Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

харламов тер-вер

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

421.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение. Случайная величина называется нормированной,

åñëè M = 0,

D = 1.

Åñëè M = a, D = 2, то нормированной будет величина

Åñëè p (x) =

e 21 (

x a

, òî

(

)

dx =

D = Z (x M )2p

(x) dx = Z (x a)2 p2 e 2

x a

2t2e 2 dt = p

dt = p

dt1

= p 1

t2e 2

te 2

+ e 2

= 2:

Правило тр¼х сигм.

< 3

< 3 D = P

= P

a < 3 =

= P

3 <

< 3

= P

3 < < 3

= F (3)

F (

3) =

= (3) ( 3) = 2 (3) = 0;9973:

Дисперсия распределения Пуассона. Дано:

Pf = kg =

e ; M = :

= e

M 2 =

k=1

1)!

! = e 2

= e

2)!

1)!

k=2

= e e

+ = 2

+ :

Таким

образом,

D = M 2 (M )2 = :

(k 1)

! =

1)!

k=1

(k k 2)! +

(k 1)!!

k=2

Дисперсия равномерного распределения. Плотность распределения

(

1 ; x 2 [a; b]; p (x) = b a

0; x 2= [a; b]:

Математическое ожидание

M = a +2 b:

ХАРЛАМОВ А. В.

M 2 = x2p

(x) dx =

dx =

b3 a3

b2 + ab + a2

b a

3(b a)

Тогда дисперсия

D =

b2 + ab + a2

(a + b)2

(b a)2

;

среднее квадратическое отклонение

b a= p :

2 3

Определение. k-ì начальным моментом случайной величины

называется число mk = M k. k-м центральным моментом слу- чайной величины называется число k = M ( M )k .

Теорема. Если у случайной величины существует момент n-го порядка, то у не¼ существуют все моменты меньших порядков.

Доказательство. Если существует M n, òî

jxjndF (x) < +1:

Ïðè k < n

jxjk 6 1 + jxjn:

Отсюда

M j jk = jxjkdF (x) 6 (1 + jxjn) dF (x) =

=dF (x) + jxjndF (x) = 1 + M j jn < +1;

т. е. моменты порядков k < n также существуют.

Определение. Асимметрией случайной величины называется

число
As = M	p	M	3	= M( )3 =	3	:
					3
		D			3

Асимметрия нормально распредел¼нной случайной величины равна 0:

M( )2n+1 = p2 Z		x2n+1e 2	dx = 0:
1		x2

Определение. Эксцессом случайной величины называется число

		M	4
= M	p		3:
		D

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Эксцесс нормально распредел¼нной случайной величины равен 0:

M( )4 = p2 Z		x4e 2	dx = 3; N = 0:
1		x2
	R

Коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции случайного вектора

= ( 1; 2)


называется число		cov( 1			; 2)
		cov( 1			; 2)
	( 1; 2) =	p		p			:
	( 1; 2) =	p	D 1	p		D 2	:

Коэффициент корреляции можно рассматривать как нормированную ковариацию:

( 1; 2) =

pD 1pD 2

M ( 1

M 1)( 2 M 2)

= M

1pD 1

2pD 2

= cov( 1; 2):

Свойства коэффициента корреляции:

1.	( 1	; 2) =	M( 1 2) M 1 M 2					.
			p	D 1	p	D 2

2.Åñëè 1 è 2 независимы, то ( 1; 2) = 0.

3.j ( 1; 2)j 6 1.

Доказательство.

D( 1 + 2) = D 1 + D 2 + 2 cov( 1; 2) = 2 + 2 ( 1; 2) > 0;
откуда ( 1	; 2) > 1.
D( 1 2) = D 1 + D 2 2 cov( 1; 2) = 2 2 ( 1; 2) > 0;
откуда ( 1	; 2) 6 1.

4.( 1; 2) = 1 тогда и только тогда, когда 1 = a2 + b.

Доказательство. Необходимость. Åñëè ( 1; 2) = 1, òî

D( 1 2) = 0. Тогда 1 2 = const.

M 1

M 2

= C;

pD 1

pD 2

D 1

, òîp

Достаточность.2Åñëè

1 = pD

M 2 + C D 1:

1 = a2 + b

( ; ) =

M( 1 2) M 1 M 2

M (a2 + b) 2 M(a2 + b) M 2

1 2

pD 1pD 2

D(a2 + b)p

D 2

a M 22 + b M 2

a(M 2)2

b M 2p a (M 22

(M 2)2)

jaj D 2

32	ХАРЛАМОВ А. В.

Коэффициент корреляции это мера линейной зависимости между случайными величинами.

Вычислим коэффициент корреляции стандартного совместного нормального распределения. Имеем плотность распределения

p (x1; x2) =	2 1 2	exp	2 (1 2) x12	2 x1x2 + x22 :
	1		1

Тогда

1 2

коэффициент корреляции

ZZ2

pD 1pD 2

( ; ) =

M( 1 2)

M 1

M 2

= M(

) =

p (x

; x

) dx

ZZ2

x1x2 exp

2 (1

dx1 dx2 =

x12

2 x1x2 + x22

dx1 dx2 =

ZZ2

x1x2 exp

x12

2 x1x2 + ( x2)2 ( x2)2 + x22

2 (1

1exp

ZZ2

x1x2 exp

dx1 dx2 =

2 1

1 x x2

x2 (1 2)

ZZ2

x2e

x1 exp

1 dx1 dx2:

Сделаем замену

x1 = p1 2v + u;

dx1 = p1 2 dv;

x2 = u;

= v;

1 2

ñ ó÷¼òîì

которой

1 2v + u e

1 2 du dv =

2 1 2

ZZ2

2 ZZ2

= 2 1

uv 1 2

+ u2 1 2e

du dv =

ue u22

ve v22

dv + u2

e u22

du e v22

dv1 =

R v2

Z u2e

dv = :

То же верно и для произвольного совместного нормального рас-

пределения. Если = 0, то

p (x

; x

) =

+x2

= p

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

21. Сходимость случайных величин

Определение. Говорят, что последовательность случайных вели- ÷èí 1; : : : ; n, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, сходится к случайной величине почти наверное, если

P lim n = = 1:

n!1

strong

Пишут n ! .

Определение. Говорят, что последовательность случайных вели- ÷èí 1; : : : ; n, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, сходится к случайной величине по вероятности, если

äëÿ âñåõ " > 0

lim Pfj n j < "g = 1:

n!1

Пишут n ! .

Свойства сходимости по вероятности: если n

1. n + n ! + ;

2. n n ! ;

3. если функция f непрерывна, то f( n) !

P P

! , n ! , òî

f( ).

Определение. Говорят, что последовательность случайных вели- ÷èí 1; : : : ; n, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, сходится к случайной величине слабо (по распреде-

лению), если соответствующая последовательность функций распределения сходится к функции распределения случайной величи- ны в каждой точке непрерывности последовательности. Пишут

n =) .

Предельный переход в слабой сходимости может выходить из класса функций распределения.

Свойства слабой сходимости:

1. n =) тогда и только тогда, когда

Pf n 2 [a; b)g ! Pf 2 [a; b)g:

2. Åñëè n ! , òî n =) .

3. Åñëè n =) C, òî n ! C.

4.Åñëè n ! C, n ! , òî n n =) C, n + n =) C + .

Определение. Случайную величину называют пределом в среднеквадратичном смысле последовательности случайных величин 1; : : : ; n

( = l:i:m: n), åñëè

n!1

lim M( n )2 = 0:

n!1

34	ХАРЛАМОВ А. В.

22. Закон больших чисел

Определение. Говорят, что последовательность случайных вели- чин 1; : : : ; n подчиняется закону больших чисел, если для всех " > 0

	8	n	n		9
	P		P
nlim P	> i	i		M i	< ">
nlim P	> i	n		n	< ">	= 1:
!1	>				>
	<	=1	i=1		=


					>
	>				>
	>				>
	:				;

Все теоремы о законе больших чисел формулируют условие данной сходимости.

Теорема (неравенство Маркова). Для любой случайной величи- ны при всех " > 0

P	j	> "	g 6	M j j	:
fj	j		g 6	"
Доказательство. Если абсолютно непрерывна, то
				"	+1
Pfj j > "g = Pf < "g + Pf > "g = Z					p (x) dx + Z	p (x) dx 6

				1	"
6	"		"		+1
6	Z j"jp (x) dx + Z j"jp (x) dx +				Z j"jp (x) dx =
		x		x		x
	1		"		"

M j j:

Теорема (неравенство Чебыш¼ва). Для любой случайной величи- ны при всех " > 0

Pfj M j > "g < D"2 :

Доказательство. Введ¼м величину = M . Тогда, согласно неравенству Маркова,

Pfj j > "g = Pf 2 > "2g < M"2 2 = D"2 :

Следствие. Для любой случайной величины при всех " > 0

Pfj M j < "g > 1 D"2 :

Теорема (ЗБЧ в форме Чебыш¼ва). Если все случайные величины в последовательности 1; : : : ; n независимы и имеют дисперсию, меньшую некоторого числа C, то эта последовательность подчи-

няется закону больших чисел.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Доказательство. Введ¼м случайную величину

n = X ni :

i=1

Е¼ математическое ожидание

	n	;
M n = iPn		;
	M i
	=1

дисперсия

			n
		D n = iPn2 :
			D i
		=1
Тогда
	Pfj n M nj < "g > 1			D n	:
	Pfj n M nj < "g > 1			"2	:
Возвращаясь к величинам 1; : : : ; n, имеем
8 n	n	9

M i

< ">

> 1

n D

> 1

;

i=1

n2"2

n"2

i=1

;

÷òî ïðè n ! 1 äà¼ò

i	P	M i
i=1	P	i=1
	!		:
n	!	n	:

Условие независимости можно заменить на более слабое условие некоррелированности, так как

D	i=1 i!	=	i=1 D i +	cov( i; j) =	i=1 D i:
	n		n	X	n
	X		X	X	X
				i6=j

Следствие. Последовательность одинаково распредел¼нных попарно некоррелированных случайных величин 1; : : : ; n ñ M i = a, D i = 2 подчиняется закону больших чисел.

Теорема (ЗБЧ в форме Бернулли). Дана схема Бернулли. Если вероятность успеха в одном испытании равна p, то

	m				o	= 0
n!1 P n n
lim			p	> "		:
Доказательство. Возьм¼м случайную					величину
		n
		Xi
=				i;
		=1

36 ХАРЛАМОВ А. В.

ãäå i равны 0 или 1. Тогда p = Pf i

= 1g, q = Pf i = 0g. Отсюда

> "9

lim P

p > "

= lim P

i=1 i

= 0:

;

Усиленный закон больших чисел.

Определение. Говорят, что последовательность случайных вели- ÷èí 1; : : : ; n подчиняется усиленному закону больших чисел, если при n ! 1 последовательность случайных величин

i=1

сходится почти наверное к величине

n	:
iPn	:
M i
=1

Теорема. Если для последовательности 1; : : : ; n (ãäå äëÿ âñåõ i j M ij < +1) выполняется неравенство

X D k < +1; k2

k=1

то эта последовательность подчиняется усиленному закону больших чисел.

Теорема. Последовательность одинаково распредел¼нных независимых случайных величин подчиняется усиленному закону больших чисел тогда и только тогда, когда каждая из них имеет математическое ожидание.

Теорема. В схеме Бернулли

m strong

n ! p:

23. Характеристические функции

Определение. Если на вероятностном пространстве ( ; A; P) заданы случайные величины 1 è 2, то случайная величина

z = 1 + i 2

называется комплексной случайной величиной .

Определение. Математическим ожиданием комплексной случай- ной величины z = 1 + i 2 называется число

def

M z = M 1 + i M 2:

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение. Характеристической функцией случайной вели- чины называется функция вида

' (t) = M eit :

Свойства характеристических функций:

1.Для любой случайной величины существует характеристи- ческая функция ' (t), по модулю не превосходящая 1 и равная 1 при t = 0.

Доказательство. Докажем для абсолютно непрерывного слу-

÷àÿ.


j' (t)j =	M eit				6 Z	eitx p (x) dx = Z
j' (t)j =	M eit	=	Z	eitxp (x) dx	6 Z	eitx p (x) dx = Z	p (x) dx = 1;


			R		R	R

' (0) = M 1 = 1:

2.Если случайная величина имеет характеристическую функцию ' (t), то характеристическая функция случайной вели- чины = a + b

' (t) = eitb' (at):

Доказательство.

' (t) = M eit(a +b) = eitb' (at):

3. Если случайные величины 1, 2 независимы, то

' 1+ 2 (t) = ' 1 (t)' 2 (t);

в общем случае для независимых случайных величин 1; : : : ; n

' 1+:::+ n (t) = ' k (t):

k=1

Доказательство.

' 1+ 2 (t) = M eit( 1+ 2) = M eit 1 M eit 2 = ' 1 (t)' 2 (t):

4.Если случайная величина имеет момент n-го порядка, то

е¼ характеристическая функция ' (t) n-дифференцируема, а

'(k)(0) = ik M k äëÿ k = 1; : : : ; n.

38	ХАРЛАМОВ А. В.

Доказательство. В непрерывном случае:

' (t) = eitxp (x) dx:

Формально дифференцируем:

	'0 (t) = Z	ix eitxp (x) dx;
	R	: : :
	'(n)(t) = in Z	: : :
	'(n)(t) = in Z	xneitxp (x) dx:
	R

Покажем, что дифференцирование корректно (соответствующие интегралы существуют):

'(n)(t)	=	in	xneitxp (x) dx	6	jxnj	eitx p (x) dx = M j jn < +1:

R R

'(k)(0) = ik Z	xke0p (x) dx = ik M k:
R

5.Каждой характеристической функции можно взаимно однозначно поставить в соответствие функцию распределения неко-

торой случайной величины:

' (t) = Z		eitxp (x) dx;
	R	e itx' (t) dt:
p (x) = 2 Z		e itx' (t) dt:
1
	R

6.Прямая предельная теорема: если последовательность слу- чайных величин n слабо сходится к случайной величине , то последовательность соответствующих характеристических функ- öèé ' n сходится к ' .

Обратно: если ' n ! ' и '(t) непрерывна в t = 0, то существует функция распределения p , которая является преде- лом последовательности p n , ãäå n слабо сходятся к .

Примеры вычисления характеристических функций.

1. Дано распределение Пуассона:

Pf = kg = k e : k!

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.201976.04 Кб4Формирование малой антанты.docx
#
09.06.201557.91 Кб18Формы и стили речи.docx
#
11.09.201968.61 Кб11формы права.doc
#
09.06.201528.7 Кб22Функции семьи.docx
#
16.11.201943.92 Кб71Характеристика розыскных новая.docx
#
09.06.2015421.09 Кб15харламов тер-вер.pdf
#
09.06.20153.14 Mб402ХИТИН И ХИТОЗАН.doc
#
09.06.201524.09 Кб16Хрущев.docx
#
29.03.201631.01 Кб125цветаева урок.docx
#
22.11.20181.32 Mб11Цикл ГТУ с подводом теплоты в процессе p.doc
#
21.12.201829.05 Кб1Цинк (2).docx