lek_kolebanie

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.

x = ACosωt

1) y = BCos2ωt

By = Cos2ωt = 2Cos2ωt −1 Ax = Cosωt

y = 2 x 2 −1 B A2

x = ACosωt 2) = ωy BSin2 t

By = 2SinωtCosωt

Затухающие механические и электромагнитные колебания.

Вопросы.

Груз на пружине. Вывод дифференциального уравнения затухающих колебаний груза на пружине. Собственная частота и коэффициент затухания.

Вывод решения дифференциального уравнения затухающих колебаний. Условие апериодического процесса. Графики апериодического процесса. Условие возникновения колебаний. Уравнение затухающих колебаний. Частота, период и амплитуда затухающих колебаний. График затухающих колебаний.

Коэффициент затухания. Физический смысл коэффициента затухания. Время релаксации. Логарифмический декремент затухания. Связь логарифмического декремента затухания с коэффициентом затухания. Физический смысл логарифмического декремента затухания.

Выражения и графики для координаты, скорости и ускорения при затухающих колебаниях, соотношения их начальных фаз. Амплитуды координаты, скорости и ускорения.

Превращение энергии при затухающих колебаниях груза на пружине. Выражения и графики для потенциальной, кинетической и полной энергии. Добротность. Связь добротности с логарифмическим декрементом затухания. Физический смысл добротности.

Колебательный контур. Вывод дифференциального уравнения затухающих колебаний в контуре. Собственная частота и коэффициент затухания. Уравнение затухающих колебаний. Период затухающих колебаний. Условие апериодического процесса. Графики апериодического процесса. Критическое сопротивление.

Колебательный контур. Коэффициент затухания. Физический смысл коэффициента затухания. Время релаксации. Логарифмический декремент затухания. Связь логарифмического декремента затухания с коэффициентом затухания. Физический смысл логарифмического декремента затухания. Добротность. Связь добротности с логарифмическим декрементом затухания. Физический смысл добротности.

Колебательный контур. Выражения и графики для заряда, тока и напряжения на конденсаторе, соотношения их начальных фаз. Амплитуды заряда, тока и напряжения. Векторная диаграмма для затухающих колебаний в контуре.

Превращение энергии в колебательном контуре. Выражения и графики для энергии электрического поля конденсатора, энергии магнитного поля катушки индуктивности и полной энергии контура.

Затухающие механические колебания.

На тело действуют силы: FT=mg, N, Fупр= -kx, Fтр= -rυ, где r – коэффициент сопротивления движению.

По второму закону Ньютона:

mar = mgr + N + Fупр + Fтр

ox : − ma = −Fупр − Fтр

oy : 0 = −mg + N

ma = Fупр + Fтр

mx′′+ rx′+ kx = 0

x′′+ 2βx′+ω02 x = 0 - ДУ затухающих колебаний.

Начальные условия: x(t=0)=x0, υ(t=0)=υ0. x – действительно.

Решение ищем в виде x=eλt. x′ = λeλt x′′ = λ2eλt

λ2eλt + 2βλeλt + ω02eλt = 0

λ2 + 2βλ + ω02 = 0 - характеристическое уравнение.

D= β2 −ω02

λ12 = −β± β2 −ω02

x = C1eλ1t + C2eλ2t 1) β>>ω0

λ - действительно, колебаний нет, возникает апериодический процесс. В зависимости от соотношения λ1 и λ2 возможны три случая. Вид графика зависит от начальных условий.

2) ω0>β

λ12 = −β±i ω02 −β2 .

Чтобы решение было действительным: C2 = C1* C1 = A0eiϕ0 .

x = A0 e−βt (ei(ωt+ϕ0 ) +e−i(ωt+ϕ0 ) )

ω = ω02 −β2 - частота затухающих колебаний.

ω<ω0

x = A0e−βt Cos(ωt +ϕ0 ) - уравнение затухающих колебаний (решение ДУ затухающих колебаний).

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени A(t) = A0 e−βt . Константы A0 и ϕ0

определяются начальными условиями. Построим график затухающих колебаний.

Найдем физический смысл коэффициента затухания β. Для этого определим изменение амплитуды за период.

Найдем время, за которое амплитуда уменьшается в e раз, т.е. время релаксации колебаний.

Физический смысл состоит в том, что коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации.

Логарифмический декремент затухания это натуральный логарифм отношения амплитуд через период.

Связь логарифмического декремента и коэффициента затухания. Из формулы (1) видно:

δ = βT

Физический смысл логарифмического декремента.

Ne = Tτ - число колебаний за время релаксации. Физический смысл логарифмического

декремента состоит в том, что это величина, обратная числу колебаний за время релаксации. Найдем уравнение изменения скорости.

υ= −ω0 A0 e−βt (SinαCos(ωt + ϕ0 ) + CosαSin(ωt + ϕ0 )

υ= ω0 A0e−βt Cos(ωt + ϕ0 + α + π2) = υm Cos(ωt + ϕ0 + α + π2)

Получим уравнение для ускорения:

можно пренебречь.

W(t) = W0e−2βt

Предположим, что затухания малы (ω0>>β). Получим связь добротности и логарифмического декремента затухания.

δ <<1 e−2δ =1−2δ Q = 1−12π+ 2δ = πδ

Физический смысл добротности:

Q = πδ = πNe

Физический смысл добротности состоит в том, что добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации.

Электрические затухающие колебания.

q – заряд первой обкладки конденсатора. Ток положителен, если он направлен к первой обкладке. i=q’.

По второму закону Кирхгофа: UR + UC = eL

Rq′+ Cq = −Lq′′ q′′+ RL q′+

q′′+ 2βq′+ω02q = 0 - ДУ затухающих колебаний.

q = q0e−βt Cos(ωt +ϕ0 ) - уравнение затухающих колебаний для заряда.

Если затухание мало (ω0>>β), то T ≈ T0 = 2π LC .

Если ω0≤β - колебания не возникают, происходит апериодический процесс.

Критическое сопротивление это сопротивление, при котором колебания переходят в апериодический процесс.

ω02 = β2 R кр = 2 CL

R<Rкр – происходят колебания.

R≥Rкр – апериодический процесс.

β = 1τ - коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации, т.е. времени, за

которое амплитуда убывает в e раз.

τ = β1 = 2RL

Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе:

UR 0 = ω0 q0 R URm = UR 0 e−βt

Напряжение на катушке индуктивности:

u L = −eL = Li′ = ω02q0 Le−βt Cos(ωt + ϕ0 + 2α + π) = UL0 e−βt Cos(ωt + ϕ0 + 2α + π)

UL0 = ω02 q0 L ULm = UL0e−βt

Построим векторную диаграмму затухающих колебаний: За начало отсчета фазы возьмем фазу колебаний тока.

i = Im Cosωt

u R = URm Cosωt

u L = ULm Cos(ωt + α + π2)

uC = UCm Cos(ωt −α − π2) u R + uC + u L = 0

Изменение энергии контура:

Аналогично предыдущему параграфу, имеем:

Вынужденные механические и электромагнитные колебания. Резонанс. Связанные колебания.

Вопросы.

Груз на пружине. Вывод дифференциального уравнения вынужденных колебаний груза на пружине.

Вывод решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Векторная диаграмма. Амплитуда, частота и начальная фаза вынужденных колебаний. Графики зависимости амплитуды и начальной фазы от частоты вынуждающей силы. Уравнение вынужденных колебаний. Графики вынужденных колебаний при различных начальных условиях. Время установления колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний. График зависимости амплитуды от частоты вынуждающей силы. Резонанс. Резонансная частота. Начальная фаза при резонансе.

Колебательный контур. Вывод дифференциального уравнения вынужденных колебаний в контуре. Уравнение вынужденных колебаний. Векторная диаграмма. Амплитуда, частота и начальная фаза вынужденных колебаний в контуре. Резонансная частота.

Активное сопротивление в цепи переменного тока (напряжение, сила тока, соотношение фаз, средняя мощность за период, графики, векторная диаграмма). Действующее (эффективное) значение силы тока и напряжения.

Емкостное сопротивление в цепи переменного тока (напряжение, сила тока, соотношение фаз, средняя мощность за период, графики, векторная диаграмма).

Индуктивное сопротивление в цепи переменного тока (напряжение, сила тока, соотношение фаз, средняя мощность за период, графики, векторная диаграмма).

Последовательный RLC контур. Разности фаз между силой тока и напряжениями на R, L и C. Векторная диаграмма. Вывод амплитуды силы тока и разности фаз между вынуждающей эдс и силой тока. График зависимости амплитуды силы тока от частоты вынуждающей эдс. Резонансные частоты для амплитуды силы тока и амплитуд напряжений на R, L и C. Определение добротности по резонансной кривой. Выражения для резонансной амплитуды силы тока и резонансных амплитуд напряжений на R, L и C. Разности фаз при резонансе.

Параллельный RLC контур. Векторная диаграмма. Вывод амплитуды силы тока и разности фаз между эдс и силой тока. График зависимости амплитуды силы тока от частоты вынуждающей эдс. Резонансная частота для амплитуды силы тока на R. Выражения для резонансных амплитуд силы тока на R, L и C. Разности фаз при резонансе.

Грузы на пружинах. Вывод дифференциальных уравнений связанных колебаний грузов на пружинах. Вывод общего решения дифференциальных уравнений связанных колебаний грузов на пружинах.

Грузы на пружинах. Нормальные колебания (моды). Синфазные и антифазные колебания. Биения. Уравнения, графики. Период биений.

Связанные электрические колебания. Вывод дифференциальных уравнений связанных электрических колебаний. Вывод общего решения дифференциальных уравнений связанных электрических колебаний.

Связанные электрические колебания. Нормальные колебания (моды). Синфазные и антифазные колебания. Биения. Уравнения, графики. Период биений.

Вынужденные механические колебания.

F = Fm Cosωt - вынуждающая сила, которая меняется по гармоническому закону. По второму закону Ньютона, записанному в проекциях на ось x:

ma = Fупр + Fтр + F

Fупр = −kx Fтр = −rυ = −rx′ F = Fm Cosωt mx′′+ rx′+ kx = Fm Cosωt

x′′+ 2βx′+ω02 x = fm Cosωt - ДУ вынужденных колебаний.

Общее решение неоднородного ДУ состоит из двух слагаемых: общее решение однородного ДУ и одного из частных решений неоднородного ДУ.

x = x1 + x 2

Общее решение однородного ДУ: x′′+ 2βx′+ω02 x = 0

x1 = Ae−βt Cos(ωзt +ϕ0 ) ,ωз = ω02 −β2

Частное решение неоднородного ДУ ищем в виде: x 2 = x m Cos(ωt − α)

ω - частота вынуждающей силы. Подставим это уравнение в ДУ.

x′2 = −ωx mSin(ωt −α) = ωx m Cos(ωt −α + π2) x′2′ = −ω2 x m Cos(ωt −α) = ω2 x m Cos(ωt −α + π)

ωx m Cos(ωt −α + π2) + 2βω2 x m Cos(ωt −α + π) + ω02 x m Cos(ωt −α) = fm Cosωt

Для сложения колебаний воспользуемся векторной диаграммой. За начало отсчета фазы возьмем (ωt-α).

По теореме Пифагора: (ω02 −ω2 )2 x2m + 4β2ω2 x 2m = fm2 .