1. Дискретизация непрерывных сигналов

0. Спектр дискретной косинусоиды

На рисунке 1.1 представлена временная диаграмма аналогового сигнала и вспомогательный сигнал u(t), который представляет собой последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой U и длительностью τ, смещенных друг относительно друга на интервал дискретизации T_Д.

Рисунок 1.1 – Дискретизация аналоговой косинусоиды

Функция u(t) является периодической функцией времени, которую можно представить рядом Фурье

,

где .

Следовательно,

В последнем соотношении K – максимальный номер гармоники, при котором выполняется приведенное выше неравенство.

Дискретный сигнал определяется соотношением

Из последнего соотношения видно, что при дискретизации имеет место эффект размножения спектра аналогового сигнала: в спектре дискретной косинусоиды содержатся составляющие с частотами при k = 0, 1, 2, ... Амплитуды этих составляющих одинаковы и пропорциональны амплитуде X аналоговой косинусоиды.

Задача №1.1

На входе дискретизатора действует аналоговый сигнал

, где X=1, F=1 кГц.

Начертите с соблюдением масштаба амплитудный спектр сигнала до дискретизации (верхний график) и после дискретизации (нижний график), если частота дискретизации равна F_Д = 8 кГц. Спектр дискретного сигнала вычертить в интервале от 0 до 26 кГц, используя относительный масштаб по оси ординат.

Решение задачи №1.1

Составляющие спектра дискретного сигнала определим по формуле

при k = 0, 1, 2, 3.

Получим частоты: 1, 7, 9, 15, 17, 23 и 25 кГц.

Рисунок 1.2 – Амплитудный спектр сигнала до и после дискретизации

Задача №1.2

На входе дискретизатора действует аналоговый сигнал

, где X=1, f₀=17 кГц.

Начертите с соблюдением масштаба амплитудный спектр сигнала до дискретизации (верхний график) и после дискретизации (нижний график), если частота дискретизации равна F_Д = 8 кГц. Спектр дискретного сигнала вычертить в интервале от 0 до 26 кГц, используя относительный масштаб по оси ординат.

Решение задачи №1.2

Составляющие спектра дискретного сигнала определим по формуле

при k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Рисунок 1.3 – Амплитудный спектр сигнала до и после дискретизации

На рисунке 1.4 приведены временные диаграммы сигналов на входе и выходе дискретизатора. Из него видно, что в периоде дискретного сигнала x_Д(t) содержится 17 периодов аналогового сигнала x(t), следовательно, при f₀ = 17 кГц частота дискретного сигнала равна 1 кГц, т.е. частоте составляющей спектра дискретного сигнала, которая располагается в интервале частот от нуля до F_Д / 2 (в интервале Котельникова).

Сравните рисунок 1.4 с рисунком 1.1, из которого видно, что частота дискретного сигнала равна частоте аналогового сигнала, если частота аналогового сигнала находится в пределах интервала Котельникова.

Рисунок 1.4 - Временные диаграммы сигналов на входе и

выходе дискретизатора

1.2. Дискретизация аналогового сигнала,

представляемого суммой гармоник

Пусть

где

Тогда

Вывод: спектр дискретного сигнала, полученного путем дискретизации аналогового сигнала в виде суммы гармонических составляющих, определяется путем суперпозиции спектров, соответствующих каждой гармонической составляющей исходного сигнала.

Задача №1.3

На входе дискретизатора действует аналоговый сигнал

,

где X₁=1, F₁=1 кГц , X₂=0.5, F₂=2 кГц.

Начертите с соблюдением масштаба амплитудный спектр сигнала до дискретизации (верхний график) и после дискретизации (нижний график), если частота дискретизации равна F_Д = 8 кГц. Спектр дискретного сигнала вычертить в интервале от 0 до 27 кГц, используя относительный масштаб по оси ординат.

Решение задачи №1.3

Составляющая спектра аналогового сигнала с частотой F₁ и амплитудой X₁ порождает составляющие спектра дискретного сигнала с частотами и равными амплитудами, пропорциональными X₁.

При k = 0, 1, 2, 3 получаем частоты: 1, 7, 9, 15, 17, 23, 25 кГц.

Составляющая спектра аналогового сигнала с частотой F₂ и амплитудой X₂ порождает составляющие спектра дискретного сигнала с частотами и равными амплитудами, пропорциональными X₁.

При k = 0, 1, 2, 3 получаем частоты:2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 кГц.

Спектры аналогового и дискретного сигналов приведены на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Амплитудный спектр сигнала

до и после дискретизации

Задача №1.4

На входе дискретизатора действует аналоговый сигнал

,

где k_m=2, X₀=1, X₁= 0.5, X₂ = 0.25, F₀ =0, F₁=0.5 кГц,

F₂ =1 кГц, f₀ =18 кГц.

Начертите с соблюдением масштаба амплитудный спектр сигнала до дискретизации (верхний график) и после дискретизации (нижний график), если частота дискретизации равна F_Д = 8 кГц. Спектр дискретного сигнала вычертить в пределах интервала частот от нуля до F_Д /2 (интервала Котельникова) в относительном масштабе по оси ординат.

Решение задачи №1.4

На рисунке 1.6 приведен амплитудный спектр исходного аналогового сигнала в соответствии с выражением для x(t).

При дискретизации в интервале Котельникова появляются спектральные составляющие за счет взаимодействия составляющих спектра аналогового сигнала со второй гармоникой частоты дискретизации: Амплитуды этих составляющих прямо пропорциональны X₀, X₁ и X₂ соответственно.

Рисунок 1.6 – Амплитудный спектр сигнала

до и после дискретизации

Задача №1.5

На входе дискретизатора действует аналоговый сигнал

Начертите с соблюдением масштаба амплитудный спектр сигнала до дискретизации (верхний график) и после дискретизации (нижний график), если частота дискретизации равна F_Д = 8 МГц, m₁ = 1, m₂ =0.5, F ₁ = 0.5 МГц,

F ₂ = 1 МГц, f₀ = 18 МГц. Спектр дискретного сигнала вычертить в пределах интервала Котельникова (от нуля до

F_Д / 2), используя относительный масштаб по оси ординат.

Решение задачи №1.5

Для определения спектра аналогового сигнала представим x(t) в виде суммы гармонических составляющих

Из последнего соотношения видно, что в спектре аналогового сигнала содержатся составляющие с частотами

f₀ = 18 МГц, f₀-F₁=17.5 МГц, f₀-F₂=17 МГц, f₀+F₁=18.5 МГц, f₀+F₂=19 МГц. Их амплитуды равны 1, 0.5, 0.25, 0.5, 0.25 соответственно. Амплитудный спектр этого сигнала приведен на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 – Амплитудный спектр сигнала

до и после дискретизации

В результате дискретизации в пределах интервала Котельникова появляются составляющие спектра на частотах:

1.3. Дискретизация апериодического аналогового

сигнала

Известно, что спектр апериодического аналогового сигнала x(t) определяется с использованием прямого преобразования Фурье

(1.1)

Для определения дискретного сигнала сначала преобразуем функцию u(t)

Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье, найдем спектр дискретного сигнала

Сравнивая последнее соотношение с (1.1), выразим спектр дискретного сигнала через спектр аналогового сигнала

Таким образом, спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного сомножителя Uτ/T_Д равен сумме спектров аналогового сигнала, сдвинутых на kω_Д. На рисунке 1.8 показаны спектры апериодического аналогового сигнала до и после дискретизации как в области положительных, так и в области отрицательных частот. По оси абсцисс вместо круговой частоты ω задаётся частота

Рисунок 1.8 - Спектры апериодического аналогового

сигнала до дискретизации (а), после дискретизации при отсутствии (б) и при наличии (в) наложения спектров

Отличие спектров апериодического сигнала от линейчатых спектров периодического сигнала состоит в том, что спектральная плотность апериодического сигнала представляет собой непрерывную функцию частоты.

Как видно из рисунка 1.8 эффект наложения спектров отсутствует, если

Из последнего неравенства следует известное условие выбора частоты дискретизации – теорема Котельникова

Задача №1.6

На рисунке 1.9 а показан спектр аналогового сигнала с минимальной частотой F_min = 1 МГц, с максимальной частотой F_max = 2 МГц. Частота дискретизации равна F_Д = 8 МГц. Начертите в относительном масштабе (по оси ординат) спектр дискретного сигнала в интервале частот от нуля до 27 МГц.

Рисунок 1.9 - Спектральные диаграммы на входе и выходе дискретизатора

Решение задачи №1.6

Минимальной частоте спектра аналогового сигнала F_min в спектре дискретного сигнала соответствуют частоты : 1, 7, 9, 15, 17, 23, 25 МГц при k = 0, 1, 2, 3.

Максимальной частоте спектра аналогового сигнала F_max в спектре дискретного сигнала соответствуют частоты : 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 МГц при k = 0, 1, 2, 3.

Форма сгустков спектра дискретного сигнала повторяет форму спектра аналогового сигнала с инверсией спектра или без нее.

Спектр сигнала на выходе дискретизатора приведен на рисунке 1.9 б.