4. Синтез рекурсивных цифровых фильтров методом билинейного z – преобразования

Передаточная характеристика аналогового фильтра связана с импульсной характеристикой фильтра прямым преобразованием Лапласа

По аналогии с предыдущим соотношением дискретное преобразование Лапласа импульсной характеристики цифрового фильтра определяется выражением

Системная функция цифрового фильтра представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра

Из сопоставления двух последних соотношений следует, что для нахождения H(z) при известной передаточной характеристике аналогового фильтра-прототипа нужно сделать подстановку

(П.4)

Передаточная характеристика аналогового фильтра-прототипа K(p) представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой числитель и знаменатель выражаются полиномами относительно комплексной переменной p

Подстановка (П.4) не позволяет получить системную функцию в виде дробно-рациональной функции с полиномами относительно комплексной переменной z в числителе и знаменателе

Чтобы найти системную функцию воспользуемся разложением ln(z) в ряд и ограничим количество членов этого ряда. Для этого сначала представим z в виде

.

Найдем приближенное значение

.

Выражая α через z и подставляя в последнее соотношение, получим

.

После подстановки последнего соотношения в (П.4) получим

(П.5)

Это соотношение получило название билинейного Z- преобразования.

Докажем, что билинейное Z-преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр в устойчивый цифровой фильтр. Для этого из последнего соотношения выразим z через p =  + j, обозначив a = 2/T_Д

Откуда

Из этого соотношения видно, что при <0 (условие устойчивости аналогового фильтра-прототипа) (условие устойчивости цифрового фильтра). На рисунке П.1 показаны затемненные области устойчивости аналогового фильтра – прототипа в плоскости p и цифрового фильтра в плоскости z.

Рисунок П.1 – Области устойчивости цифрового фильтра и аналогового прототипа

Таким образом, билинейное Z-преобразование преобразует левую полуплоскость плоскости p в круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Найдем связь между цифровыми и аналоговыми частотами, на которых коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа одинаковы.

Используя билинейное Z – преобразование, можно выразить передаточную характеристику аналогового фильтра через системную функцию цифрового фильтра

Следовательно, комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра можно выразить через системную функцию цифрового фильтра

С другой стороны, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра связан с системной функцией следующим соотношением

Из двух последних соотношений видно, что коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа равны при выполнении условия

Преобразуя последнее соотношение, получим

(П.6)

Таким образом, частота аналогового фильтра – прототипа связана с частотой цифрового фильтра при равенстве их комплексных коэффициентов передачи нелинейной зависимостью. Из рисунка П.2 видно, что эта нелинейная зависимость вызывает сжатие АЧХ цифрового фильтра по сравнению с АЧХ аналогового фильтра – прототипа.

Рисунок П.2 – АЧХ цифрового фильтра и аналогового фильтра – прототипа при

использовании билинейного Z – преобразования

Чтобы избежать сужения полосы пропускания цифрового фильтра аналоговый прототип рассчитывают, исходя не из граничных частот полосового фильтра, а из граничных аналоговых частот, определенных по (П.3) при подстановке в эту формулу граничных частот цифрового фильтра. При этом получают цифровой фильтр с требуемыми граничными частотами.

Из (П.6) следует также, что чем выше частота дискретизации, тем ближе частота аналогового фильтра – прототипа к частоте цифрового фильтра.

Если частота цифрового фильтра удовлетворяет условию , то с погрешностью не более 5% можно считать аналоговую и цифровую частоты одинаковыми.

17