Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4648 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный индустриальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kurs_vysshei_matematiki_UP_Berkov_N.A._2007-2

.pdf
Скачиваний:
70
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
9.19 Mб
Скачать
☆

ε = 3σ

P {|ξ − a| < 3σ} = 2Φ 3σ = 2Φ(3) ≈ 2 · 0, 49865 = 0, 9973.

σ

σ

P {|ξ − a| < 2σ} ≈ 0, 9544.

ξ N (a; σ) ζ = kξ + b N (ka + b; |k| σ)

Fζ (x)

ζ k > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

(x) = P

 

ζ < x

 

= P

 

kξ + b < x

 

= P ξ <

x − b

=

ζ

 

 

 

{

 

 

 

x

}b

 

 

{

 

 

 

 

}

 

 

x

3

 

 

 

k

 

4

 

= 0, 5 + Φ

 

−

σ−

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ka + σ)

.

 

 

k

 

 

= 0, 5 + Φ

 

 

 

− kσ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k < 0

ζ N (ka + σ; kσ)

 

 

k > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

(x) = P

{

ζ < x

}

 

= P

{

kξ + b < x

}

= P ξ >

x − b

=

ζ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

b

 

 

k

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

= 1

−

P ξ <

x − b

 

 

= 1

−

0, 5

−

Φ

 

 

−k − a

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

k

 

4

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ

x

 

 

 

(ka + b)

= 0, 5 + Φ

 

 

(ka + b)

,

= 0, 5 −

 

−

 

 

 

 

x −

−kσ

 

 

 

kσ

 

 

 

 

 

 

 

k < 0 ζ N (ka + σ; −kσ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ζ

 

N (a; σ)

 

ξ

 

 

=

 

ξ − a

 

N (0; 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

=

ξ

−

 

a

 

 

k =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = −σa

ξ

 

σ

 

σ

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

· a −

a

= 0

 

 

 

1

· σ = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

σ

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

a

= 0

 

 

σ

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

e−

x2

1

 

e−

t2

ϕ(x) =

√

 

2

; F (x) =

√

 

2

dt = 0, 5 + Φ(x).

2π

2π

−∞

ξ

p = 0, 8 q = 1−p = 0, 2

n = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

P (0) = C30 · (0, 8)0 · (0, 2)3 =

1

,

P (1) = C31 · (0, 8)1 · (0, 2)2

=

12

,

 

 

125

125

P (2) = C32 · (0, 8)2 · (0, 2)1 =

48

,

P (3) = C33 · (0, 8)3 · (0, 2)0

=

64

.

 

 

125

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 120

p = 0, 02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e−2,4 = 0, 0907

a = np = 120

· 0, 02 = 2, 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

{

ξ = 0

}

=

2, 40 · e−2,4

= 0, 0907,

P

{

ξ = 1

}

=

2, 41 · e−2,4

 

= 0, 2177,

0!

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P {ξ = 2} = 0, 2612,

P {ξ = 3} = 0, 2090, ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, 4k · e−2,4/k!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

ξ = k

}

=

(λt)k · e−λt

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t{

 

 

 

 

 

 

k!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ =

2, t = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

{

ξ = 0

}

=

20 · e−2

≈

0, 135,

P

 

ξ = 1

}

=

21 · e−2

≈

0, 271,

 

1

 

 

 

 

 

0!

 

 

 

 

 

 

1{

 

 

 

 

 

1!

 

 

P

{

ξ = 2

}

=

22 · e−2

≈

0, 271,

 

P

{

ξ = 3

}

=

23 · e−2

≈

0, 180, ...

1

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ M (ξ) D(ξ)

q = 0, 2 p = 1 − q = 0, 8

ξ p 0, 25 C510, 80, 24 C520, 820, 23 C530, 830, 22 C540, 840, 2 0, 85

M (ξ) = np = 5 · 0, 8 = 4 D(ξ) = npq = 5 · 0, 8 · 0, 2 = 0, 8 M (ξ) = 4, D(ξ) = 0, 8

ξ

b − a

 

 

b

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

b a

P (a < ξ < b) =

 

a

ϕ(x)dx ϕ(x) =

0−

0,07

P (0, 03 < ξ < 0, 07) =

0,03

ξ

x [0; 0, 1], x / [0; 0, 1].

10 dx = 0, 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = 1, b = 9

M (ξ) =

1 + 9

 

= 5, D(ξ) =

(9 − 1)2

=

16

.

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

M (ξ) = 5, D(ξ) = 16/3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

M (ξ) = 9/2 D(ξ) = 25/12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

a + b

=

9

,

(b − a)2

=

25

.

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

12

 

 

 

 

b > a

a = 2, b = 7

 

 

0

x 2,

F (x) =

x−5 2

x (2, 7],

 

 

1

x > 7.

 

 

a ϕ(x) = ae−λx x ≥ 0

ϕ(x) = 0 x < 0

ϕ(x) = 0 x < 0

∞ ∞

ϕ(x)dx = ae−λxdx = 1.

0 0

−a e−λx ∞ = 1 a/λ = 1 λ = a. λ 0

a = λ

λ = 0, 07

ξ

M (ξ) = = 1/λ = 1/0, 07 = 100/7.

P (2 < ξ < 10) = F (10) −F (2) = 1 −e−0,7 −1 + e−0,14 ≈ 0, 869 −0, 497 = 0, 373.

P (2 < ξ < 10) = 2

10

0, 07e−0,07tdt = −e−0,07t|210 ≈ 0, 372.

ϕ(x) = 0, 03 ·e−0,03t(t > 0)

F (t) = 1 − e−λt t

R(t) = 1 − F (t) = e−λt,

λ λ = 0, 03

R(200) = e−0,03·200 = e−6 ≈ 0, 003.

k k = 0, 1, 2, 3, 4).

4%

ξ

< ξ < ξ 20

ξ ε > 0

P {|ξ − M (ξ)| < ε} 1 −

D(ξ)

 

.

ε2

ξ ϕ(x)

P {|ξ − M(ξ)| ε} = P {ξ M(ξ) + ε ξ M(ξ) − ε} =

= P {ξ M(ξ) − ε} + P {ξ M(ξ) + ε} =

M (ξ)−ε

+∞

 

Z

ϕ(x)dx +

Z

ϕ(x)dx

 

−∞

 

M (ξ)+ε

 

M (ξ)−ε

Z

−∞

 

M(ξ)

 

2

 

 

+∞

x

 

 

M(ξ)

 

2

`x −

ε2

´

 

ϕ(x)dx + +

Z

`

 

−

ε2

´

 

 

 

 

 

 

M (ξ)+ε

 

 

 

 

 

 

 

+

+∞

`x − M(ξ)´2

ϕ(x)dx =

1

 

 

+∞ x

−

ε2

 

Z

 

 

ε2

 

 

 

Z `

M (ξ)

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

M (ξ)

M(ξ)

 

2

 

 

 

 

 

ϕ(x)dx Z

`x − ε2

´

 

ϕ(x)dx+

−∞

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ

 

 

 

M(ξ)´2ϕ(x)dx =

)

.

 

 

 

ε2

 

 

 

 

x − ε2

 

2

 

 

 

 

M (ξ)

 

 

 

x

 

 

 

|x − M (ξ)| ε

P {|ξ − M (ξ)| ε}

D(ξ)

 

 

ε2

ξ

n = 10 p = 0, 05

M (ξ) = np = 0, 5; D(ξ) = npq = 0, 475.

P {|ξ − 0, 5| < 1} 1 − 0, 4751 .

P {|ξ − 0, 5| < 1} 0, 525

 

 

P {−0, 5 < ξ < 1, 5} 0, 525.

 

 

 

 

ξ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P {−0, 5 < ξ < 1, 5} = P {0 ξ < 1, 5}.

 

 

 

ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . .

D(ξi) C, i = 1, 2, . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε > 0

n

 

n

 

n

 

 

 

< ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

lim P

 

 

ξi

−

 

M (ξi)

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

i=1

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ζn =

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξi)

 

 

 

 

D(ξi)

 

n C

 

C

 

i=1

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

M (ζn) =

 

 

 

, D(ζn) =

i

 

 

 

·

=

 

.

 

n

 

 

n2

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

ζn

 

P {|ζn − M (ζn)| < ε} 1 −

D(ζn)

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

C .

 

1 P n

ξi

 

n

M (ξi)

< ε 1

 

 

 

 

 

−

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

−

n

 

 

 

n

→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ1) = M (ξ2) =

. . . = a

ε > 0

 

n −

 

 

 

 

 

 

 

n→∞ P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

a

 

< ε

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξi)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

na

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

M (ζn) =

i

 

=

 

= a

 

 

 

 

n

n

n

ε > 0

 

 

 

p

 

 

A

n

− p

< ε = 1,

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

lim P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

m

 

n

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ1+...+ξn

 

 

 

 

 

n

 

 

ξi = 1

i

n

 

 

A

 

 

 

 

ξ1, ξ2, . . . , ξn

M (ξ1) = M (ξ2) = . . . = p D(ξ1) = D(ξ2) = . . . = = pq 1

A

n → ∞

ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . a ε > 0

lim P {|ξn − a| < ε} = 1.

n→∞

n

n → ∞

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности