Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

харламов тер-вер

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

421.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятность попадания в произвольное борелевское множество:

	2	g =	X
Pf	2 B	g =	pi (в дискретном случае);

zi2B2

f 2 2g

P B = p( 1; 2)(x1; x2) dx1 dx2 (в абсолютно непрерывном случае):

Двумерный дискретный вектор можно задать с помощью таблицы распределения. Для любого числового вектора z

		pij = 1.				1 2		1	2
ïðè÷¼ì pij > 0 è		pij = 1.
Pf = zg = P ( 1			; 2) = (xi ; xj ) = Pf 1 = xi ; 2 = xj g = pij;
	P				Таблица распределения имеет вид
	i;j

						x12	x22	: : :

				x11		p11	p12	: : :
				x22		p21	p22	: : :
				: : :		: : :	: : :	...

По распределению случайного вектора однозначно определяются распределения его координат:

X X pi = Pf 1 = x1i g = pij; p j = Pf 2 = x2j g = pij:

j i

Доказательство.


Pf 1 = xi1g = P(f 1 = xi1g + ) = P f 1 = xi1g + [j		f 2 = xj2g! =
= Xj	Pf 1 = xi1; 2 = xj2g = Xj		pij:

17. Независимость случайных величин

Определение. Случайные величины 1, 2 называются независи- мыми, если для любых множеств B1, B2 независимы случайные события

A1 = f! : 1(!) 2 B1g; A2 = f! : 2(!) 2 B2g:

При n > 2 независимость понимается в совокупности.

20	ХАРЛАМОВ А. В.

Теорема. Величины 1, 2 независимы тогда и только тогда, когда функция их совместного распределения выражается через произведение функций распределения случайных величин 1, 2:

Pf 1 2 B1; 2 2 B2g = Pf 1 2 B1g Pf 2 2 B2g;


F (x		; x	) = F		1		(x		)F			(x		);
	1	2			1		1			2		2
p (x		; x	) = p	1		(x		)p		2	(x		);
	1	2		1			1			2		2

Pf 1 = x1i ; 2 = x2j g = Pf 1 = x1i g Pf 2 = x2j g:

18. Функции от случайных величин

Определение. Случайные величины 1, 2 заданы на одном и том же вероятностном пространстве ( ; A; P), функция f(x1; x2) измерима. Функцией от случайных величин называется функция вида

= f( 1; 2):

Теорема. Если случайные величины 1, 2 независимы, а функ- ция f измерима, то случайные величины 1 = f( 1), 2 = f( 2) независимы.

Доказательство. Пусть B1 è B2 борелевские множества.

Pf 1 2 B1; 2 2 B2g = Pff( 1) 2 B1; f( 2) 2 B2g =

=Pf 1 2 f 1(B1); 2 2 f 1(B2)g = Pf 1 2 f 1(B1)g Pf 2 2 f 1(B2)g =

=Pff( 1) 2 B1g Pff( 2) 2 B2g = Pf 1 2 B1g Pf 2 2 B2g:

Распределение функции от случайной величины.

1.абсолютно непрерывна, f измеримая монотонная функция, следовательно, = f( ) случайная величина. Е¼ функ-

ция распределения

F (x) = Pf < xg = Pff( ) < xg =

=	(Pf > f 1	(x)g	= 1		F (f 1(x)) ; f %			:
	P < f 1	(x) = F		(f 1		(x)) ;	f	;
	f	g					&

Плотность распределения

p (x) = (	p	f 1	(x)
	p	f 1	(x)

f 1(x)	0 ;f	%) = p	f 1	(x)	f 1	(x)	0	:
f 1(x) 0 ;f		%) = p	f 1	(x)	f 1	(x)	0	:
		&

2.Величина дискретная, заданная рядом распределения; функция f монотонна. Если = f( ), yi = f(xi), pi = Pf = xig,

òî

qi = Pf = yig = Pff( ) = yjg = P	0	[i		f = xig1	=	xi : fX( i	pi:
	@ i	[i	j	A		xi : fX( i	i
	x	: f(x )=y				x )=y

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Распределение суммы случайных величин. 1, 2 абсолютно непре- рывны и независимы, = 1 + 2. Функция распределения величи- ны

F (x) = Pf 1 + 2 < xg =x1+ZZx2<x p( 1; 2)(x1; x2) dx1 dx2 =							x1) dt1 dx1 =
=	+10 x x1p( 1; 2)(x1; x2) dx21 dx1 =			+10 x		p( 1; 2)(x1; t	x1) dt1 dx1 =
	Z	Z	A	Z	Z		A
	x	@ +	A	x@			A
	1	1		1	1
= Z		0Z1p( 1; 2)	(x1; t x1) dx11 dt = Z		p (t) dt:
	1	@1	A	1

Плотность распределения

Z	Z
p (t) = p (u; t u) du =	p 1 (u)p 2 (t u) du:
R	R

Аналогично

Z	Z
p (t) = p (t v; v) dv =	p 1 (t v)p 2 (v) dv:
R	R

Если дискретные величины 1, 2 независимы, Pf 1

= xig = pi,

Pf 2 = yig = qi, то для их суммы = 1 + 2

Pf = zg = Pf 1 + 2 = zg = Pf 1 = xg Pf 2 = z xg:

Например, если

Pf 1 = kg =

; Pf 2 = kg

;

òî äëÿ = 1 + 2

k i

Pf = kg = Pf 1 = ig Pf 2 = k ig

i)!

i=0

e 1 2

e ( 1+ 2)

1i 2k i =

( 1 + 2)k:

i)!i!

22 ХАРЛАМОВ А. В.

Åñëè 1 è 2 имеют стандартное нормальное распределение, то для = 1 + 2

p (x) = Z p 1 (t)p 2 (x t) dt = Z

p2 e

dt =

(x t)2

Z exp

x2 + 2tx

dt =

Z exp t2 + tx

dt =

t x2

1exp

exp

dt =

exp

1 x2

2 dt =

2 4

2 p2

exp

t x2

1 dt =

exp

что соответствует

нормальному распределению с параметрами

2 .

Для произвольных независимых случайных величин 1 è 2, èìå- ющих нормальные распределения с параметрами (a1; 1) è (a2; 2) соответственно, их сóììà èмеет нормальное распределение с пара-

метрами a1 + a2; 12 + 22 .

19. Условное распределение

Если случайные величины 1 è 2 абсолютно непрерывны, то условная плотность распределения величины 1 при условии, что величина 2 принимает значение x2,

p (x1; x2)

p 1 (x1jx2) = p 2 (x2) :

Если случайные величины 1 è 2 дискретны, то условное распределение величины 1 при условии, что величина 2 принимает значение x2,

Pf = x1j 2 = x2g = Pf 1 = x1; 2 = x2g:

Pf 2 = x2g

У независимых случайных величин условное распределение совпадает с безусловным.

Пусть случайный вектор с независимыми координатами имеет стандартное нормальное совместное распределение

p (x1; x2) =	2 p1	2	exp	2	1 2 (x12	2 x1x2 + x22) :
	1			1	1

							ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ										23
Распределение первой координаты
p 1 (x1) = Z					2		1	2 exp 2(1 2) (x12 2 x1x2 + x22) dx2 =
							1					1
		1	R			p				1
=						Z	exp					(x22 2 x1x2 + ( x1)2 ( x1)2 + x12) dx2 =
	2								2(1 2)
	2	1		2					2(1 2)
		p1				R				1			exp		1				2) dx2
=						Z	exp					(x2 x1)2					x12	(1		=
	2								2(1		2)			2(1		2)
	2	1		2					2(1		2)			2(1		2)
		p				R

=	p		e		Z			exp	0		2
				2							2
				2						2
		2	2			p2 1						1
1				x1		1			@	1	x		x1
					R		p		@		p

Аналогично				2
1
			e	x2
p 2 (x2) =	p			2	:
		2

!	1 dx2 = p1		e x21	:
!	2	2	2
	A
	A

Условное распределение координат:

p 1 (x1 x2) = p (x1; x2) =

2 p1 2

2(1

)

exp

(x12

2 x1x2

+ x22)

p 2 (x2)

= p2

1 2

exp

2(1 2) x12

2 x1x2 + x22 x22(1 2) =

exp

2(1

2)(x12 2 x1x2 + x22 2) =

exp 0

1 2

что соответствует нормальному распределению с параметрами x2 ; p

1 2

20. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием случайной величи- ны называется число

M = pkxk

в дискретном случае и

M = xp (x) dx

24	ХАРЛАМОВ А. В.

в абсолютно непрерывном случае при условии, что соответствующий ряд или интеграл сходится. Иначе говорят, что математиче- ского ожидания не существует.

Для распределения Пуассона (P = k

e )

M = k=0 k

k! e = e k=1

(k 1)! = :

Для равномерного распределения на отрезке [a; b]

M = Z

x 0 dx + Za

xp (x) dx = Z

b a dx + Z

x 0 dx =

a + b

a =

2(b

Для нормального распределения с параметрами

(a; )

p2 Z

M =

x exp

x a

dx =

( t + a) exp

dt =

				2
=	p		Z	t exp	t
					2
		2
			R

Распределение Коши имеет плотность

p (x) = (1 + x2):

Интеграл

(1 + x2) dx

	a			2
dt +	p		Z	exp	t	dt = a:
					2
		2
			R

расходится, поэтому математического ожидания у величины не существует.

Определение. Если случайная величина, функция f измерима, то математическое ожидание случайной величины = f( )

M = f(xk)pk

в дискретном случае и

M = f(x)p (x) dx

в абсолютно непрерывном случае.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Докажем корректность данного определения. В дискретном слу- чае:

X X X

M = ykqk = yk Pf = ykg = yk Pff( ) = ykg =

k k k

	X	@i: fX( i k		A	X				X
=	yk		Pf = xig		=	f(xi) Pf = xig =			f(xi)pi:
	k	x )=y				i			i
В абсолютно непрерывном случае:									0 f(x) dx = Z
M = Z		p (f(x))f(x) dx = Z		p	f 1(f(x))			f 1(f(x))	0 f(x) dx = Z	p (x)f(x) dx:
	R		R						R
Определение. Математическое ожидание случайного вектора
									= ( 1; 2)
			def
			M = (M 1; M 2):
Лемма. Задан случайный вектор							; 2) и измеримая функ-
						= ( 1	; 2) и измеримая функ-

öèÿ f(x1; x2). Математическое ожидание случайной величины = f( 1; 2) в дискретном случае

M = f(x1; x2) Pf 1 = x1; 2 = x2g;

(x1;x2)

в абсолютно непрерывном

M = f(x1; x2)p (x1; x2) dx1 dx2:

Свойства математического ожидания:

1.Если величина постоянна, то M = .

2.M(C ) = C M .

n n

3. M( 1 + 2) = M 1 + M 2; M i						= M i.
				i=1		i=1
Доказательство. Докажем для дискретного случая:
		(xXi j		(xi + xj) Pf 1 = x1; 2 = x2g =
M( 1 + 2) =				(xi + xj) Pf 1 = x1; 2 = x2g =
X			;x )
X				X
= xi Pf 1 = xi; 2 = xjg + xj Pf 1 = xi; 2 = xjg =
i;j				i;j
= Xi	xi	Xj	Pf 1 = xi; 2 = xjg! + Xj		xj	Xi	Pf 1 = xi; 2 = xjg! =

=xi Pf 1 = xig + xj Pf 2 = xjg = M 1 + M 2:

i j

4. Åñëè 1, 2 независимы, то M( 1 2) = M 1 M 2.

26 ХАРЛАМОВ А. В.

Доказательство.

M( 1 2) = Xi	Xj	xixj Pf 1 = xi; 2 = xjg = Xi	Xj		xixj Pf 1 = xig Pf 2 = xjg =
		X		X
		= xi Pf 1 = xig			xj Pf 2 = xjg = M 1 M 2:
		i			j

В общем случае

M	n	i! =	n	M i:
	Y		Y
	i=1		i=1

5.Математическое ожидание неотрицательной случайной вели- чины неотрицательно.

6.Åñëè Pf 1 > 2g = 1, Pf 1 < 2g = 0, òî M 1 > M 2.

Доказательство.

M 1 M 2 = M( 1 2) = (xi xj) Pf 1 = xi; 2 = xjg > 0:

i;j

7.j M j 6 M j j.

Доказательство.

j M j =	xipi	6 jxijjpij = M j j:

i i

Теперь можно вычислить математическое ожидание биномиального распределения. Если

Pf = kg = Cnk pk (1 p)n k (k = 0; : : : ; n);

то величину можно представить в виде

= i;

i=1

ãäå i независимы, Pf i = 0g = 1 p, Pf i = 1g = p. Очевидно, что M i = p. Тогда

n ! n

M = M	i = M i = np:
i=1	i=1

Определение. Модой случайной величины называется е¼ наивероятнейшее значение.

Определение. Медианой случайной величины называется число mâ такое, что F (mâ) = 12 .

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Мода и медиана называются структурными средними.

Ковариация.

Определение. Ковариацией случайных величин 1 è 2 называет-

ся число	def	M 1)( 2 M 2) :

	cov( 1; 2) = M ( 1

Центрированием случайной величины назов¼м величину

0 = M :

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю: M 0 = M( M ) = M M = 0.

Таким образом, ковариацию можно записать в виде cov( 1; 2) = M( 10 20):

Свойства ковариации:

1.cov( 1; 2) = M( 1 2) M 1 M 2.

2.Åñëè 1 è 2 независимы, то cov( 1; 2) = 0. Обратное неверно.

Определение. Случайные величины 1 è 2 называются некорре- лированными, если cov( 1; 2) = 0.

Ковариационной матрицей случайного вектора называется матрица вида

0c11 : : : c1n1

C = @ . ... . A; cn1 : : : cnn

ãäå cij = cov( i; j).

= ( 1; : : : ; n)

Дисперсия.

Определение. Дисперсией случайной величины называется чис-

ëî	def
	def
	D = M( M )2:

В дискретном случае

D = (xi M )2 Pf = xig;

в непрерывном

D = (x M )2p (x) dx:

Дисперсию можно рассматривать как математическое ожидание функции от случайной величины.

Свойства дисперсии:

1.	Для любой случайной величины D > 0.
2.	Для любой константы C D C = 0.

28	ХАРЛАМОВ А. В.

3.D(C) = C2 D .

Доказательство.

D(C) = M C M(C) 2 = M C2( M ) = C2 D :

4. Дисперсия суммы двух случайных величин

D( 1 + 2) = D 1 + D 2 + 2 cov( 1; 2);

в общем случае

D	i	i! =	i	D i +	cov( i; j):
	X		X		X
					i6=j

Доказательство.

2 2

D( 1 + 2) = M 1 + 2 M( 1 + 2) = M ( 1 M 1) + ( 2 M 2) =

=M ( 1 M 1)2 + ( 2 M 2)2 + 2( 1 M 1)( 2 M 2) =

=D 1 + D 2 + 2 cov( 1; 2):

5.D( 1 2) = D 1 + D 2 2 cov( 1; 2).

6.D( + C) = D .

7.D = M 2 (M )2.

Доказательство.

D = cov(; ) = M 2 (M )2:

Дисперсия биномиального распределения. Дано:

Pf = kg = Cnk pk (1 p)n k:

Представим в виде

n
Xi	= 0g = 1	p; Pf = 1g = p:
= i; Pf i	= 0g = 1	p; Pf = 1g = p:
=1
Для каждой величины i

M i = p; D i = p(1 p):

Тогда

n ! n

D = D	i = D i = np(1 p):
i=1	i=1

Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины называется число

def p

= D :

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.201976.04 Кб4Формирование малой антанты.docx
#
09.06.201557.91 Кб19Формы и стили речи.docx
#
11.09.201968.61 Кб11формы права.doc
#
09.06.201528.7 Кб22Функции семьи.docx
#
16.11.201943.92 Кб72Характеристика розыскных новая.docx
#
09.06.2015421.09 Кб15харламов тер-вер.pdf
#
09.06.20153.14 Mб402ХИТИН И ХИТОЗАН.doc
#
09.06.201524.09 Кб16Хрущев.docx
#
29.03.201631.01 Кб125цветаева урок.docx
#
22.11.20181.32 Mб11Цикл ГТУ с подводом теплоты в процессе p.doc
#
21.12.201829.05 Кб1Цинк (2).docx