16 =3.1417.

6. Интегрирование с помощью степенных рядов

Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд

f (x)= ∑∞ Ck xk ,

k=0

сходящийся в интервале –R ≤ x ≤ R, который содержит отрезок интегрирования [a, b]. Тогда функцию можно почленно интегрировать

Если ряд сходится быстро, то его можно заменить частной суммой

45

В данном случае, погрешность складывается из погрешности округления членов суммы и погрешности обрезания ряда, равной остатку ряда. Для знакопеременного ряда абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда. В других случаях используют мажорантные оценки известными рядами.

Пример 4. Вычислить интеграл

I =π∫4 sin (x2 )dx

0

с точностью ε = 10 − 4 путем разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить количество слагаемых в приближенном выражении интеграла по формуле трапеций с той же точностью

Поскольку ряд знакопеременный, то достаточно удержать столько членов, чтобы первый отброшенный был менее 10 − 4. Этому условию удовлетворяет третье слагаемое, поскольку

Погрешность формулы трапеций определяется формулой (11). Макси-

f ′′′=−12xsinx2 −8x3 cosx2 =0.

Уравнение

tgx2 = − 23 x2

46

имеет единственное решение x=0 и оно соответствует максимуму f ′′. По формуле (11) находим

R = π h2 2 =10−4 . 4 12

Следовательно, шаг h ~ 3 10−2 =0,03 , т.е. для достижения указан-

ной точности по формуле трапеций следует взять около 30 слагаемых.

Задачи

1.Определить погрешность составных формул прямоугольников

(2) и (3).

2.Определить погрешность квадратурных формул:

жутку с точками x0 = 0 , x1 = h , x2 = 2h , x3 = 3h .

3. Определить погрешность составной квадратурной формулы

4. Вычислить интегралы по формуле средних при n = 10, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования и оценить погрешность вычислений.

5. Вычислить интегралы по формуле трапеций (n = 10) и формуле Симпсона (n = 10) и оценить погрешность вычислений, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования.

47

6. Вычислить интегралы по формуле трапеций с точностью ε, определяя шаг h по оценке остаточного члена:

7. Вычислить интегралы по формуле Симпсона с точностью ε=10 – 3 используя процедуру двойного пересчета.

8. Вычислить интеграл с точностью ε, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд.

9. Сколько слагаемых следует взять в разложении подынтегральной функции, чтобы вычислить интеграл

I =π∫e−x2 dx,

0

с точностью ε =10−4 .

10. Вычислить по формуле трапеций интеграл:

при четном и нечетном количестве узлов равномерной сетки. 11. Каким образом следует выбрать узлы сетки, чтобы интеграл

48

вычисленный по формуле Симпсона имел наименьшую погрешность.

12. Вычислить интеграл, заданный таблицей, и оценить погрешность:

10). I = 1, n = 2k; I = 1+1/n2, n = 2k +1 ;

11). Учесть, что формула Симпсона является точной для кубических многочленов.

VI. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Рассмотрим итерационные методы решения уравнения

где f(x) − непрерывная функция. Необходимо учитывать, что это уравнение может иметь несколько корней, среди которых могут быть кратные, корни могут быть как действительные, так и комплексные. При определении только действительных корней вначале определяется область x существования корней. Эту процедуру удобно выполнять с помощью графика y = f (x) или таблицы этой

функции. Корням соответствуют точки x, в которых f(x) либо касается оси x (кратный корень четной кратности), либо пересекает ось x (простой корень или кратный корень нечетной кратности). В последнем случае функция f(x) имеет разные знаки в близких точках, расположенных слева и справа от корня.

1. Метод деления отрезка пополам

Суть этого итерационного метода заключается в следующем (рис.10). Пусть имеются точки x0 и x1, в которых f(x) имеет разные знаки f(x0) <0 f(x1) >0 , т.е. на отрезке [x0 , x1] имеется по крайней мере один корень. Определяем середину отрезка x2 = (x0 + x1)/2 и вычисляем f(x2). Из двух половин отрезка выбираем ту, для кото-

49

рой f(x2) f(xгран) ≤ 0, поскольку корень лежит на этой половине. Здесь xгран есть x0 или x1. Новый отрезок делится пополам (точка x3) и выбирается та половина, на которой f(x) имеет разные знаки на

концах отрезка.

Счет прекращается, когда разность соседних итераций не превыша-

ет требуемой погрешности: | xn+1 – xn| < ε.

2. Метод простых итераций

Переход к этому уравнению можно сделать различными способами. Например, путем x = x + f (x). Здесьϕ(x)= x + f (x). Другим

способом выражения функции может быть ϕ(x)= x +ψ(x)f (x), где ψ(x)− непрерывная функция, которая должна быть знакопостоян-

ной, чтобы не привнести дополнительные корни. Выберем некоторое x0 и на основе (2) построим итерационный процесс

где n =0,1,2,… Условием сходимости итерационного процесса (3) является неравенство

которое должно выполняться в некоторой окрестности корня x . Тогда последовательность {xn }сходится при любом начальном x0,

если на отрезке [x0 , x]производная ϕ′(x) <1 . В данном методе

близость n-го приближения к корню x оценивается следующей цепочкой неравенств

| xn − x | ≤ 1 −q q | xn − xn−1 | ≤ ε .

50