5.1. Выполните синтез цифрового полосового эллиптического фильтра по программе «Filtrd».

Исходными данными для синтеза фильтра являются:

• Частота дискретизации Fd,

• Средняя частота полосы пропускания F_0,

• Полоса пропускания П,

• Неравномерность АЧХ в полосе пропускания σ,

• Ослабление в полосе задерживания А,

• Коэффициент прямоугольности k_p.

Эти данные приведены в таблице 1

Таблица 1

Параметр	Номер бригады
	№1	№2	№3	№4	№5	№6
Fd, кГц	16	16	8	8	24	12
F0, кГц	4	3	2	1.5	6	3
П, кГц	2	2	1	1	2	1
σ, дБ не более	0.5	1	1.5	2.5	2.5	1.8
А, дБ	65	70	70 1	58	85	72
kp	2	2	2	1.5	2.5	2

5.2. Рассчитайте АЧХ всех звеньев фильтра и фильтра в целом и ФЧХ фильтра в интервале от нуля до половины частоты дискретизации.

По АЧХ фильтра определите полосу пропускания, центральную частоту полосы пропускания, неравномерность АЧХ в полосе пропускания, коэффициент прямоугольности и ослабление в полосе задерживания.

5.3. Определите импульсную характеристику фильтра при рассчитанных значениях коэффициентов системной функции.

Определите импульсную характеристику фильтра, заменив рассчитанное значение A2₀ на 1.1: A2₀= 1.1.

5.4. Выполните моделирование процесса фильтрации при действии на входе фильтра сигнала амплитудной манипуляции. Частота несущей сигнала Fc. Амплитудная манипуляция несущей осуществляется случайной последовательностью однополярных элементарных посылок, Количество отсчетов в элементарной посылке равно n_v. Уровень посылки позитива X, уровень посылки негатива равен -X

Параметры сигнала приведены в таблице 2.

Пронаблюдайте сигнал на выходе фильтра и сравните его с входным сигналом.

Определите спектр сигнала на выходе фильтра и сравните его со спектром входного сигнала.

Повторите эксперимент, уменьшив частоту сигнала на 15%.

5.5. Выполните моделирование процесса фильтрации при действии на входе фильтра сигнала амплитудной манипуляции и двух синусоидальных помех с частотами Fp1 и Fp2 и амплитудами Xp1 и Xp2 соответственно. Параметры помех приведены в таблице 2.

Пронаблюдайте сигнал на выходе фильтра и сравните его с входным сигналом.

Определите спектр сигнала на выходе фильтра и сравните его со спектром входного сигнала.

Таблица 2

Параметр	Номер бригады
	№1	№2	№3	№4	№5	№6
Fd, кГц	16	16	8	8	24	12
Fс, кГц	4	3	2	1.5	6	3
nv	24	24	12	24	36	36
X	1	2	0.5	1	2	0.5
Fp1, кГц	1	1	0.5	0.5	2.5	1
Fp2, кГц	7	6	3.5	3	10	5
Xp1	2	1	3	4	10	5
Xp2	2	2	2	4	10	5

5.6. Пронаблюдайте временные и спектральные диаграммы белого шума на входе и выходе фильтра, задав среднеквадратическое значение шума σ =1

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать:

6.1. Программу и результаты моделирования в виде временных и спектральных диаграмм по п.5.1..5.5 содержания работы.

6.2. Выводы по работе.

7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

7.1. Синтез цифрового фильтра выполняется по программе «FILTRD». Введите в программу исходные данные из таблицы 1: коэффициент прямоугольности, неравномерность АЧХ в полосе пропускания и ослабление в полосе задерживания. Программа выдаст порядок низкочастотного прототипа полосового фильтра и фактическое значение неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Если фактическая неравномерность в полосе пропускания окажется существенно ниже допустимой, то можно скорректировать АЧХ, увеличив ослабление в полосе задерживания, но так, чтобы порядок низкочастотного прототипа не увеличился, а неравномерность АЧХ оставалась ниже допустимой.

Завершив коррекцию АЧХ, если она проводилась, введите значения частоты дискретизации, полосы пропускания и средней частоты полосы пропускания фильтра.

Программа выдаст значения коэффициентов системной функции рекурсивной и нерекурсивной частей фильтра. Сохраните эти коэффициенты (перепишите или скопируйте) и продолжите выполнение программы.

Для расчета масштабных коэффициентов введите в программу значение минимальной частоты, равное нулю, и значение максимальной частоты, равное половине частоты дискретизации.

Задайте шаг изменения частоты, равный 0.001 кГц.

Сохраните значения масштабных коэффициентов звеньев фильтра и масштабного коэффициента на выходе фильтра Mv.

7.2. Откройте Mathcad. Введите в программу рассчитанные коэффициенты A1, A2, B1, B2, M как элементы массивов, например:

Введите значение масштабного коэффициента на выходе фильтра Mv, диапазон изменения нормированной частоты

Введите соотношения, описывающие частотную характеристику и АЧХ звена №L

Порядковый номер звена изменяется от 0 до Lmax.

Введите значение Lmax и определите частотную характеристику фильтра, АЧХ и ФЧХ

Постройте графики АЧХ всех звеньев, отложив по оси ординат K1(f_N, 0) (для звена №0), а по оси абсцисс абсолютное значение частоты f_N Fd.

Постройте график АЧХ фильтра в линейном масштабе, отложив по оси ординат K(f_N), а по оси абсцисс f_N Fd.

Постройте график ФЧХ, отложив по оси ординат φ(f_N), а по оси абсцисс f_N Fd.

По АЧХ фильтра, представленной в линейном масштабе определите полосу пропускания, центральную частоту полосы пропускания и неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Для этого на графике АЧХ постройте прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через минимумы АЧХ в полосе пропускания, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1- АЧХ фильтра в линейном масштабе по оси ординат

Точки пересечения прямой с АЧХ задают значения минимальной Fmin (на рисунке 3 кГц) и максимальной Fmax (на рисунке 5 кГц).

Полоса пропускания при неравномерности σ равна

Средняя частота полосы пропускания равна

Неравномерность АЧХ в полосе пропускания определяется как отношение максимального коэффициента Kmax передачи к минимальному в пределах полосы пропускания Kmin

Постройте зависимость относительного коэффициента передач фильтра K(f_N)/Kmax от частоты в логарифмическом масштабе по оси ординат, где Kmax – максимальный коэффициент передачи фильтра рисунок 2.

Рисунок 2 – АЧХ фильтра в логарифмическом масштабе по оси ординат

Для определения коэффициента прямоугольности и ослабления в полосе задерживания на графике постройте прямую, касательную к максимальному уровню пульсаций в полосе задерживания . На рисунке это прямая на уровне

Точки пересечения прямой с АЧХ определяют границы полосы пропускания П_А при заданном ослаблении А.

Коэффициент прямоугольности определяется по формуле

Ослабление в полосе задерживания равно

Сделайте вывод о соответствии АЧХ фильтра заданным требованиям.

7.3. Для нахождения импульсной характеристики фильтра подайте на вход фильтра единичный отсчет и наблюдайте выходной сигнал – импульсную характеристику.

Задайте максимальный номер отсчета сигнала n_max , равный 200..400.

Сформируйте единичный отсчет

Введите программу определения импульсной характеристики фильтра (рисунок 3).

Рисунок 3 – Программа определения импульсной характеристики фильтра

Постройте график импульсной характеристики – зависимость h_n от n.

Введите новое значение коэффициента системной функции

Посмотрите, как изменилась импульсная характеристика, запишите максимальное значение отсчета импульсной характеристики.

Увеличьте n_max на порядок и запишите новое максимальное значение отсчета импульсной характеристики.

Запишите в отчет вывод о причине нарастания абсолютных значений отсчетов импульсной характеристики.

7.4. Введите параметры сигнала: частоту несущей Fc и количество отсчетов в элементарной посылке модулирующего сигнала n_v.

Введите рассчитанное ранее значение коэффициента системной функции A2₀.

Задайте максимальный номер отсчета сигнала n_max = 4095. При этом количество отсчетов равно 2¹², что необходимо для применения функции прямого быстрого преобразования Фурье при определении спектра сигнала.

Сформируйте последовательность единичных отсчетов на границах элементарных посылок

Сформируйте случайную последовательность элементарных посылок модулирующего сигнала

Запишите соотношение для модулированного сигнала

Приведите временную диаграмму этого сигнала.

Для определения спектра входного сигнала введите

Выведите график зависимости модуля спектральной плотности от частоты

Определите сигнал на выходе фильтра

Постройте временную диаграмму сигнала на выходе фильтра

Определите спектр сигнала на выходе фильтра

Выведите график зависимости модуля спектральной плотности от частоты

Сравните временные и спектральные диаграммы входного и выходного сигналов фильтра. Запишите в отчет вывод о влиянии фильтра на выходной сигнал.

Повторите эксперимент, уменьшив частоту сигнала на 15%.

Запишите в отчет вывод о влиянии расстройки несущей сигнала относительно центральной частоты полосы пропускания фильтра.

7.5. Из таблицы 2 введите значения частот Fp1 и Fp2 и амплитуд Xp1 и Xp2 двух синусоидальных помех

Сформируйте помехи и суммарное колебание сигнала и помех при номинальной частоте сигнала, приведенной в таблице 2,

Постройте временную диаграмму суммарного колебания.

Определите спектр суммарного колебания

Постройте график амплитудного спектра суммарного колебания так же, как строился график спектра входного сигнала фильтра без помех.

Введите программу фильтрации (рисунок 4) и после её выполнения постройте временную диаграмму сигнала на выходе фильтра.

Рисунок 4 – Программа фильтрации

Определите спектр выходного сигнала фильтра.

Постройте график зависимости амплитудного спектра выходного сигнала фильтра от частоты.

Сравните временные и спектральные диаграммы входного и выходного сигналов фильтра. Запишите в отчет вывод о влиянии фильтра на выходной сигнал.

7.6. Введите среднеквадратичное значение шума σ = 1.

Сформируйте массив отсчетов шума

Постройте временную диаграмму шума на входе фильтра.

Определите спектр шума на входе фильтра

Постройте график амплитудного спектра шума на входе фильтра.

Введите программу фильтрации

Постройте временную диаграмму шума на выходе фильтра.

Определите спектр шума на выходе фильтра

Постройте график амплитудного спектра шума на выходе фильтра.

Сравните временные и спектральные диаграммы шума на входе и выходе фильтра.

Запишите в отчет вывод о влиянии фильтра на белый шум

ПРИЛОЖЕНИЕ

к лабораторной работе №4

Синтез и исследование рекурсивного цифрового фильтра

1. Основные характеристики цифровых фильтров

Цифровым фильтром называется линейная частотно-избирательная система, реализуемая на основе вычислительного устройства.

Пусть при действии на входе цифрового фильтра последовательности отсчетов x_n на выходе действует последовательность y_n

Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n зависит только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1 ..и т.д., то такой фильтр называется нерекурсивным.

Если n-ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n зависит не только от отсчетов входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1 и т.д., но и от отсчетов выходного сигнала в предшествующие моменты времени, то такой фильтр называется рекурсивным.

Импульсной характеристикой цифрового фильтра называется выходной сигнал фильтра при действии на его входе единичного отсчета и нулевых начальных условиях.

На рисунке П.1 показаны входной сигнал фильтра в виде единичного отсчета x_n и реакция фильтра на этот сигнал – импульсная характеристика h_n.

Рисунок П.1 – Единичный отсчет x_n и импульсная характеристика h_n

Фильтр с конечной импульсной характеристикой называется КИХ-фильтром (КИХ-конечная импульсная характеристика). Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой называют БИХ-фильтром.

Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра Y(z) к Z-преобразованию входного сигнала X(z)

(П.1)

Выходной сигнал фильтра y_n представляет собой дискретную свертку входного сигнала x_n и импульсной характеристики h_n

Z – преобразование дискретной свертки двух последовательностей равно произведению Z – преобразований этих последовательностей

Y(z) = H(z) X(z),

где

. (П.2)

Из (П.1) и (П.2) следует, что системная функция представляет собой прямое Z – преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Комплексным коэффициентом передачи фильтра является отношение комплексной амплитуды выходного сигнала фильтра к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала

.

Коэффициентом передачи фильтра К называется модуль комплексного коэффициента передачи

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на :

,

где - нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации F_Д.

2. Устойчивость цифровых фильтров

Рассмотрим критерии устойчивости цифровых фильтров.

1. Критерий «ОВ-ОВ» («Ограниченный вход – ограниченный выход»)

Цифровой фильтр устойчив, если при ограниченном входном сигнале выходной сигнал фильтра также ограничен.

Условие ограниченности входного сигнала определяется соотношением , где, а условием ограниченности выходного сигнала является.

Непосредственное использование этого критерия весьма затруднительно, т.к. требует определения значений отсчетов выходного сигнала при всех возможных значениях отсчетов входного сигнала. Поэтому требуются критерии, позволяющие оценить устойчивость фильтра на основании его характеристик.

2. Критерий оценки устойчивости по импульсной характеристике фильтра

Выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра

.

Абсолютное значения отсчетов выходного сигнала удовлетворяет неравенству

.

При справедливо неравенство

.

Следовательно,

.

Таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия , достаточно выполнить условие

.

Последнее соотношение определяет критерий устойчивости цифрового фильтра, который формулируется так: цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна.

Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.

3. Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра

Системная функция представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра

.

Модуль системной функции удовлетворяет неравенству

.

При справедливо неравенство

.

При и примодуль системной функции. Последнее соотношение означает, что в устойчивом цифровом фильтре должны отсутствовать полюсы системной функции в области комплексной переменнойz, которая удовлетворяет неравенству .

Следовательно, если полюсы существуют, то в устойчивом фильтре они должны располагаться в области комплексной плоскости, для которой выполняется условие .

Поэтому критерий устойчивости, связанный с системной функцией фильтра, формулируется следующим образом: цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат .

3. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Для определения полюсов системной функции приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (П.3)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

. (П.4)

Из неравенства (П.3) следует неравенство для коэффициента A₁

. (П.5)

4. Синтез рекурсивных цифровых фильтров методом билинейного Z – преобразования

Передаточная характеристика аналогового фильтра связана с импульсной характеристикой фильтра прямым преобразованием Лапласа

По аналогии с предыдущим соотношением дискретное преобразование Лапласа импульсной характеристики цифрового фильтра определяется выражением

Системная функция цифрового фильтра представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра

Из сопоставления двух последних соотношений следует, что для нахождения H(z) при известной передаточной характеристике аналогового фильтра-прототипа нужно сделать подстановку

(П.6)

Передаточная характеристика аналогового фильтра-прототипа K(p) представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой числитель и знаменатель выражаются полиномами относительно комплексной переменной p

Подстановка (П.6) не позволяет получить системную функцию в виде дробно-рациональной функции с полиномами относительно комплексной переменной z в числителе и знаменателе

Чтобы найти системную функцию воспользуемся разложением ln(z) в ряд и ограничим количество членов этого ряда. Для этого сначала представим z в виде

.

Найдем приближенное значение

.

Выражая α через z и подставляя в последнее соотношение, получим

.

После подстановки последнего соотношения в (П.6) получим

(П.7)

Это соотношение получило название билинейного Z- преобразования.

Докажем, что билинейное Z-преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр в устойчивый цифровой фильтр. Для этого из последнего соотношения выразим z через p =  + j, обозначив a = 2/T_Д

Откуда

Из этого соотношения видно, что при <0 (условие устойчивости аналогового фильтра-прототипа) (условие устойчивости цифрового фильтра). На рисунке П.2 показаны затемненные области устойчивости аналогового фильтра – прототипа в плоскостиp и цифрового фильтра в плоскости z.

Рисунок П.2 – Области устойчивости цифрового фильтра и аналогового прототипа

Таким образом, билинейное Z-преобразование преобразует левую полуплоскость плоскости p в круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Найдем связь между цифровыми и аналоговыми частотами, на которых коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа одинаковы.

Используя билинейное Z – преобразование, можно выразить передаточную характеристику аналогового фильтра через системную функцию цифрового фильтра

Следовательно, комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра можно выразить через системную функцию цифрового фильтра

С другой стороны, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра связан с системной функцией следующим соотношением

Из двух последних соотношений видно, что коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа равны при выполнении условия

Преобразуя последнее соотношение, получим

(П.8)

Таким образом, частота аналогового фильтра – прототипа связана с частотой цифрового фильтра при равенстве их комплексных коэффициентов передачи нелинейной зависимостью. Из рисунка П.2 видно, что эта нелинейная зависимость вызывает сжатие АЧХ цифрового фильтра по сравнению с АЧХ аналогового фильтра – прототипа.

Рисунок П.3 – АЧХ цифрового фильтра и аналогового фильтра – прототипа

при использовании билинейного Z – преобразования

Чтобы избежать сужения полосы пропускания цифрового фильтра аналоговый прототип рассчитывают, исходя не из граничных частот полосового фильтра, а из граничных аналоговых частот, определенных по (П.8) при подстановке в эту формулу граничных частот цифрового фильтра. При этом получают цифровой фильтр с требуемыми граничными частотами.

Из (П.8) следует также, что чем выше частота дискретизации, тем ближе частота аналогового фильтра – прототипа к частоте цифрового фильтра.

Если частота цифрового фильтра удовлетворяет условию , то с погрешностью не более 5% можно считать аналоговую и цифровую частоты одинаковыми.

46