харламов тер-вер

II

Предмет теории вероятностей

События делятся на закономерные (происходящие всегда) и слу- чайные (происходящие не всегда). Предметом теории вероятностей являются массовые случайные события. Под массовыми понимаются события, которые либо происходят в массовом порядке, либо эксперимент с этим событием можно проводить бесконечное число раз.

1. Статистическое обоснование вероятности

Проводятся серии испытаний с случайными свойствами. В каждом испытании может появиться или не появиться случайное событие. Для каждой серии фиксируется относительная частота появления данного случайного события. Для i-й серии относительная

При достаточно большом числе экспериментов в серии и достаточно большом числе серий относительные частоты колеблются около некоторого числа p, называемого вероятностью (мерой ре-

ализации случайного события).

2. Случайные события

Предполагается, что выполняется некоторый комплекс условий и все утверждения формулируются относительно этих условий.

Определение. Событие называется достоверным, если оно всегда происходит. Событие ? называется невозможным, если оно никогда не происходит. Событие A называется случайным, если оно происходит или не происходит.

Определение. Говорят, что случайное событие A влеч¼т случайное событие B (пишут A B), если при наступлении события A с необходимостью наступает событие B.

Определение. Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B.

Определение. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном наступлении событий A и B.

Определение. Разностью событий A и B называется событие A B, состоящее в наступлении события A и ненаступлении события B.

Определение. Противоположным событию A называется собы-

тие A, состоящее в ненаступлении события A.

Определение. События A и B называются несовместными, если их произведение AB = ?.

2 ХАРЛАМОВ А. В.

Определение. Говорят, что события A1; : : : ; An образуют полную

n

группу, если P Ai = . Если при этом события A1; : : : ; An попарно

i=1

несовместны, то говорят, что они образуют полную группу несовместных событий.

Операции суммы и произведения случайных событий коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны. Кроме того, для них выполняются следующие свойства:

AA = A; A+A = A; A+A = ; AA = ?; A = A; A+? = A:

3. Классическое определение вероятности событий

Рассмотрим случайный эксперимент с неоднозначным исходом. Множество всех элементарных (наиболее мелких) исходов эксперимента = f!g. Исходы считаются равновозможными, если нет

разумных оснований предпочесть какой-либо.

Определение. Под случайным событием будем понимать любое подмножество множества исходов . Множество случайных собы-

òèé S = P( ).

Определение. Будем говорить, что элементарный исход благоприятствует случайному событию, если он влеч¼т его.

Определение. Вероятность случайного события A 2 S опреде-

ляется классическим образом как

P(A) = mn ;

где n число всех элементарных исходов, а m число элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Алгоритм решения задач.

1.Определяется элементарный исход.

2.Строится множество элементарных исходов.

3.Определяются случайные события и благоприятствующие исходы.

4.Вычисляются m и n.

5.Вычисляется искомая вероятность.

4. Элементы комбинаторики

Пусть имеется множество

A = fa1; : : : ; ang:

Упорядочивание элементов множества A друг относительно друга называется перестановкой. Число перестановок без повторений

P (n) = n!;

6. Геометрическое определение вероятности

Рассмотрим случайный эксперимент с бесконечным числом равновозможных исходов, в котором каждый элементарный исход можно изобразить точкой в пространстве, прич¼м множество всех

элементарных исходов будет ограниченным и измеримым. В каче- стве множества случайных событий возьм¼м S множество изме-

римых подмножеств множества . Тогда вероятность случайного события A 2 S определяется как

P(A) = (A);( )

где мера множества.

7. Аксиоматическое определение вероятности

Пусть = f!g множество элементарных исходов случайного эксперимента.

Определение. Множеством случайных событий A называется класс подмножеств множества такой, что:

1. 2 A;

2. åñëè A 2 A, òî A 2 A;

3. åñëè äëÿ âñåõ i 2 N Ai 2 A, òî

Таким образом, A является -алгеброй, образуемой множеством .

Определение. Пусть на множестве элементарных исходов задана -алгебра случайных событий A. Тогда для любого случайного события A 2 A вероятность определяется как нормирован-

ная сч¼тно-аддитивная мера множества, имеющая следующие свойства:

1.P(A) > 0;

2.P( ) = 1;

1 1

PP

Классическое и геометрическое определения вероятности удовлетворяют аксиоматическому. Задание вероятностной меры на множестве случайных событий неоднозначно.

Определение. Тройка ( ; A; P) называется вероятностным пространством.

Свойства вероятности: 1. P(?) = 0.

Доказательство. Невозможное событие представимо в виде

X

? = ?;

P

откуда P(?) = P(?), что возможно только при P(?) = 0.

2. Åñëè A1; : : : ; An 2 A, ïðè÷¼ì AiAj = ? äëÿ âñåõ i 6= j, òî

!

n n

XX

Доказательство. Дополним последовательность A1; : : : ; An äî ñ÷¼òíîé: A1; : : : ; An; ?; : : : . По определению

1 ! 1

XX

откуда

!

n n

XX

3.P(A) = 1 P(A).

Доказательство.

P( ) = P(A + A) = P(A) + P(A) = 1;

4.Åñëè A B, òî P(A) 6 P(B).

Доказательство.

P(B) = P(B ) = P B(A + A) = P(BA + BA) = = P(A + BA) = P(A) + P(BA) > P(A):

5.Для любого события A 0 6 P(A) 6 1.

Доказательство. Действительно, ? 6 A 6 , откуда

0 = P(?) 6 P(A) 6 P( ) = 1:

6. Для произвольных событий A и B

P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB):

Доказательство. Так как события A и B AB несовместны, то

P(A + B) = P A + (B AB) = P(A) + P(B AB):

Аналогично, так как AB и B AB несовместны, то

P(B) = P(AB) + P(B AB);

откуда

P(A + B) P(B) = P(A) P(AB):

7.Аксиома непрерывности вероятностной меры: если есть последовательность вложенных случайных событий

B1 : : : Bn : : :

è

Доказательство.

11

X\

Bn = BkBk+1 + Bk;

Вместо ? можно написать произвольное событие B, тогда предел будет P(B). Это свойство можно использовать вместо аксиомы (3) в определении вероятности.

8. Условная вероятность

Определение. Вероятность события A при условии, что произошло событие B, определяется как

def P(AB)

P(AjB) = P(B) :

Если P(B) = 0, то полагаем, что P(AjB) = 0.

Условную вероятность можно рассматривать как вероятностную меру на уменьшенном пространстве элементарных исходов, удовлетворяющую всем аксиомам вероятностной меры. Действительно, P(BjB) = 1, а P(AjB) > 0 для всех A. Кроме того, если собы-

òèÿ A1; : : : ; An; : : : попарно несовместны, то

Теорема умножения.

P(A1 : : : An) = P(A1) P(A2jA1) : : : P(AnjA1 : : : An 1):

9. Независимость случайных событий

Определение. Говорят, что событие A не зависит от события B, если наступление события B не меняет вероятности наступления события A, т. е.

P(AjB) = P(A):

Отношение независимости симметрично: если событие A не зависит от события B, то P(BA) = P(B) P(AjB) = P(B) P(A). С другой стороны, P(BA) = P(AB) = P(A) P(BjA), откуда P(BjA) = P(B), т. е. событие B не зависит от события A.

Определение. События A и B называются независимыми, если

P(AB) = P(A) P(B):

Определение. События A1; : : : ; An называются попарно независимыми, если для всех i 6= j

P(AiAj) = P(Ai) P(Aj):

События A и B называются независимыми в совокупности, если для всех k = 2; : : : ; n

P(Ai1 ; : : : ; Aik ) = P(Ai1 ) : : : P(Aik ):

Из независимости в совокупности следует попарная независимость.

Если события A и B независимы, то также независимы события

A è B, A è B, A è B.

Несовместные события зависимы, так как наступление одного из них исключает наступление другого.

10. Формула полной вероятности

Теорема. Если случайный эксперимент осуществляется в условиях неопредел¼нности, то вероятность случайного события A

вычисляется по формуле полной вероятности

n

X

P(A) = P(Hi) P(AjHi);

i=1

где гипотезы fHigni=1, описывающие неопредел¼нность, образуют полную группу попарно несовместных событий.

Доказательство.

nn

XX

=P(HiA) = P(Hi) P(AjHi):

Формула Бейеса

P(HkjA) = nP(Hk) P(AjHk)

P

P(Hi) P(AjHi)

i=1

используется для пересч¼та вероятностей гипотез.

11. Схема Бернулли

Рассмотрим последовательность испытаний, каждое из которых может произойти или не произойти, и некоторое случайное событие A. Наступление события назов¼м успехом, ненаступление неуспе-

хом. Все испытания происходят в одинаковых условиях и организованы таким образом, что исход каждого последующего испытания не зависит от исхода предыдущего. Подобная организация называется схемой Бернулли.

Теорема (формула Бернулли). Пусть вероятность успеха P(A) = p,

вероятность неуспеха P(A) = q, p + q = 1. Вероятность того, что при n испытаниях k раз наступит успех, равна

Pn(k) = Cnk pkqn k (k = 0; : : : ; n):