Для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на :

,

где - нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации F_Д.

2. Устойчивость цифровых фильтров

Рассмотрим критерии устойчивости цифровых фильтров.

1. Критерий «ОВ-ОВ» («Ограниченный вход – ограниченный выход»)

Цифровой фильтр устойчив, если при ограниченном входном сигнале выходной сигнал фильтра также ограничен.

Условие ограниченности входного сигнала определяется соотношением , где , а условием ограниченности выходного сигнала является .

Непосредственное использование этого критерия весьма затруднительно, т.к. требует определения значений отсчетов выходного сигнала при всех возможных значениях отсчетов входного сигнала. Поэтому требуются критерии, позволяющие оценить устойчивость фильтра на основании его характеристик.

2. Критерий оценки устойчивости по импульсной характеристике фильтра

Выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра

.

Абсолютное значения отсчетов выходного сигнала удовлетворяет неравенству

.

При справедливо неравенство

.

Следовательно,

.

Таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия , достаточно выполнить условие

.

Последнее соотношение определяет критерий устойчивости цифрового фильтра, который формулируется так: цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна.

Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.

3. Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра

Системная функция представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра

.

Модуль системной функции удовлетворяет неравенству

.

При справедливо неравенство

.

При и при модуль системной функции . Последнее соотношение означает, что в устойчивом цифровом фильтре должны отсутствовать полюсы системной функции в области комплексной переменной z, которая удовлетворяет неравенству .

Следовательно, если полюсы существуют, то в устойчивом фильтре они должны располагаться в области комплексной плоскости, для которой выполняется условие .

Поэтому критерий устойчивости, связанный с системной функцией фильтра, формулируется следующим образом: цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат ().

3.10. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Для определения полюсов системной функции приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (П.1)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

. (П.2)

Из неравенств (П.1) и (П.2) следует неравенство для коэффициента A₁

. (П.3)