Курс лекций Оптическая физика

241

конфигурации. Если поместить зонную пластинку в строго определенном месте (на расстоянии a от точечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения), то результирующая амплитуда будет больше, чем при полностью открытом волновом фронте.

Дифракция Френеля на круглом отверстии

Дифракция Френеля наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, в данном случае экрана с отверстием. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути экран с отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, параллельном экрану с отверстием. Ее вид зависит от расстояния между отверстием и экраном (для данного диаметра отверстия). Проще определить амплитуду световых колебаний в центре картины. Для этого разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Амплитуда колебания, возбуждаемая всеми зонами равна

где знак плюс отвечает нечетным m и минус – четным m. Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля,

то амплитуда (интенсивность) в центральной точке будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Например, если отверстие открывает одну зону Френеля, амплитуда 1 , то

интенсивность (~ 2 ) больше в четыре раза.

Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m:

Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние"b" - от преграды до точки наблюдения P.

Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля рис. 21.5, то, приравняв r0 и rm, получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля:

242

При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.

Расчет амплитуды колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Качественно ясно, что дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с общим центром (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное – то светлое пятно), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Рис. 21.5. Расчет числа открытых зон Френеля Если отверстие освещается не монохроматическим све-

том, а белым светом, то кольца окрашены.

Рассмотрим предельные случаи. Если отверстие открывает лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает. Если отверстие открывает большое число зон, то m 1 и амплитуда в центре 12, т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом фронте; чередование светлых и темных колец происходит лишь в очень

243

узкой области на границе геометрической тени. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света, по сути, является прямолинейным.

Дифракция Френеля на диске.

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск (рис. 21.5). Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, является центрально симметричной. Определим амплитуду световых колебаний в центре. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда колебаний равна

Рис.21.6. Дифракция на диске. Следовательно, в центре всегда наблюдается дифракци-

онный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами. При небольшом числе закрытых зон амплитуда m 1

мало отличается от 1 . Поэтому интенсивность в центре будет почти такая же, как при отсутствии диска. Изменение освещенности экрана с расстоянием от центра картины изображено на рис. 21.6.

244

Светлое пятно в центре геометрической тени послужило причиной истории, которая прочно вошла в учебники курсов оптики. Парижская Академия Наук предложила объяснение дифракции света в качестве темы на премию за 1818 год. Френель представил мемуар, в котором с волновой точки зрения объяснялись все известные оптические явления.

Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля следует абсурдный вывод: в центре геометрической тени, отбрасываемой небольшим диском, должно находиться светлое пятно.

Араго тут же провел эксперимент, который подтвердил существование предсказанного Пуассоном пятна. Это принесло победу и всеобщее признание в научном мире волновой теории света.

Рассмотрим предельные случаи. Если диск закрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени – освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии диска. Если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае m 1 1, так что светлое пятно в центре отсутствует, и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Фактически дифракционная картина не наблюдается, и распространение света является прямолинейным.

Дифракция на крае полуплоскости

Результат дифракции Френеля на крае полубесконечной плоскости характеризуется проникновением части световой энергии в область геометрической тени. В освещенной области (справа от края полуплоскости) образуется система параллельных краю полос, период и контрастность которых убывают по мере удаления от границы, т.е. в положительном направлении оси Х. По мере роста координаты «х» интенсивность волны приближается к значению, I0,т.е. значению интенсивности в

отсутствие препятствия.

Все эти качественные особенности легко получить, основываясь на разбиении плоского волнового фронта на полуволновые зоны, так называемые зоны Шустера, аналогичные

245

зонам Френеля по смыслу, но убывающие с ростом номера по площади.

Рис.21.7. Дифракция на крае полуплоскости. Разбиение на зоны ведется путем последовательного до-

бавления половины длины волны к расстоянию b от точки наблюдения P до границы полуплоскости. Поперечный размер зон быстро убывает, поэтому амплитуды вторичных волн от зон Шустера убывают быстрее, чем в случае круглого отверстия, при этом спираль Френеля на комплексной плоскости трансформируется в спираль Корню рис. 21.9, имеющую два фокуса.

Зоны Шустера: ∆ = λ / 2.

Рис. 21.8. Зоны Шустера.

d1 d2 ... dm (b m )2 b2 2bm m2 2 d1 d2 ... dm (b m )2 b2 2bm m2 2

b d1 d2 ... dm 2bm

dm b (m m 1) d1:d2:d3:d4:...= 1 : 0,41 : 0,32 : 0,27 …

246

Рис. 21.9. Спираль Корню (клотоида)

Рис. 21.10. Распределение интенсивности при дифракции на полуплоскости.

Рис.21.11. Определение интенсивности с помощью спирали Корню.

Для точек в области геометрической тени суммарная амплитуда изображается вектором, заканчивающемся в фокусе F1

и монотонно возрастающим по мере приближения к точке P, расположенной непосредственно под краем полуплоскости, при этом начало вектора («стрелочки») непрерывно скользит по

247

спирали (рис.21.11 а и б) и длина вектора монотонно растет. В точке P (х = 0) векторOF1 по модулю вдвое меньше вектора

F2F1 , который соответствует амплитуде волны на большом рас-

стоянии ( x ) от края полуплоскости. Из этого непосредственно следует, что в точке P интенсивность составляет четверть от I0 , интенсивности падающей волны. На больших рас-

стояниях от края полуплоскости в освещенной части влиянием экрана на падающую волну можно пренебречь. Очевидно, что при дальнейшем перемещении в освещенной части должны возникать убывающие по размаху осцилляции амплитуды (рис.21.11 в, г, д), при этом конец векторной амплитуды попрежнему зафиксирован в фокусе F1, а начало скользит по ниж-

ней ветви спирали, неограниченно приближаясь к фокусу F2, то

есть к амплитуде волны без экрана. На рисунке 21.10 представлен график зависимости интенсивности от координаты х, то есть от положения точки наблюдения P.

248

Лекция 22

Дифракция Фраунгофера Дифракция Фраунгофера на одной щели

Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Дифракция Фраунгофера. Если источник света S и

точка наблюдения Р расположены от препятствия достаточно далеко так, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, можно считать параллельными, говорят о дифракции Фраунгофера.

Рис.22.1. Метод получения дифракции Фраунгофера Дифракцию Фраунгофера можно смоделировать на ко-

нечном расстоянии от точек S и P препятствия. Это делается с помощью двух собирающих линз (рис. 22.1). При этом точка S должна находиться в фокусе первой линзы, а точка P в фокальной плоскости второй.

Дифракция Фраунгофера на одной щели. Плоская волна падает на экран с узкой щелью шириной b (рис.22.2). Фронт волны АВ является источником вторичных волн. Лучи, распространяющиеся под некоторым углом с помощью линзы собираются в некоторой т. М, где интерферируют с учетом разности фаз между ними. Разность фаз лучей 1, 2, 3, 4 определяется разностью хода 1 ,2 ,3 . Оптические пути АМ и СМ одинаковые. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта АВ до плоскости АС.

249

Рис. 22.2. Дифракция Фраунгофера на щели.

Для расчета интерференции применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию ВС на ряд отрезков длиной 2. На расстоянии BC bsin уложится

таких отрезков. Проводя линии из концов этих отрезков параллельные АС разобьем фронт волны на зоны Френеля.

Из построения следует, что волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в т. М в противофазе и гасят друг друга. Если число зон оказывается четным, z=2m, (m- целое число, не равное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно гасит друг друга и при данном угле на экране будет min освещенности. Углы , соответствующие этим min освещенности, находятся из условия:

освещенности Для этих углов фронт АВ разбивается на нечетное число

зон Френеля: z=2m+1 и одна из зон остается непогашенной.

Аналитический расчет дифракции на щели. Запишем выражение для волны, посылаемой каждым элементом волнового фронта и суммируется действие этих элементов.

Амплитуда волны от элемента пропорциональна его ширине dx

Световое возмущение от участка dx

251

Рис. 22.3. Аналитический расчет дифракции на щели.

В точке B соотношение фаз отдельных участков будет

таким же как на плоскости АС, т.к. AB и CB таутохромны.

Разность хода между волнами, идущими от элементарной зоны при т. А (край щели) и от какой-либо т. D (лежащей на расстоянии x от края щели) есть DE xsin . Световое возмущение в т. Е:

Результирующее возмущение в т. B определяется как сумма выражений dE, т.е. интегралом по всей ширине щели:

m , m 1,2,3...

bsin m - условие главного минимума

2) Max Imax A02 при 0, т.е. при 0, 0 является алгебраическим корнем уравнения tg (главный max).

3) Вторичные max при m , явл. трансцендентными корнями уравнения tg

253

1 1,43 , 2 2,46 , 3 3,47 , 4 4,47 ...

симума.

Таким образом, оба метода - аналитический и зон Френеля - дают практически один и тот же результат.

Найдем значения вторичных max

254

Графическое нахождение результирующей амплиту-

ды.

Рис. 22.5. Диаграмма сложения векторов. Разбиваем фронт волны АВ на щели на элементарные

участки и суммируем действие амплитуд этих участков с учетом фаз. Если разность фаз от крайних лучей щели равна , т.е.

2 bsin , то из чертежа получаем:

255

2) bsin (разность фаз 2 )

А=0

3)bsin 3 (разность фаз 3 )

2

4)bsin 2 (разность фаз 4 )

2 A 2 A0

2 3

A 2A0 3

Дифракционная решетка и ее разрешающая способ-

ность. Впервые изготовлена астрономом Риттенгаузом (1786г.), натянувшим ряд тонких проволок.

Начиная с Фраунгофера (1812г.) штрихи наносят на стеклянную (попускает свет) или на зеркальную металлическую пластинку (отражает свет).

Дифракционная решетка - это N параллельных щелей,

на которые падает плоская световая волна. Расстояние между

256

соседними щелями d называется периодом решетки. Лучи света, прошедшие каждую из N щелей распространяются во все стороны (под всеми углами ). Линза собирает параллельные лучи, вышедшие под одинаковыми углами , в одну точку Р экрана в фокальной плоскости.

Рис. 22.6. Ход лучей в дифракционной решетке.

В этой точке интерферируют (складываются) N лучей, пришедших от каждой щели.

Каждая щель создает колебания с амплитудой зависящей

от φ.

Разность хода между соседними лучами ==d sin (случай нормального падения света) т.е. колебание каждого соседнего светового вектора отстает по фазе от предыдущего на=k =2πd sin /λ. Все щели одинаковы. Поэтому в точке Р:

257

Eрез E0 cos( t 0) E0 cos( t 0 )

E 0 cos( t 0 2 ) E 0 cos( t 0 (N 1) )

Сложим эти колебания методом векторной диаграммы:

Рис. 22.7. Векторная диаграмма сложения амплитуд всех щелей.

Концы одинаковых векторов E0 лежат на окружности радиуса R. Из прямоугольных треугольников видно, что

AD=Eрез/2=Rsin(N /2), AB=E0φ/2=Rsin /2. Устраняя R, получим

Eрез/E0φ=sin(N /2)/sin( /2), т.е. интенсивность света, прошедшего через решетку в направлении угла , равна

можно представить (рис. 22.8).

258

При /2=πmи числитель, и знаменатель этого выражения стремятся к нулю. Раскрывая неопределенность по правилу Ло-

питаля, получим d sin = m λ, (10.2) где m=0,±1,±2,…

Это условие главных интерференционных максимумов. В точках главных интерференционных максимумов Iрез= N2I0 (22.8) где I0 - интенсивность света, проходящего через одну щель. В современных решетках 4 штр/мм (инфр)<N<3600 штр/мм (ультрафиолет).

Рис. 22.8. Структура дифракионной картины от дифракционной решетки.

Но между двумя соседними, главными максимумами расположены (N-1) интерференционных минимумов, соответ-

259

ствующих нулевым значениям числителя при ненулевом знаменателе:

N m , где m - целое, не равное 0,±IN,±2N,±3N,...

2

Отсюда 2 dsin 2 m или

N

d·sin = λm/N, где m=0,±N,±2N,...

Это условие дополнительных интерференционных минимумов.

Между главными максимумами находится N-1 дополнительных минимумов и N-2 дополнительных максимумов.

Если на решетку будет падать немонохроматический

(например, белый свет), то она разделит его в спектры m-го порядка (главные максимумы разных длин волн наблюдаются под разными углами)

Рис. 22.9. Картина дифракции белого света на дифракционной решетке.

Таким образом, дифракционную решетку можно использовать для спектрального анализа, т.е. для определения длин волн или частот падающего света. Такие приборы называются

спектрометрами или спектрографами.

Разрешение спектральных линий.

Возникает вопрос: какие две спектральные линии с близкими длинами волн λ и λ+δλ можно увидеть раздельно?

260

По критерию Рэлея два пика интенсивности на экране еще можно увидеть раздельно, если минимум первого пика совпадает с максимумом второго.

Рис. 22.10. Критерий Рэлея.

т.е. решетка позволяет увидеть раздельно две линии в спектре m-го порядка, если их длины волн различаются на δλ ≥ λ/mN.

Отношение 1 (22.9) называется разрешающей

mN

способность дифракционной решетки.

Чем больше число штрихов N, тем уже и ярче наблюдаемые главные интерференционные максимумы. Их ширина определяется на половине высоты (рис. 22.10).

Рис.22.10. Ширина дифракционного максимума.