Kurs_vysshei_matematiki_UP_Berkov_N.A._2007-2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный индустриальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 n−2 1 Γ n2

2 n−2 1 Γ n2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

9.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5035 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

ζn n

ξn

lim P

ζn − An

< x

= 0, 5 + Φ(x),

n→∞

ζn = ξ1 + . . . + ξn, An = M (ζn) = M (ξi) =

ai,

i=1

Bn2 = D(ζn) = i=1 D(ξi) = i=1 bi2,

Φ(x) =

√

2π

e−

dt.

ξ1, ξ2, . . .

D(ξ1), D(ξ2), . . .

ξi − M (ξi) 2+δ

δ > 0

lim

= 0

2+δ

→∞

i=1 D(ξi)

ζn − An

μk = M ξ − M (ξ) k.

	2	= M ξ		M		= M (ξ) − M (ξ) = 0,
μ1 = M ξ − M (ξ) = M (ξ)			− M M (ξ)			= M (ξ) − M (ξ) = 0,
			−		2 =	k
	μ			(ξ)	2 =	σ2.

νk = M (ξk).

ν1 = M (ξ)

μ2 = ν2 − ν12,

D(ξ) = M (ξ2) − M (ξ) 2, μ3 = ν3 − 3ν1ν2 + 2ν13.

μ3 = M ξ − M (ξ) 3 = M ξ3 − 3ξ2M (ξ) + 3ξ M (ξ) 2 − M (ξ) 3 =

=M (ξ3 − 3ξ2ν1 + 3ξν12 − ν13) = M (ξ3) − 3ν1M (ξ2) + 3ν12M (ξ) − ν13 =

=ν3 − 3ν1ν2 + 3ν1ν1 − ν13 = ν3 − 3ν1ν2 + 2ν13.

μ4 = ν4 − 4ν3ν1 + 6ν2ν12 − 3ν14

A =	μ3	=	M ξ − M (ξ) 3			.
A =		=				.
	μ23/2			D(ξ)	3

ϕ(x)	ϕ(x)
A>0	A<0

M(ξ)

	μ22 −		D(ξ)	2		−
E =	μ4	3 =	M ξ − M (ξ)		4		3.
E =		3 =					3.
			E = 0			E > 0

E < 0

ϕ(x)	E>0	ϕ
			E<0
		(x)

χ2

n ξ1, ξ2, . . . , ξn, ξi N (0; 1), i = 1, . . . , n

		n
		i
χ2	=	ξ2
n		i
		=1

χ2 n

χn2 0

x k2 −1

e− x2

x 0,

∞

x < 0.

ϕ(x) =

2 2

Γ(x) =

−

e− dt

1)!

x 1

Γ(· x) = (x

−

ξ1, . . . , ξn

ξ1 + . . . + ξnn

= n ·

ξ2

χ2 −1 n

n + 1

ζ, ξ1, . . . , ξn

t = ζ

n ξi2

i=1 n

n+1

n + k	ξ1, . . . , ξn
ζ1, . . . , ζk ξi N (0; 1), i = 1, . . . , n	ζi N (0; 1), j = 1, . . . , k

ξ2

Fn,k

ζ2

Fn,k 0

m + k

n+k

n 2

x n2 −1 1 +

− 2

x 0,

x < 0.

ϕ(x) =

ξ M (ξ) = 4, D(ξ) = 25.

√ a = 4

σ =	D(ξ) =			25 = 5
	1		e−(x−4)	2	/50.
ϕ(x) =	√
	5	2π

a = 0, σ = 1

P (−2 < ξ < 3) P (ξ < 1) P (ξ > 3)

a = 0, σ = 1, x1 = −2, x2 = 3		− 0				−2 − 0
P ( 2 < ξ < 3) = Φ(	3		)	−	Φ(		) = Φ(3)	−	Φ(	−	2) =

−		1				1

= Φ(3) + Φ(2) ≈ 0, 499 + 0, 477 = 0, 976.

2) = Φ(2)

Φ(3) Φ(2)

Φ(−0

P (ξ < 1) = P (−∞ < ξ < 1) = Φ(

−

) − Φ(

−∞−

) = Φ(1) + Φ(+∞)

P = 0, 226 + 0, 500 = 0, 726.

P (ξ > 3) = P (3 < ξ < +∞) = Φ(

∞1−0

) − Φ(

3−1

) = Φ(+∞) − Φ(3) =

= 0, 500 − 0, 499 = 0, 001.

a = 3, σ = 2

P (2 < ξ < 3)

P (|ξ − 3| < 0, 1).

P (2 < ξ < 3) = Φ(

3 − 3

)

−

Φ(

2 − 3

) = Φ(0)

−

Φ(0, 5) =

= Φ(0) + Φ(0, 5) = 0 + 0, 192 = 0, 152,

a = 3

|ξ − 3| <

< 0, 1

ε = 0, 1

0, 1

P (|ξ − 3| < 0, 1) = 2Φ(

) = 2Φ(0, 05) = 2 · 0, 02 = 0, 04.

		M (ξ) = 3, 8, σ(ξ) = 0, 6.
ξ
P (4 < ξ < 6) = Φ(	6 − 3, 8		)	−	Φ(	4 − 3, 8	) =
	0, 6			−		0, 6
= Φ(3, 67) − Φ(0, 33) = 0, 500 − 0, 129 = 0, 371.
							1 − 0, 371 =
= 0, 629.						ξ

0, 62943 ≈ 0, 2489. p = 1 − 0, 249 = 0, 751

ξ a = 8, 46

P (8, 49 < ξ < 8, 52) = P (8, 40 < ξ < 8, 43) = 0, 25

6% a

a	a
0, 5 − 0, 04 = 0, 46

0, 5 − 0, 06 = 0, 44

P (78 < ξ < a) = Φ(0) − Φ( 78 − a) = 0, 46,

P (a < ξ < 84) = Φ(					84 − a	)		−	Φ(0) = 0, 44
					σ			−
	Φ(0) = 0
Φ(	78 − a	) =	−	0, 46,	Φ(		84 − a			) = 0, 44.
	σ		−					σ

(78 − a)/σ = −1, 75, (84 − a)/σ = 1, 28. σ = 1, 98, a = 81, 47

a = 15 σ = 0, 4 P

±0, 8

ε = 0, 8

P (|ξ − 15| < 0, 8) = 2 · Φ( 00,, 84) = 2 · Φ(2) = 2 · 0, 477 = 0, 954.

	P = 1 − 0, 954 = 0, 046.	P (\|ξ − a\| < ε)
	ε	P (\|ξ − a\| < ε)
	ε
	0, 92 = 2 ·Φ(ε/0, 4), Φ(ε/0, 4) = 0, 46.	ε/0, 4 =
	= 1, 75 ε = 0, 7
	P ≈ 0, 05, ε = 0, 7