- •В.Г. Карташевский Основы теории массового обслуживания
- •Радио и связь
- •Оглавление
- •Введение.
- •Потоки событий.
- •Потоки бывают однородными и неоднородными (просто самолёты или самолёты по маркам). Обычно используют однородные потоки.
- •Закон распределения интервала времени, на который падает точка.
- •1.3. Закон распределения времени до наступления очередного события Пусть имеется стационарный поток Пальма и точка s, занимающая на оси t любое положение (см. Рис.1.5).
- •Вероятность справедливости этой гипотезы запишется как
- •1.4. Пуассоновский поток событий.
- •1.5. Вывод формулы Пуассона через производящую функцию.
- •1.6 Другие стационарные потоки Пальма.
1.3. Закон распределения времени до наступления очередного события Пусть имеется стационарный поток Пальма и точка s, занимающая на оси t любое положение (см. Рис.1.5).
Рис.1.5. К определению закона распределения .
Плотность распределения интервала T* отличается от плотности распределения всех остальныхT и согласно (1.8) записывается в виде . Найдем закон распределения случайной величины.
Для этого рассмотрим гипотезу: интервал T* принял значение на участке (t* , t* + dt*).
Вероятность справедливости этой гипотезы запишется как
.
Будем искать плотность распределения при условии справедливости сформулированной гипотезы. Эту условную плотность обозначим .
Нет оснований считать какой-то участок интервала t*, на который упала точка S, более вероятным для положения этой точки, чем другой. Поэтому точка S на интервале t* будет распределена равномерно и условная плотность тоже будет равномерна
. (1.19)
Совместная плотность и T* имеет вид:
. (1.20)
Безусловная плотность:
. (1.21)
С учетом (1.19) подынтегральная функция отлична от нуля при 0 t* , т.е. при t*. Поэтому (1.21) преобразуется к виду
, (1.22)
где F(x) - функция распределения случайной величины T.
Итак: . (1.23)
Здесь - математическое ожидание случайной величины T.
Найдем числовые характеристики случайной величины через её характеристическую функцию
. (1.24)
Интеграл в (1.24) можно вычислить по частям. Обозначая
, ,
имеем , .
Теперь
,
где g(x) – характеристическая функция случайной величины T (как преобразование Фурье w(t)).
Напомним, что согласно (1.11) , ,
поэтому: . (1.25)
Найдем и .
.
Если в последнем выражении подставить , то получится неопределенность типа . Раскроем её по правилу Лопиталя..
Согласно формуле (1.14)
,
поэтому (1.26)
(после третьего знака равенства учтена формула (1.17)).
Следовательно, математическое ожидание остатка всегда не меньше, чем половина математического ожидания любого интервала между событиями в стационарном потоке Пальма.
Поступая аналогично, найдем дисперсию
. (1.27)
В заключение параграфа заметим, что случайные величины Н и зависимы (вследствие соотношения , см. рис.1.5), а закон распределенияН такой же, как у .
1.4. Пуассоновский поток событий.
Пуассоновский поток – это поток обладающий двумя свойствами – ординарностью и отсутствием последействия.
Понятие ординарности было объяснено выше, а свойство отсутствия последействия можно сформулировать следующим образом: для двух неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих в один интервал, не зависит от того, сколько событий попало в другой.
Пусть дан стационарный поток с интенсивностью . Из ординарности потока следует:
- вероятность наступления одного события за время :
- вероятность ненаступления события
Рассмотрим интервал , представленный на рис. 1.6. Из независимости (отсутствия последействия) событий на соседних интервалах следует, что вероятность наступления k событий на m интервалах определяется биномиальной формулой:
, (1.28)
где число сочетаний .
Рис. 1.6. К определению пуассоновского потока событий.
Для вычисления факториалов используем формулу Стирлинга
(1.29)
(при m=1 ошибка вычислений по (1.29) составляет 8%, при m=100 ошибка - 0,08%), а для вычисления при
- второй замечательный предел .
С учетом сделанных замечаний формула (1.28) преобразуется к виду
, (1.30) и именно в таком виде она известна как распределение Пуассона, где k=0,1,2,... Вид этого дискретного распределения приведен на рис.1.7.
Рис.1.7. Распределение Пуассона
Заметим, что распределение Пуассона удовлетворяет ус-ловию нормировки .
В случае нестационарного потока распределение Пуассо-на записывается в виде:
, (1.31)
где -среднее число событий, наступающих на интервале T, примыкающем к моменту t,
,
а - интенсивность нестационарного потока.
В стационарном случае и получа-ется формула (1.30).
Найдем среднее и дисперсию распределения Пуассона. Среднее:
. (1.32)
Вычисление (1.32) иллюстрируется следующими соотношения-ми (с учетом условия нормировки)
.
Дисперсия:
. (1.33)
Здесь необходимо отметить, что распределение Пуассона обладает уникальным свойством – равенством среднего и дисперсии, - что отличает его от всех известных распределений и может служить признаком при идентификации распределения на практике. Из отношения
следует, что при больших распределение тесно группиру-ется около среднего. Оценкой может служить величина , гдеn - измеренное на практике число событий на интервале Т.
Стационарный пуассоновский поток событий называет-ся простейшим потоком.
Рассмотрим теперь интервалы времени (см. рис.1.8) между событиями в стационарном пуассоновском потоке, которые представляют собой непрерывные случайные величины.
Возьмем начальный интервал времени (он ничем не отличается от всех остальных), и отметим после 0 некоторую точку x. На интервале (0, x) не будет ни одного события, если .
Рис.1.8. Анализ интервалов времени в пуассоновском потоке
Вероятность выполнения этого неравенства может быть вычислена по формуле (1.30) для с учетом того, чтох=Т
.
Далее:
Последнее выражение - это (по определению) функция распределения случайной величины , т.е. . Но тогда
, (1.34)
т.е. для пуассоновского потока имеет экспоненциальное расп-ределение для (см. рис. 1.9).
Рис.1.9. Экспоненциальное распределение.
Характеристики экспоненциального распределения:
среднее - ,
дисперсия - .
Если случайная точка S попадает на интервал между событиями в пуассоновском потоке (см. предыдущий параграф), то
. (1.35)
Формула (1.35) – это распределение Эрланга 1-го порядка. При этом согласно формулам (1.17), (1.18) получим
и .
Сравнивая и , а так же и , можно утверж-дать, что наличие случайной точки S в каком-либо интервале пуассоновского потока “раздвигает” его, увеличивая среднее и дисперсию вдвое.
Теперь найдем для пуассоновского потока.
, (1.36)
что совпадает с экспоненциальным распределением, спра-ведливым для интервала времени между событиями в пуассоновском потоке, т.е. случайная величина распределена так же, как и T. Это является формой проявления свойства отсутствия последействия. Любая информация о том, как вел себя поток до точки S, не дает нам сведений о том, что произойдет после точки S.
Вычислим характеристическую функцию интервала между соседними событиями в простейшем потоке.
. (1.37)
Итак, поток Пальма является простейшим, если характеристическая функция интервала между соседними событиями равна .
В заключение отметим одно важное свойство пуассоновского процесса. Пусть есть m пуассоновских потоков с интенсивностями ,, … . Объединим эти потоки. Тогда объединенный поток будет опять пуассоновский с интенсивностью . Покажем справедливость этого утверждения.
Пусть - число событийi-го процесса в промежутке , i=1,2…m. - число событий в объединенном процессе.
,
где . Ответ становится очевидным, если учесть, чтов степени выше первой является величиной высшего порядка малости по сравнению с.
Аналогично: .