- •В.Г. Карташевский Основы теории массового обслуживания
- •Радио и связь
- •Оглавление
- •Введение.
- •Потоки событий.
- •Потоки бывают однородными и неоднородными (просто самолёты или самолёты по маркам). Обычно используют однородные потоки.
- •Закон распределения интервала времени, на который падает точка.
- •1.3. Закон распределения времени до наступления очередного события Пусть имеется стационарный поток Пальма и точка s, занимающая на оси t любое положение (см. Рис.1.5).
- •Вероятность справедливости этой гипотезы запишется как
- •1.4. Пуассоновский поток событий.
- •1.5. Вывод формулы Пуассона через производящую функцию.
- •1.6 Другие стационарные потоки Пальма.
1.5. Вывод формулы Пуассона через производящую функцию.
Рассмотрим поток событий, обладающий свойствами ординарности и отсутствия последействия. Пусть - веро-ятность того, что за малый интервал времени , примы-кающий к моменту времени t, произойдет n событий. Очевидно , и будем считать, что выполняется условие нормировки . Опишем динамику изменения вероят-ности состояния потока за время . Для n=0 (отсутствие событий на интервале ) можно записать:
. (1.38а)
Множитель является в силу ординарности потока вероятностью того, что за интервал не произойдет ни одного события. Для любого согласно формуле полной вероятности аналогично (1.38а) запишем
. (1.38б)
Из последнего выражения легко получить
для n1.
При слева получается производная , и в соответствие с этим выражения (1.38а) и (1.38б) можно переписать в дифференциальной форме.
. (1.39)
Это - дифференциально-разностные уравнения, которые удоб-но решать, используя производящую функцию. По определению производящая функция является Z – преобразованием распре-деления вероятностей и записывается в виде:
, (1.40)
где z – любое комплексное число, которое дает сходимость сум-мы в (1.40).
Из (1.40) следует, что если продифференцироватьn раз по z, то можно найти , положив z=0, т.е.
. (1.41)
При решении уравнений начало отсчета времени можно выбирать произвольно, даже после того, как произойдет некоторое число событий. Возможно, что при t=0 уже произошло i событий. Тогда:
при ,
при .
Таким образом
. (1.42)
Из определения также следует:
, (1.43)
и . (1.44)
Умножим систему (1.39) на (первое уравнение на) и про-суммируем поn, тогда получим:
.
Слева от знака равенства согласно (1.44) записана производная . Первое слагаемое справа очевидно имеет вид, а второе представляется как
.
В итоге получаем дифференциальное уравнение
,
которое, как известно, имеет решение:
.
Константа C определяется из начальных условий. Пусть при t=0 не было ни одного события. Тогда из (1.42) следует, что т.к. i=0. Поэтому С=1. Окончательно получаем:
. (1.45)
Теперь воспользуемся формулой (1.41) :
,
,
.
Последняя формула совпадает с распределением Пуассона, где t интерпретируется как интервал (0,t).