lek_mehanika
.pdf
Раздел 6 Момент импульса. Момент силы.
Закон сохранения момента импульса.
Работа и кинетическая энергия при вращательном движении.
Вопросы.
Момент импульса материальной точки. Момент силы. Законы изменения и сохранения момента импульса.
Момент импульса материальной точки это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор импульса.
L = [rr ×pr] L = rpSinα
L = rmυSinα Lr rr Lr pr
Если материальная точка движется в плоскости, то L перпендикулярен этой плоскости и задает ось вращения.
Момент силы это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы.
M = [rr ×F] M = rFSinα
r r r r
M r M F
Рассмотрим систему N материальных точек. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела.
N r r |
|
mi ari = ∑Fij + Fiвв |
,i ≠ j (i =1,..., N) |
j=1
Каждое уравнение векторно умножим на соответствующий радиус-вектор.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi [rri ×ari ] |
= ∑[rri ×Fij ]+[rri |
×Fiвв ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Просуммируем эти N уравнений. |
|
] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
N |
N |
r |
|
N |
r |
|
|
|
|
||||||||||
|
∑mi [rri ×ari ]= ∑∑[rri ×Fij]+ ∑[rri ×Fiвв |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i=1 |
r |
|
|
|
ri=1 j=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
[rr1 ×F12 |
]+[rr2 |
×F21 ] |
|
= |
|
r1F12Sinα − r2 F21Sinβ |
|
= |
|
Sinα′F12 r1 − r2 F21Sinβ′ |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
F12 l − F21l |
|
= 0 ,( |
r |
= |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
F21 |
F12 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
N |
N |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑∑[rri ×Fij |
]= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сумма моментов внутренних сил всегда равна нулю.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
d |
|
|
|
dLi |
|
||
m |
[rr ×ar |
i |
]= m |
i |
r |
× |
dυi |
|
= rr |
× |
dpi |
|
= |
[rr |
×pr |
]= |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
i |
|
i |
|
|
|
i |
|
dt |
i |
|
|
|
|
dt |
i |
i |
|
dt |
|||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||
N |
|
|
|
N |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ |
dLi |
|
= ∑[rri ×Fiвв ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d |
|
N r |
|
|
N |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∑Li |
= ∑Miвв - закон изменения момента импульса. |
||||||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Суммарный момент импульса системы может меняться только под действием внешних сил. Моменты внутренних сил суммарный момент импульса изменить не могут. В замкнутой системе суммарный момент импульса остается постоянным.
N r
∑Li = const - закон сохранения момента импульса.
i=1
Раздел 7 Уравнение движения твёрдого тела.
Момент инерции.
Вопросы.
Движение материальной точки по окружности. Момент инерции материальной точки. Момент инерции системы материальных точек. Момент инерции тела.
Выражения для моментов инерции обруча, цилиндра, шара, стержня относительно его конца и относительно его центра. Основное уравнение динамики вращательного движения.
Рассмотрим движение материальной точки по окружности.
|
dL |
|
|
N |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ∑Miвв |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dtr |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dL |
|
= |
d |
[rr ×pr] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
r |
|
r |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
L = [r |
×p]= [r ×(mυ)]= m[r ×υ] |
|
|
|
|
||||||||
|
r |
r |
|
r |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = [ω× r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
r r r |
|
r r r |
r r r |
r |
r |
|
|
|||
L = m[r |
×[ω× r]] |
= m(ω(r, r) − r(r,ω)) = mr2 |
ω− mrωCosα r |
|
|
||||||||
|
|||||||||||||
Точку О перенесем в О’, то есть начало координат перенесем в центр окружности. |
|||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
L = mr2 ω = mR 2 |
ω |
|
|
|
|
|
|
||||||
J = mR 2 |
- момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси |
||||||||||||
вращения. |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L = Jω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Для тела произвольной формы J = ∑mi ri2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
J = ∫r 2dm = ∫r 2ρdV = ∫∫∫(x 2 |
+ y2 + z2 )ρ(x, y, z)dxdydz |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
V |
|
|
V |
|
V |
|
|
|
|
|
Моменты инерции:
1.Материальной точки J=mR2.
2.Обруч J=mR2.
3.Однородный цилиндр J = 12 mR 2 .
4.Шар J = 52 mR 2
r |
|
r |
|
|
N r |
|
dL |
|
dJω |
= Jεr |
|||
= |
= ∑Miвв |
|||||
dt |
dt |
|||||
|
|
|
i=1 |
|||
|
N r |
|
|
|
||
Jεr = ∑Miвв |
- основное уравнение динамики вращательного движения. |
|||||
i=1