Выч.мат

Решение. Ориентировочное значение корня определяем графически.

Как видно из графика (рис.4) решение одно и лежит в районе x~0.5-0.6. В качестве узлов берем fi , в качестве функций − xi. Составим интерполяционную таблицу для xi = 0.5; 0.55 и 0.6.

Следовательно x(0) ≈ 0,5 + ( - 0,106531) ( - 0,628291) + ( - 0,106531) ( -0,026950) 0,073557 = 0,567143.

Оценку погрешности проведем путем сравнения результатов на разных сетках узлов. Введем в таблицу узел x = 0.65:

21

Добавление нового узла приводит только к добавлению в верхнюю диагональ таблицы третьей разделенной разности. Следовательно, скорректированное значение корня будет равно:

x(0) ≈ 0,567143+ ( - 0,106531) ( -0,026950) (0,051180) (0,000725) = 0,567143+ 1.06 10 − 7.

По результатам вычислений можем положить, что корень уравнения

(9) равен x = 0,56714, поскольку в шестом знаке проводилось округление.

Пример 7. С точностью 10 − 4 найти корень алгебраического уравнения

0.10.7001

0.6-0.6704

Из таблицы видно, что корень расположен в промежутке 0.3 < x < 0.4. Интерполяционный многочлен (6) равен:

f(x) = 0.7001 – 2.985 (x - 0.1) + 0.25 (x - 0.1)(x - 0.2) + (x – 0.1)

(x - 0.2)(x - 0.3) + (x – 0.1) (x - 0.2)(x - 0.3)(x – 0.4).

Полагаем в этом равенстве f = 0 и преобразуем к эквивалентному виду:

В качестве начального приближения выбираем x(0) =0.9986/2.985 = 0.334539. Значение следующего приближения x(1) = 0.337523 определяем, подставив x(0) в правую часть соотношения (10). После-

дующие приближения дают x(2) = 0.337666, x(3) = 0.3376664, x(4) =

22

0.3376667. Из сравнения результатов видим, что уже второе приближение дает значение корня x = 0.3377 с требуемой точностью.

5. Интерполяция сплайнами

Основная идея этого метода заключается в том, чтобы интерполяцию проводить не на всем промежутке [x0 , xN ] как в лагранжевой интерполяции, а на каждом интервале [xi , xi+1].Таким образом, в сплайновой интерполяции единая кривая получается как совокупность отдельных кусочков кривых на каждом промежутке. В узлах функция принимает заданные значения. В сплайновой интерполяции условие несовпадения узлов не является обязательным (различны только соседние узлы), и с помощью сплайнов можно интерполировать многозначные функции.

Рис.5

5.1.При линейной сплайновой интерполяции на каждом отрезке функ-

ция аппроксимируется прямой линией, причем в узлах она принимает заданные значения. Очевидно, что графиком такой функции на всем промежутке [x0 , xN ] будет ломаная прямая (рис.5).

5.2.Интерполяция квадратичными сплайнами. На оси x задается система узлов {xi}, в которых заданы значения функции {fi}, 0≤ i ≤ N. На каждом отрезке [xi , xi+1] между соседними узлами функция представляется отрезком параболы

Для определения коэффициентов ai, bi, ci используются условия равенства функций f и ϕ во всех узлах, а также непрерывности производной функции ϕ во внутренних узлах, которые приводят к сис-

23

теме 3N−1 линейных алгебраических уравнений относительно 3N неизвестных

Здесь hi = x i – x i -1 . Для замыкания системы уравнений используется дополнительное условие, например, «свободного» конца кривой:

Уравнение (12) определяет коэффициенты ai, из (13) находим связь bi, ci:

а комбинация уравнений (14) – (16) дает систему уравнений для определения ci:

Система уравнений (12), (16), (17) однозначно определяет коэффициенты квадратичного сплайна (11).

Пример 8. Построить квадратичный сплайн функции f, заданной таблицей

с дополнительным условием

f ′(x3 ) =0 .

Построить график интерполирующей функции.

Решение. В данном случае сетка не является равномерной, поскольку шаг не равен единой константе для всех промежутков:

h 1 = 1, h 2 = 1, h 3 = − 1. Системы уравнений (16) и (17) имеют вид:

Из этих уравнений находим b1 =6, b2 =− 4, b3 =2, с1 =1, с2 =3, с3 =1. Соотношение (12) определяет константы ai: a1 =0, a2 =1, a3 =0.

24

25

4. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции для следующих таблиц функций:

a)таблица косинусов с шагом 1°;

b)таблица натуральных логарифмов в диапазоне аргументов от 1 до 10 с шагом 0.001?

5.Определить наибольшую погрешность квадратичной интерполяции функции f(x) на равномерной сетке с шагом h.

6.Определить шаг четырехзначной таблицы ( ε = 5 10−5 ) функции

f(x) для квадратичной интерполяции на всем отрезке [0, π/2].

9. Методом обратного интерполирования найти корень уравнения:

10. Методом обратного интерполирования с точностью до 10 − 4 найти корень алгебраического уравнения:

11. Провести численную интерполяцию квадратичными сплайнами функции f , заданной в точках x0 , x1 , x2 , x3, с дополнительным условием на производную. Построить график интерполирующей функции.

26

12. С помощью квадратичных сплайнов построить замкнутую кривую, проходящую через 5 точек:

13. Построить кубический интерполяционный сплайн функции, заданной таблично:

С краевыми условиями f′(0.1) = 1, f′(0.3) = 1.2.

Ответы и указания.

1–3. Сравнить результаты вычисления левой и правой частей равенств;

4a). 0.36 10− 4 ; 4b) 0.125 10− 6; 5. Rn = maxf ′′′ 273 h3 ; 6. h = 0.092; 7.

0.2588 ± 0.3 10− 3; 8. 0.80902 ± 0.3 10− 4 ; 9a). 0.6529 ; 9b). 0.6507 ; 9c). 1.4811; 10a). 1.7320 ; 10b). – 0.7321 ; 10c). 0.6180 ; 10d). – 0.7430 ;

d)ϕ1 (x) =1 − x2 , ϕ2 (x) = 3x2 − 8x + 5 ;

f)ϕ1 (x) = (x + 1)2 , ϕ2 (x) =1 + 2x − 2x2 , ϕ3 (x) =1 + 6 x − 5x2 ;

12.ϕ1 (x) =1 − x42 , ϕ2 (x) =1 − x42 , ϕ3 (x) = −2x2 +7 x −6,

ϕ4 (x) = 32 x2 − 52 , ϕ5 (x) = −2x2 −7 x −6.

IV. Численное дифференцирование

1. Постановка задачи

Основная идея численного дифференцирования функций – дифференцирование интерполяционного многочлена. Пусть функция f(x)

27

задана в узлах, Ln(x) – интерполяционный многочлен, которые связаны соотношением

(1)

где остаток равен

R(x)= (M+n+)1 ωn (x).

n 1 !

Тогда k-производная вычисляется по формуле:

d k f (x)= d kϕ(x)+ d k R . dxk dxk dxk

Последнее слагаемое в этой формуле представляет собой погрешность формулы численного дифференцирования.

2. Простейшие формулы численного дифференцирования

В качестве интерполирующей функции выберем интерполяционный многочлен в форме Ньютона:

f (x)≈ Ln (x)= f (x0 )+ (x − x0 ) f (x0 , x1 )+ (x − x0 )(x − x1 ) f (x0 , x1 , x2 )+...

Ограничиваясь некоторым количеством слагаемых в выражениях

(2)- (4) получают формулы численного дифференцирования.

Одночленные формулы численного дифференцирования. Если в правой части (2) − (4) удержать только первые слагаемые, то получим следующие выражения для производных:

28

Здесь использованы выражения для разделенных разностей. Подобные формулы, в которых в качестве главного члена используется первое слагаемое в (2) – (4), называются одночленными форму-

В формулах (5) - (6) значение производной следует относить к одному из узлов, по которым проводится интерполяция. Особенностью одночленных формул является то, что они дают одинаковое выражение производной во всех узлах. Например, в формуле (5a) f0′ = f1′, а в формуле (6a) f0′′= f1′′= f2′′. Однако погрешности фор-

мул в разных узлах могут отличаться.

Двучленные формулы численного дифференцирования. Различные формулы для вычисления производной получаются в узлах интерполяции, если в (2) − (3) учесть первые два слагаемых. Двучленные формулы первой производной на равномерной сетке имеют следующий вид:

Аналогично можно получить выражения и для второй производной.

3. Вычисление погрешности с помощью представления функции в виде ряда Тейлора. Порядок точности приближенной формулы

Погрешность формулы численного дифференцирования можно вычислить на основе выражения для интерполяционного многочлена (1). Этот метод вычисления погрешности не единственный, удобнее точность вычислений оценивать с помощью ряда Тейлора (в общем случае формулы Тейлора) представления исходной функции в виде степенной функции. Если функция f(x) обладает всеми непрерывными производными в окрестности точки x = a , то она может быть представлена в виде бесконечного ряда

29

Если функция в окрестности точки x = a имеет непрерывные производные лишь до n–го порядка включительно, то она может быть представлена в виде конечной суммы (формула Тейлора):

где точка ξ принадлежит промежутку (a, x). На равномерной сетке для промежутка (x, x+h) выражения (7) и (8) можно записать в следующем виде:

Пример 1. Погрешность одночленных формул дифференцирования.

Во всех простейших одночленных формулах, полученных из интерполяционной формулы, имеется одна особенность: по определению, левая часть равенства содержит зависимость от аргумента, в то время как главное слагаемое правой части от координаты не зависит. В подобных формулах вся зависимость от аргумента содержится в погрешности. При оценке точности формул численного дифференцирования используем свойство локальности погрешности интерполяционного многочлена, т.е. зависимости погрешности от координаты.

Рассмотрим формулу первой производной (5a) и оценим ее погрешность в узлах x0 и x1. Для этого используем следующий прием: предположим, что функция бесконечно дифференцируема, произведем разложение правой части (5a) в ряд Тейлора в соответствующем узле, и сравним результат с левой частью. В окрестности точки x0 имеем:

f1 = f (x0 + h)= f0 + hf0′ + h22 f0′′ +...

30