Курс лекций Оптическая физика

101

Частично поляризованный свет характеризуется степенью поляризации P, которую определяют как:

P Imax Imin Iпол (10.7)

Поляризаторы на основе призм Николя.

Николь изготавливают из естественного кристалла исландского шпата, который имеет форму ромбоэдра. Боковые грани ромбоэдра стачивают так, чтобы превратить угол 710 в 680. Кристалл разрезают вдоль диагональной плоскости, предва-

рительно подобрав длину кристалла так, чтобы получить углы

900:

Исландский шпат — одноосный кристалл с показателями преломления:

ван вдоль оси z .

Две части склеивают канадским бальзамом, который имеет промежуточный показатель преломления n 1.53.

Рис. 10.5. Призма Николя.

Луч B испытал полное внутреннее отражение, поэтому прошедший луч A полностью поляризован. Так из неполяризованного света на входе призмы Николя на ее выходе получается линейно поляризованный свет.

Лучи B и C после отражения от канадского бальзама попадают на зачерненную нижнюю грань призмы Николя и полностью поглощаются.

102

Рис. 10.6. Призма Волластона.

Одноосный кристалл разрезают, половину поворачивают на 900 и две половины склеивают так, чтобы ось кристалла в двух половинах была в ортогональных направлениях. На рисунке это вертикальное направление и направление перпендикулярное плоскости рисунка.

На склеенной границе луч одной поляризации переходит в среду с большим показателем преломления, а луч другой поляризации переходит в среду с меньшим показателем преломления. Один луч при этом поворачивает вверх, а другой — вниз.

Два луча расходятся на склеенной границе. При выходе из кристалла лучи расходятся еще больше.

103

Лекция 11

Интерференция поляризованных волн. Искусственная анизотропия. Эффект Керра. Эффект

Коттон-Мутона. Оптически активные среды Араго. Явление Фарадея. Явление Зеемана.

Отрицательный эффект Зеемана и явление Фарадея. Эффект Штарка

Интерференция поляризованных волн. Оптический «сандвич».

Интерференция никогда не наблюдается, если складываемые волны поляризованы во взаимно ортогональных направлениях. В этом случае, как мы знаем, возникает, вообще говоря, эллиптическая поляризация, вырождающаяся в определённых случаях (разность фаз Δφ = ± 2 , ± π, 0) в круговую или линейную. Для того, чтобы наблюдать интерференцию необходимо свести два взаимно ортогональных когерентных колебания к одной плоскости. Этого можно добиться, поставив на пути светового пучка, поляризатор. В этом случае интерференция будет обеспечена и результат её окажется в зависимости от оптической разности хода складываемых волн.

Рис. 11.1. Схема наблюдения интерференции поляризованных волн.

Схема наблюдения интерференции поляризованных волн должна быть подобной нарисованной на Рис.11.1 Падающая монохроматическая волна (λ) имеет интенсивность I0 и проходит через поляризатор П1 , плоскость пропускания которого Р1Р1 составляет с вертикалью угол α. После поляризатора волна

104

становится линейно поляризованной и имеет интенсивность

I0 2.

Далее следует кристаллическая пластинка толщиной d, вырезанная параллельно оптической оси кристалла, которая имеет вертикальное направление. Таким образом, плоскость пропускания поляризатора П1 Р1Р1 составляет угол α с оптической осью кристалла. Линейно поляризованная волна с амплитудой Е (после поляризатора П1) разделяется пластинкой на обыкновенную и необыкновенную взаимно ортогональные волны с амплитудами Ео = Е sin α и Ее = Е cos α . После прохождения кристаллической пластинки обыкновенная волна приобре-

Мы знаем, что суперпозиция таких колебаний даёт эллиптическую поляризацию на выходе из пластинки. Затем колебания этих волн («сдвинутые» по фазе) приводятся поляризато-

ром П2 к одной плоскости с амплитудами Eo и Ee , где

Поскольку эти две гармонические волны совершают колебания одинаковой частоты ω в одной плоскости Р2Р2 и имеют постоянный во времени сдвиг фаз ΔΦ (11.1) можно использовать графический метод сложения гармонических колебаний. Для этого в абстрактной плоскости будем изображать колебания «стрелочками», т.е. векторами. При этом модуль вектора задаёт амплитуду колебания, а угол наклона вектора по отношению к горизонтальной линии определяет фазу колебания.

105

Рис.11.2. Сложение обыкновенного и необыкновенного

лучей.

Суммарное колебание получаем как векторную сумму двух рассматриваемых колебаний, т.е. по правилу треугольника

(см. Рис. 11.3).

Рис. 11.3. Векторное сложение колебаний.

Здесь без потери общности мы приняли фазу колебания Eo равной нулю, тогда фаза второго колебания равна ΔΦ. Ре-

зультирующее колебание E вычисляем по теореме косинусов.

Нас интересует именно E 2 , поскольку эта величина определяет интенсивность I прошедшего через поляризатор П2 света. Из Рис. 11.3 следует, что

E 2 Eo2 Ee2 2EoEe cos , (11.3)

или

E 2 E2 (sin2 sin2 cos2 cos2

.

2sin sin cos cos cos )

Переходя от квадратов амплитуд к интенсивностям, по-

лучим

106

2sin cos sin cos cos )

И далее, используя очевидные тригонометрические тождества, имеем

В этой формуле содержится объяснение всех особенностей интерференции поляризованного света в параллельных лучах. Пока свет монохроматичен, а толщина пластинки всюду одинакова, все величины в (11.5) постоянны, поэтому получается равномерная освещенность пластинки. При повороте одного из поляризаторов на угол π/2 выражение (11.5) переходит в

Отсюда I I I0 . Результат очевидный – весь свет,

2

пропускавшийся ранее, будет задержан, а задерживавшийся начнёт проходить. В частном случае, когда поляризаторы параллельны (α = β) ,

22

Вбелом свете ( λф < λ < λкр ) первое слагаемое в (11.6) остается постоянным, второе зависит от длины волны и приво-

дит к окрашиванию поля зрения. Если α = 0 или α = 2 , т.е. направления РР и ОО параллельны или ортогональны, то

107

I I0 cos2( ) , что означает независимость интенсивно-

2

сти от длины волны. В этом случае интерференции нет, и в белом свете получается равномерно окрашенное поле, интенсивность которого можно менять поворотом поляризатора П2 , но оно всё время остается белым.

Разность фаз, возникающая при прохождении света че-

т.е. зависит от длины волны λ. По этой причине интерференционная картина получается окрашенной. При вращении поляризатора П2 окраска меняется. При повороте поляризатора П2 на угол 2 окраска меняется на дополнительную, т.е. светлые места становятся тёмными и наоборот. Если плоскость пропускания поляризатора и оптическая ось пластинки параллельны или ортогональны друг другу, то через пластинку идёт единственный луч обыкновенный или необыкновенный. Ему не с чем интерферировать, и окрашивание пропадает.

Интерференция волн с взаимно перпендикулярными поляризациями.

Линейно поляризованный свет падает на кристаллическую пластинку, которая диссоциирует его на обыкновенный и необыкновенный лучи, распространяющиеся вдоль оси Z с разными скоростями. Разложим поляризацию падающего луча век-

тор E на составляющие вдоль оси X и ось Y Еx = E cos α , Ey = E sin α (11.8).

Рис. 11.4. Интерференция волн со взаимно перпендикулярной поляризацией

108

Представим колебания электрических векторов обыкновенной (вдоль оси X) и необыкновенной (вдоль оси Y) волн на входе в пластинку в виде

где t - время, описывающее колебания на входе в пластинку. Обыкновенный луч на прохождение пластинки толщиной d за-

трачивает время d c no no dc, необыкновенный луч - ne dc.

Обозначим t – время на выходе из пластинки. Тогда для обыкновенного и необыкновенного лучей имеем следующие соотношения между временами на входе и выходе:

to t no d c ,

На выходе колебания вектора E , разделённые на обыкновенные и необыкновенные, распространяются с одинаковой скоростью с, различие теряет смысл. Естественно считать на выходе to te t - как новое местное время. Итак, на выходе

имеем колебания вдоль оси X (ранее обыкновенное) и вдоль оси Y (ранее необыкновенное):

x Ex cos( t no d c),

Видим, что на выходе из кристалла между взаимно орто-

гональными колебаниями вектора E образовалась разность фаз

Перейдём к новому времени t t no d c , тогда уравнения колебаний запишутся в виде:

109

Равенства (11.13) представляют параметрическое представление эллипса, уравнение которого имеет вид

Это, так называемый наклонный эллипс, т.е. эллипс большая и малая полуоси которые не совпадают с осями X и Y.

Форма и наклон эллипса ( θ – угол, который составляет большая полуось эллипса по отношению к оси X) зависят от φ и амплитуд Ех и Еy . Напомним, что амплитуды Ех и Еy определяются поворотом α поляризатора относительно оси Х , которая в свою очередь определяется как перпендикуляр к оптической оси кристалла: Еx = E cos α , Ey = E sin α .

Рис. 11.5. Результат сложения взаимно перпендикулярных колебаний.

При этом существует соотношение, связывающее все вышеперечисленные параметры, именно

мает явный вид

110

В этом случае одна из осей эллипса совпадает с оптической осью кристалла.

Рис. 11.6. Циркулярно поляризованная волна.

При Ex Ey , т.е. при 4 , уравнение (11.16) пре-

образуется в уравнение окружности x2 y2 E2 ,

т.е. на выходе из кристаллической пластинки возникает циркулярно поляризованная волна. Пластинку, дающую разность фаз φ между колебаниями обыкновенного и необыкновенного лучей

определяется не только типом кристалла («+» или «-») , но и толщиной пластинки d. Это следует из факта, что уравнение (11.14) принимает канонический вид (11.16) не обязательно при

111

m 1, 2, 3, ). Вопрос о направлении вращения легко решается согласно следующим соотношениям.

Если фаза колебаний по оси Y опережает на 2 (

2) фазу колебаний вдоль оси X, вращение происходит

по часовой стрелке, т.е., как говорят, математики в отрицательном направлении (свет распространяется на наблюдателя), если

фаза по Y отстает на 2 ( 2) , вращение происходит против часовой стрелки, т.е. положительно направленное. Необ-

ходимо помнить, что опережения по фазе например, на 3

2

112

Рис. 11.7. Линейно поляризованная волна. Следовательно, на выходе из пластинки возникает ли-

нейно поляризованная волна, для которой изменились квадранты плоскости XY , в которых развивались колебания.

Т.е. плоскость колебаний отразилась относительно оси Y (равносильно относительно оси X). Напомним, что ось Y – это оптическая ось кристаллической пластинки. Такую пластинку называют λ/2 - пластинка, так как она даёт сдвиг фазы между колебаниями вдоль осей X и Y , равный ±π. Конечно, эта ситуация возникает не только при d(ne –no) = λ/2, но и при d(ne –no) = λ/2 + m·λ/2 (m 2, 4, , 2l,...)

Увеличивая толщину пластинки согласно последнему соотношению, мы меняем сдвиг фазы, последовательно чередуя его, от значения -π к значению π и т. д. Физически, очевидно, нет разницы между сдвигом фазы и ,так как оба случая соответствуют одной и той же физической реальности, фаза формально отличается на 2 , но это не приводит к физическим последствиям.

Искусственная анизотропия 1. Анизотропия при деформациях

Обычные прозрачные тела, не обладающие двойным лучепреломлением, при деформации сжатия или растяжения приобретают свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого направлена вдоль деформирующих сил. Экспериментально установили следующую связь между показателями преломления необыкновенной и обыкновенной волн в направлении ортогональном так называемой оптической оси, т.е. направления внешних сил деформации:

113

где σ – напряжение (Па = Н/м2), коэффициент, зависящий от свойств вещества. Разность (ne – no) может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Вообще говоря, возможна дисперсия показателей ne и no , т.е. зависимость их от длины волны λ.

Для наблюдения оптической анизотропии исследуемое тело помещают между скрещенными поляризаторами, плоскости пропускания которых составляют угол 4 с направлением деформации. Деформируемое тело в зависимости от распределенных в нём напряжений приобретает в проходящем свете систему так или иначе расположенных полос с максимумами и минимумами освещенности разных цветов.

Рис. 11.8. Наблюдение оптической анизотропии.

При изменении напряжения картина меняется. Таким образом, наблюдая распределение цветовой освещенности по объему тела, можно судить о распределении напряжений на разных участках. Это свойство используют при исследовании распределения напряжений в сложных трудно рассчитываемых конструкциях – изготавливают геометрически подобную модель из прозрачного материала. Подвергают различным нагрузкам и по наблюдаемой в рассмотренной на Рис. 11.8 установке картине судят о распределении внутренних напряжений.

2. Анизотропия, создаваемая в веществе электрическим полем

Оптически изотропное вещество в электрическом поле приобретает оптические свойства одноосного кристалла с опти-

ческой осью параллельной электрическому вектору E . Возникновение двойного лучепреломления в жидкостях и аморфных прозрачных телах под воздействием электрического поля было

114

открыто Керром в 1875г. (эффект Керра) и нашло широкое применение в практической деятельности.

Схема установки Керра показана на Рис. 11.9.

Рис. 11.9. Схема установки Керра.

Между двумя скрещенными поляризаторами П1 и П2 , плоскость пропускания каждого из которых составляет угол4 с вертикалью, помещена ячейка Керра – исследуемая жидкость в кювете между горизонтальными обкладками конденсатора, на которые подается электрическое напряжение.

При распространении света перпендикулярно направле-

нию вектора E (см. Рис 11.9) установлено следующее соотношение между показателями преломления обыкновенной и необыкновенной волн:

т.е. ne > no , что соответствует положительному кристаллу. Правда, встречаются и вещества (гораздо реже), у которых K < 0 , например: этиловый эфир, спирт.

Для жидкостей постоянная Керра имеет порядок (1÷10) пм/В2 (1 пм = 10-12). Для газов постоянная по естественным причинам значительно меньше, например, у кислорода при нормальных условиях K = 0,45 ∙10-15 м/В2. Связано это с тем, что эффект Керра – молекулярный эффект (определяется непосредственно свойствами молекул) и усиливается с повышением концентрации молекул. Рекордсменом здесь является нитробензол – K = 2.2 ∙10-10 см/В2. Постоянная Керра зависит также от длины

115

волны света (дисперсия) и уменьшается с повышением температуры.

На пути ℓ в конденсаторе между обыкновенной и необыкновенной волнами возникает разность фаз:

2 (ne no ) 2 KE 2 (11.21 )

При изменении напряженности электрического поля E меняется разность фаз на выходе из ячейки, следовательно, меняются параметры эллиптической поляризации света, а, значит, и интенсивность выходящего из поляризатора П2 пучка. При выключенном поле (Е = 0) в силу того, что поляризаторы П1 и П2 скрещены (∆Ф = + 4 и - 4 по отношению к вертикали!) световой пучок на выходе равен нулю. Изменение напряженности Е приводит к последовательным просветлениям и затемнениям поля зрения. Например, затемнения наступают при Ф = 2πm (m Z), или KℓE2 = m .

Объяснить явление Керра легко, для этого достаточно учесть, что неполярные молекулы в электрическом поле приобретают дипольный момент в направлении поля, сама молекула при этом ориентируется так, чтобы дипольный момент совпадал с направлением наибольшей поляризуемости молекулы. Отсюда получаем утверждение – наибольший показатель преломления (

n ) оказывается у волны, электрический вектор которой колеблется параллельно внешнему электрическому полю, т.е. у

необыкновенной волны: ne > no , т.к. || > , K > 0.

Учёт полярных молекул, т.е. имеющих неравный нулю собственный дипольный момент, усложняет объяснение. Именно у таких веществ проявляются исключения из правил, например, K < 0 . Из (11.20) видно, что при изменении электрического поля на противоположное (E2 не меняет своего значения) оптические свойства вещества не меняются.

Эффект Керра обладает малой инерционностью (время релаксации ~ 10-10 c). Это означает, что оптическая анизотропия запаздывает за вызвавшим её электрическим полем на времена порядка 10-10 c. Благодаря этому качеству эффект Керра нашёл

116

широкое применение в технике, например, он позволяет создать быстродействующие модуляторы света.

Обычно размер ячейки Керра выбирают такой, чтобы оптическая разность хода при определённом напряжении составила полволны. Как уже отмечалось, входной и выходной поляризаторы ориентированы так, что их плоскости пропускания скрещены и составляют по 45º ( 4 ) к направлению электриче-

ского поля. При выключенном поле (Е = 0) ячейка не пропускает свет. При включении электрического поля до заданного значения, которому соответствует оптическая разность хода 2 ,

свет по известному свойству 2 - пластинки полностью пройдет через ячейку.

3. Анизотропия, создаваемая в веществе магнитным

полем

Этот эффект носит название эффекта Коттон-Мутона. Оптически изотропное вещество в магнитном поле приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого параллельна направлению магнитного поля. Эффект количественно определяется уравнением:

ne – no = СλB2 , ( 11.22 )

где С – постоянная, зависящая от свойств вещества и температуры.

Для уже упоминавшегося нитробензола С = 2,25 ∙10-2 м-1

Тл-2 .

Устройство установки, демонстрирующей эффект Кот- тон-Мутона аналогично установке Керра, с естественной заменой электрического поля магнитным полем.

Рис. 11.10. Устройство установки, демонстрирующей эффект Коттон-Мутона.

117

4. Оптическая активность. Вращение плоскости поляризации

При прохождении линейно поляризованного света через

определённые вещества происходит поворот вектора E на некоторый угол. Вещества, обладающие такой способностью называются оптически активными.

Оптически активные вещества подразделяются на: а) кристаллические (кварц), б) чистые жидкости (никотин, скипидар),

в) растворы оптически активных веществ в неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и т.

д.).

Если на оптически активное вещество направить пучок линейно поляризованного света, то, пройдя через вещество, свет выйдет линейно поляризованным, так что при помощи выходного поляризатора его можно полностью погасить, при этом мы узнаем угол, на который вещество повернуло плоскость его поляризации. Если оптически активное вещество является кристаллическим, например, кварц, следует направить пучок поляризованного света вдоль оптической оси. В этом случае мы убираем эффект двойного лучепреломления, который затруднял бы изучение эффекта оптической активности.

Рис. 11.11. Установка, на которой можно измерить угол

поворота φ вектора поляризации E .

На Рис.11.11 изображена установка, на которой можно

измерить угол поворота φ вектора поляризации E . Для этого достаточно дополнительным поворотом выходного поляризатора П2 установить наибольшую интенсивность выходящего пучка.

118

Угол поворота поляризатора равен углу поворота φ плоскости поляризации при условии, что оба поляризатора П1 и П2 имели в исходной позиции параллельные плоскости пропускания. Однако более эффективно провести это измерение при скрещенных поляризаторах. Угол поворота φ пропорционален пройденному в оптически активном веществе пути ℓ :

φ = α ℓ , (11.23 )

где α – коэффициент, зависящий от вещества и от длины волны (дисперсия вращательной способности). Для кварцевой пластинки толщиной S мм углы поворота для желтого и фиолетового цвета равны соответственно 100º и 250º , т.е. эффект достаточно сильный. Соотношение (11.23 ) иногда называют законом

Био.

В растворах угол поворота φ пропорционален пройденному пути и концентрации активного вещества n:

В зависимости от направления вращения плоскости поляризации, оптически активные вещества подразделяют на право- и левовращающие, т.е. по или против часовой стрелки по отношению к наблюдателю, к которому свет приближается.

Все оптически активные вещества существуют в двух модификациях – право- и левовращающие. Вращательная способность кварца (сильный эффект) связана с его кристаллической структурой, расплавленный кварц теряет это свойство. Структура кристалла кварца отличает правое от левого. Правый кристалл кварца не тождественен левому, но они переходят друг в друга при зеркальном отражении. Итак, только те кристаллы обладают оптической активностью, которые не симметричны при зеркальном отражении (т.е. различают правое и левое). Для оптически активных аморфных тел, жидкостей или растворов эффект вращения обусловлен асимметричным строением молекул (при зеркальном отражении правая молекула переходит в такую же по химическому составу, но не тождественную по оптическим свойствам, левую молекулу).

Важным свойством эффекта является то, что направление вращения (правое или левое) задаётся свойствами молекул вещества, но привязано к направлению луча. Поэтому при про-

119

хождении луча света через активную среду, последующего отражения его от зеркала и вторичного прохождения через ту же среду назад, направление линейной поляризации восстанавливается. Таким образом, эффект невозможно «накопить» прогоняя луч света много раз через активную среду туда и обратно с помощью двух зеркал.

Сразу возникает возможность практического использования эффекта: измеряя угол поворота плоскости поляризации, можно определять концентрацию оптически активных веществ, например, концентрацию сахара в производственных растворах.

Объяснение эффекта дал Френель, который предположил, что в оптически активных веществах лучи, поляризованные по кругу вправо и влево, распространяются с разными скоростями, следовательно, имеем два показателя преломления: n+ для волн правой поляризации и n- для волн левой поляризации. Линейно поляризованный свет можно представить как суперпозицию двух поляризованных по кругу волн, правой и левой, с одинаковыми частотами и амплитудами. Поскольку вещество (оптически активное) состоит из асимметричных молекул, которые по-разному взаимодействуют с правой поляризацией и с левой, луч света – суперпозиция правой и левой круговых поляризаций, разделяется на два луча (правый и левый), распростра-

C C

няющихся с разными скоростями: V V , V+ = n , V n .

В зависимости от того, какой из лучей окажется более быстрым, на выходе из оптически активной среды, где скорости лучей опять уравняются и поляризация вновь станет линейной, произойдет результирующее отклонение вектора линейной по-

ляризации E , вправо или влево, в соответствии с отношением скоростей V и V .

5. Магнитное вращение плоскости поляризации

Оптически неактивные вещества в магнитном поле становятся оптически активными и вращают плоскость поляризации света, распространяющегося в веществе вдоль силовых линий напряженности магнитного поля. Этот эффект называют эффектом Фарадея (1846 год).

120

Рис. 11.12. Схема наблюдения эффекта Фарадея.

Схема наблюдения эффекта Фарадея изображена на Рис.

11.12.

Угол поворота плоскости поляризации определяется соотношением

φ = V H ℓ , (11.25)

где V – постоянная Верде, характеризующая свойства вещества и зависящая от частоты света (дисперсия) и температуры, Н – напряженность продольного магнитного поля и ℓ - длина пути светового пучка в веществе.

Направление вращения связано только с направлением

магнитного поля H . От направления луча поворот плоскости поляризации не зависит. Эффект можно накопить (в отличие от естественного вращения), т.е. при отражении луча зеркалом и возвращении его в исходную точку поворот плоскости поляризации удваивается. Это свойство позволяет увеличить угол поворота увеличением длины пути света в веществе за счет многократных отражений от посеребренных поверхностей образца.

Рис. 11.13. Метод увеличения угла поворота.

Знак вращения принято определять по отношению к направлению магнитного поля H . Для большинства веществ

вращение происходит вправо (правый винт вдоль вектора H ). Такие вещества называют положительными, к ним относятся все диамагнетики.