Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ZI_part1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

254.79 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра Прикладная математика-1

Г.А. Зверкина, А.П. Иванова

НЕОПРЕДЕЛ ННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЧАСТЬ 1

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине Математический анализ

Для студентов ИУИТ и ИСУТЭ

Москва 2007

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра Прикладная математика-1

Г.А. Зверкина, А.П. Иванова

НЕОПРЕДЕЛ ННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЧАСТЬ 1

Рекомендовано редакционно-издательским Советом университета в качестве методических указаний для студентов ИУИТ и ИСУТЭ

Москва 2007

ÓÄÊ 517 Ç 43

Зверкина Г.А., Иванова А.П. Неопредел¼нные интегралы. Часть 1. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине Математический анализ М.: МИИТ, 2007. 36 с.

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине Математический анализ для студентов ИУИТ и ИСУТЭ содержат три задания по теме Неопредел¼нные интегралы . Первое задание содержит два примера на интегрирование простейших функций. Выполнение второго задания требует знания таблицы интегралов и умения делать стандартные замены переменных. Третье задание состоит из четырех примеров, которые следует решать с помощью нескольких замен переменных. Перед каждым заданием подробно разобраны типовые примеры. Каждое задание включает шестьдесят вариантов, что обеспечивает индивидуальный характер работы студентов.

c Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2007

Содержание

Таблица неопредел¼нных интегралов, основные
	формулы и правила интегрирования			4
1	Простейшие	ïðè¼ìû	интегрирования
	элементарных функций			6
2	Замена переменной			14
Список литературы				34

Таблица неопредел¼нных интегралов, основные формулы и правила интегрирования

Таблица неопредел¼нных интегралов

xkdx =

xk+1

k 6= −1

+ C,

(1)

k + 1

= ln |x| + C

(2)

axdx =

a 6= 1

+ C,

a > 0,

(3)

ln a

exdx = ex + C

(4)

sin xdx = − cos x + C

(5)

cos xdx = sin x + C

(6)

= − ctg x + C

(7)

sin2x

= tg x + C

(8)

cos2x

a 6= 0

arctg

+ C,

(9)

a2 + x2

− x2

+ C,

a 6= 0

(10)

= 2a ln a − x

a + x

√a2 − x2

arcsin

(11)

+ C,

a = 0

√

= ln |x + √x2 + k| + C,

k 6= 0

(12)

x2 + k

sh xdx = ch x + C

(13)

ch xdx = sh x + C

(14)

= − cth x + C

(15)

sh2x

= th x + C

(16)

ch2x

√

Z √a2 − x2 dx =

−

arcsin

+ C

(17)

x√

Z √x2 + k dx =

√x2 + k| + C

ln |x +

(18)

Правила

вычисления

неопредел¼нных

интегралов

f(x)dx = Z

kf(x)dx = k Z

f(x)dkx,

(19)

Z (f(x) ± g(x))dx = Z

f(x)dx ± Z

g(x)dx.

(20)

Åñëè

f(x)dx = F (x) + C и u = g(x) непрерывно

дифференцируемая функция, то

f(u)du = F (u) + C.

(21)

Интегрирование по частям

u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) − Z

v(x)u0(x)dx,

(22)

здесь u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемые

функции.

Короткая форма записи формулы (22) имеет вид:

Z	Z
udv = uv −	vdu.	(23)

Универсальная тригонометрическая подстановка

tg	x	= t, sin x =	2t		,	cos x =		1 − t2	,
tg		= t, sin x =			,	cos x =		1 + t2	,
2		1 + t2						1 + t2
		x = 2 arctg t,		dx =			2dt

							1 + t2		(24)

Модификация универсальной тригонометрической подстановки

tg x = t, sin 2x =

cos 2x =

1 − t2

1 + t2

cos2 x =

sin2 x =

1 + t2

+ t2

x = arctg t,

dx =

(25)

1 + t

1 Простейшие при¼мы интегрирования элементарных функций

Нахождение неопредел¼нных интегралов (или первообразных) основано на знании таблицы неопредел¼нных интегралов (1) (18). Однако применение этой таблицы возможно лишь для простейших примеров:

Z √	xdx = Z	x0.5dx =	x0.5+1		2	√		+ C.
				+ C =			x3
			0.5 + 1		3

Âдругих случаях необходимо предварительно

преобразовать подынтегральное выражение (а иногда и весь интеграл), а затем применить формулы из таблицы интегралов. То есть в большинстве случаев мы сначала подгоняем интеграл под подходящие формулы интегрирования, а затем применяем их. Самый простой случай неопредел¼нных интегралов это случай, когда достаточно произвести алгебраические преобразования подынтегрального выражения. При этом мы используем простейшие правила интегрирования (19) (21).

Задание 1.

Вычислим интеграл

√√

Z2 3 x5 + 5 5 x3

√dx.

10 x

Преобразуем подынтегральное выражение и найд¼м первообразную:

										5	3
Z	2√3 x5 + 5√5 x3								Z	5	3				Z			2 5 1
	2√3 x5 + 5√5 x3									2x3 + 5x5								2 5 1
			10√x			dx =							dx =						x3	− 2	+
			10√x							10x2								10
										1
+10x5		− 2 dx =								1
+10x5		− 2 dx =			5 Z			x	6 dx + 2 Z			x10		dx = 5 ·			13 · x 6				+
5	3	1			1				7	1	1				1			6		13
				1			10		11		6			13	5			11
		+			·			·	x10	+ C =				· x 6	+			· x10		+ C.
		+		2	·		11	·	x10	+ C =	65			· x 6	+	11		· x10		+ C.

Здесь мы пользовались простейшими свойствами неопредел¼нного интеграла (19) (20), раскладывая его на сумму двух интегралов и вынося множитель

за знак интеграла. Заметим, что при интегрировании степенных функций удобно записывать их в виде xα, ãäå

α показатель степени.

Варианты задания 1.

Найти следующие интегралы, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:

√

Z6 2 x3 + 7 3 x4


1.1	−9√7				dx
1.1	−9√7	x8			dx
	√		√	2

Z−6 3 x2 − 7 3 x2


1.2		−2√3				dx
1.2		−2√3		x2		dx
	√		√		2

Z1 7 x8 − 5 3 x4

1.3		−3√8			dx
			x9
	√		√	2

Z6 4 x5 − 9 3 x4


1.4		−6√5				dx
1.4		−6√5		x6		dx
	√		√		2

Z2 5 x6 + 9 x10

1.5	−7√5			dx
		x6
	√	√	2

Z− 4 x5 − 7 9 x10

1.6		7√3				dx
1.6		7√3	x2			dx
	√			√	2

Z−2 5 x6 + 3 8 x9

1.7		8√8			dx
			x9
	√		√	2

Z−2 3 x4 + 3 x4

1.8		6√2			dx
			x3
	√		√	2

Z8 5 x6 − 5 4 x5

1.9 √ dx

−2 9 x10

Z	x6		7x7 sin x
			+				dx
			x7				dx
Z	x	5	x8		x
	x		+ 4 cos				dx
			x8				dx
Z	x	9	x7	2 x
	x		+ sec			dx
			x7			dx
Z	x5		2				2	x
	x5		+ 8x cosec					x	dx
			x2						dx
Z	x7		9x9ex
			+	dx
			x9	dx

Zx3 + 2x2 sin x dx x2

Zx8 + 9x9 cos x dx x9

Zx6 + 9x9 sec2 x dx x9

Zx8 + 8x3 cosec2 x dx x3

√

Z9 8 x9 − 5 5 x6

1.10	−2√3			dx
		x2
	√	√	2

Z− 3 x4 + 7 6 x7


1.11	−3√4				dx
1.11	−3√4		x5		dx
	√	√		2

Z−8 3 x4 + 6 x7

1.12					dx
	−9	10
		10
		√x11
√			√	2

Z−7 7 x8 − 8 x9

1.13	√3			dx
		x2
√		√	2

Z9 2 x3 + 9 5 x6

1.14	−4√2			dx
		x3
√		√	2

Z5 5 x6 − 5 9 x10

1.15	8√3			dx
		x4
√		√	2

Z2 2 x3 − 8 5 x6


1.16	−2√8				dx
1.16	−2√8		x9		dx
	√	√		2

Z−3 8 x9 − 3 x2


1.17	4√4				dx
1.17	4√4	x5			dx
	√		√	2

Z−3 4 x5 − 4 8 x9


1.18	−7√7				dx
1.18	−7√7		x8		dx
√		√		2

Z4 5 x6 + 3 3 x2

1.19 √ dx

− 6 x7

+ x5ex

8x8 sin x

cos

+ 6

2 x

+ 8 sec

+ 9x cosec

2x3ex

Zx5 + 9x9 sin x dx x9

Zx3 + 3x6 cos x dx x6

Zx2 + 3x6 sec2 x dx x6

Zx7 + 6x9 cosec2 x dx x9

√ √ 2

Z−4 4 x5 − 7 x8

1.20	−√3			dx
		x2
√		√	2

Z5 4 x5 + 3 4 x5

1.21	8√5			dx
		x6
√		√	2

Z4 3 x4 − 9 2 x3

1.22	−6√9			dx
		x10
	√	√	2

Z− 3 x4 + 3 5 x6


1.23	−√3				dx
1.23	−√3		x2		dx
	√	√		2

Z−7 5 x6 − 5 x6

	−5	√x9
1.24		10		dx
		10
√		√	2

Z8 7 x8 − 8 x9

1.25	8√7				dx
		x8
√			√	2

Z9 4 x5 − 3 8 x9


1.26	−8√5				dx
1.26	−8√5	x6			dx
	√		√	2

Z−9 2 x3 + 5 4 x5


1.27	−4√2				dx
1.27	−4√2		x3		dx
√		√		2

Z7 3 x2 − 3 8 x9


1.28	9√9				dx
1.28	9√9		x10		dx
	√	√		2

Z−3 5 x6 − 5 x6

1.29 √ dx

5 3 x2

8x8ex

5x2 sin x

cos

+ 5

2 x

+ 8 sec

+ 6x cosec

4x9ex

Zx8 + 7x3 sin x dx x3

Zx8 + 8x9 cos x dx x9

Zx3 + x7 sec2 x dx x7

Zx3 + 7x2 cosec2 x dx x2

√

Z8 5 x6 − 7 5 x6


1.30	7√9				dx
1.30	7√9	x10			dx
	√		√	2

Z−5 8 x9 + 9 6 x7

1.31	−8√7			dx
		x8
√	√		2

Z4 x5 + 7 7 x8


1.32	−3√3			dx
1.32	−3√3	x4		dx
	√		√		2

Z−9 3 x4 + 7 4 x5

1.33	5√4				dx
		x5
√			√	2

Z−6 7 x8 + 2 6 x7

1.34				dx
	10

3
3	√x9
√		√	2

Z8 6 x7 − 7 3 x2

1.35	−4√3			dx
		x4
√		√	2

Z3 6 x7 − 6 9 x10

1.36	−6√5			dx
		x6
√		√	2

Z3 8 x9 − 8 5 x6

1.37	−4√3			dx
		x2
√		√	2

Z9 4 x5 + 5 2 x3


1.38	4√4				dx
1.38	4√4	x5			dx
	√		√	2

Z−6 8 x9 − 7 2 x3

1.39 √ dx

−5 6 x7

Z	x6		5x3ex
			+	dx
			x3	dx
Z	x6		x6	x
			+ sin			dx
			x6			dx
Z	x9		x2			x
			+ 4 cos				dx
			x2				dx
Z	x	4	x8		2 x
	x		+ 5 sec					dx
			x8					dx
Z	x3		2				2	x
	x3		+ 4x cosec					x	dx
			x2						dx
Z	x2		5x8ex
			+	dx
			x8	dx

Zx4 + 8x8 sin x dx x8

Zx4 + 9x4 cos x dx x4

Zx6 + 5x2 sec2 x dx x2

Zx5 + 5x3 cosec2 x dx x3

√

Z4 2 x3 − 6 6 x7

1.40	7√3			dx
		x2
√		√	2

Z8 3 x2 + 7 x8

1.41	−3√4			dx
		x5
√		√	2

Z3 x2 + 7 4 x5

1.42	8√3				dx
		x2
√			√	2

Z2 6 x7 + 7 7 x8

1.43				dx
	10

4
4	√x7
√		√	2

Z−8 6 x7 + 9 2 x3


1.44	−3√7				dx
1.44	−3√7		x8		dx
	√	√		2

Z−4 3 x2 − 3 x4


1.45	−4√4				dx
1.45	−4√4	x5			dx
	√		√	2

Z−7 2 x3 − 9 7 x8

1.46	√8			dx
		x9
√		√	2

Z9 3 x2 − 8 3 x4

1.47	2√9			dx
		x10
√		√	2

Z5 3 x4 − 3 6 x7


1.48	−5√5				dx
1.48	−5√5	x6			dx
	√		√	2

Z−3 3 x2 − 4 6 x7

1.49 √ dx

−8 2 x3

Z	x8		+ x9ex
						dx
			x9			dx
Z	x8		+	8x9	sin		x	dx
Z				x9				dx
Z	x	3		x2	cos x
	x		+ 8		cos x			dx
			x2					dx
Z	x	6		x5			2 x
	x		+ 6 sec						dx
			x5						dx
Z	x9		+	x7 cosec2 x
			+							dx
				x7						dx
Z	x2		+ x5ex
						dx
			x5			dx

Zx9 + 5x3 sin x dx x3

Zx5 + 6x6 cos x dx x6

Zx3 + 2x3 sec2 x dx x3

Zx7 + x5 cosec2 x dx x5

√ √ 2

Z− 7 x8 − 3 x2


1.50	4√9				dx
1.50	4√9	x10			dx
	√		√	2

Z−6 6 x7 + 3 x4


1.51	6√6				dx
1.51	6√6	x7			dx
	√		√	2

Z−8 2 x3 − 4 8 x9


1.52	−5√3				dx
1.52	−5√3		x4		dx
√		√		2

Z3 7 x8 − 2 4 x5

1.53	√6				dx
		x7
√			√	2

Z−3 7 x8 + 5 3 x4

1.54	6√5			dx
		x6
√		√	2

Z7 2 x3 − 6 7 x8


1.55	5√5				dx
1.55	5√5	x6			dx
	√		√	2

Z−4 2 x3 + 4 2 x3

1.56	3√9			dx
		x10
√		√	2

Z−9 3 x4 − 3 6 x7

1.57	6√5				dx
		x6
√			√	2

Z−3 8 x9 + 4 3 x2

1.58	5√6			dx
		x7
√		√	2

Z4 6 x7 + 2 4 x5

1.59 √ dx

6 4 x5

2x2ex

7x3 sin x

cos

+ 3

2 x

+ 6 sec

+ 7x cosec

8x8ex

Zx5 + 9x3 sin x dx x3

Zx4 + 3x5 cos x dx x5

Zx2 + x2 sec2 x dx x2

Zx3 + 8x9 cosec2 x dx x9

1.60

−8

4√7

3√9 x10

3 x

−5√x

7x e

Замечание. В каждом варианте содержится два

задания. Функции sec x =	1	cosec x =	1
	cos x ,		sin x .

2 Замена переменной

К сожалению, большинство интегралов невозможно найти, используя толькоZалгебраические преобразования.

Например, в интеграле	sin 2x dx нам мешает 2x. Если
бы у нас был интеграл Z	sin x dx, мы бы воспользовались

формулой (9) таблицы интегралов. Однако, умножив и разделив наш интеграл на 2, мы получим:

Z	sin 2x dx = Z	sin 2x dx · 2 : 2 = 2				Z	sin 2x · 2 dx =
					1
		= 2	Z	sin 2x d(2x).
		1

Теперь, воспользовавшись свойством (21), мы можем применить формулу (9) для интеграла с переменной интегрирования (2x):

Z	sin 2x dx = 2	Z	sin 2x d(2x) = −2 cos 2x + C.
	1		1
А для интеграла Z		sin(2x + 5) dx, проведя те же самые

преобразования и вспомнив, что

d(u(x) + C) = d(u(x)),

получим:

	Z	sin(2x + 5) dx =	1	Z	sin(2x + 5) d(2x) =

			2
1	Z				= −	1
		sin(2x + 5) d(2x + 5)					cos(2x + 5) + C.
2						2

Варианты задания 2.

Найти интеграл, предварительно сделав замену

переменных.

2.1

−8 sin(4x − 3) dx

2.2

2 cos(3x − 8) dx

2.3

10 sec2(−2x − 4) dx

2.4

5 cosec2(9x − 10) dx

2.5

4 · 96x−9 dx

2.6

−5x − 10

1 + (7x − 4)2

(8x + 10)2

2.7

2.8

−3

p −

1 + (2x + 8)2

(6x 9)2 + 1

2.9

−

2.10

−

2.11

2.12

−9(3x − 5)

−10 sin(−5x + 2) dx

2.13

2 cos(4x − 10) dx

2.14

−6 sec2(10x − 6) dx

2.15

3 · 6−10x−7 dx

2.16

4 cosec2(7 − 10x) dx

3x + 7

1 + (−5x − 10)2

2.17

2.18

−6

2.19

1 (4x + 3)2 dx

2.20

1 + (−3x + 2)2 dx

−

2.21

(10x + 9)2 + 1 dx

2.22

8(−8x − 5)−5 dx

2.23

7 sin(−2x + 10) dx

2.24

2 cos(−7x − 8) dx

2.25

−10 sec2(7x + 3) dx

2.26

3 cosec2(−9x − 5) dx

2.27

−9 · 89x−5 dx

2.28

8x−− 6 dx

2.29

1 + (8x + 10)2 dx

2.30

(2x + 9)2 dx

−

2.31

2.32

−

1 + (2x + 9)2

(

8x 10)2 + 1

2.33

2.34

−

−8(3x − 3) dx

−4 sin(4x − 8)4 dx

2.35

10 cos(−10x − 6) dx

2.36

2 sec2(−8x − 9) dx

2.37

9 · 4−2x−2 dx

2.38

10 cosec2(−7x − 10) dx

9x + 2

1 + (2x − 3)2

2.39

2.40

−10

2.41

(6x + 10)2 dx

2.42

1 + ( 2x

5)2 dx

−

− 9

−

2.43

2.44

−6(4x − 2)

8x)2 + 1

−

2.45

−4 sin(−10x − 2) dx

2.46

8 cos(−6x − 3) dx

2.47

−5 sec2(−2x + 3) dx

2.48

9 cosec2(3x + 3) dx

2.49

−5 · 2−5x+6 dx

2.50

4x−+ 2 dx

2.51

1 + ( 2x + 5)2 dx

2.52

1 (10x

3)2 dx

− 7

2.53

2.54

− −7

−

5)2

(6x + 3)2

1 + (5x

+ 1

2.55

−6

2.56

−4(2x + 6)−

−7 sin(−6x + 10) dx

2.57

−6 cos(3x + 2) dx

2.58

−8 sec2(7x − 6) dx

2.59

−6 cosec2(5x + 6) dx

2.60

3 · 82x−2 dx

Рассмотрим ещ¼ несколько примеров.

1.		3x2 − 6x + 3		dx.
Z	√5 x3 − 2x2 + 3x − 1

Здесь мы замечаем, что 3x2

−

6x+3 = (x3

−

2x2 +3x

−

1)0,

ò.å. (3x

− 6x + 3) dx = d(x

− 2x

+ 3x − 1), следовательно,

3x2 − 6x + 3

dx =

Z √5 x3 − 2x2 + 3x − 1

= Z (x3 − 2x2 + 3x − 1)− 51 d(x3 − 2x2 + 3x − 1) =

(x3 −

2x2 + 3x − 1)5 + C.

sin(2x3)x2 dx.

sin2(x3) + 3

Здесь нам прид¼тся несколько раз произвести внесение под знак дифференциала:

x2 dx = d x3 = 1 dx3; 3 3

sin(2x3) = 2 sin x3 cos x3; cos x3 dx3 = d sin x3;

2 sin x3 d sin x3 = d sin2 x3 = d(sin2 x3 + 3).

Èòàê,

3 sin2(x3) + 3 sin(2x3)x2 dx =

= 13 3qsin2(x3) + 3 sin(2x3) dx3 =

=sin2(x3) + 3 2 sin x3 cos x3 dx3 =

=sin2(x3) + 3 2 sin x3 d sin x3 =

= (sin2(x3) + 3)1 d(sin2 x3 + 3) = 2(sin2(x3) + 3)3 + C.

2 2

В некоторых случаях такое внесение под знак дифференциала затруднительно, поэтому, угадав подходящую подстановку, производят замену переменной:

Z q

2 +

√4

dx.

Сделаем замену переменной: t =

2 + √4

. Â

ýòîì

= 2 +

(

случае t2

√4 x,

√4 x

−

, x =

−

d(t − 2)4 = 8(t2 − 2)3t dt. Èòàê,

2 + √x dx =

t =

2 +

√4 x,

√4 x

2 +

√4

Z q

x = (t2

−2)4,

−

2)4 = 8t(t2

2)3 dt.

dx = d(t2

−

=t · 8t(t2 − 2)3 dt = 8t2(t6 − 6t4 + 12t2 − 8) dt =

=8t8 − 48t6 + 96t4 − 64t2 dt =

=89t9 − 487 t7 + 965 t5 − 643 t3 + C =

			9				7			5
= 9 q2 + √4		x	9		− 7 q2 + √4	x	7	5 q2 + √4	x	5
= 9 q2 + √4		x			− 7 q2 + √4	x	+	5 q2 + √4	x	−
8				3	48			96

− 3 q2 + √4 x					+ C.
− 3 q2 + √4 x					+ C.
	64
	64

Иногда переход к новой переменной существенно облегчает нахождение первообразной:

					Z				2x2 + 3x − 1
			4.								x −		6		dx.
			4.												dx.
Выделим в знаменателе полный квадрат:
					3					1						1		3			1
2x2 + 3x − 1 = 2(x2 +							x −					) = 2(x2 + 2 ·					·			x −			) =
2x2 + 3x − 1 = 2(x2 +						2	x −				2	) = 2(x2 + 2 ·				2	·		2	x −		2	) =
= 2	x2 + 2 · 4x +			4				2	−	4			2	− 2! =
		3		3				2		3			2	1
	x + 4
= 2	x + 4		−	16! .
	3		2	17

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015580.1 Кб52zadachi_test_po_cenoobrazovaniyu.doc
#
09.06.20151.96 Mб1696Zadachnik_po_marketingu_s_primerami_i_otvetami.pdf
#
28.03.2016925.18 Кб12Zadania_dlya_YuYuG-315 (1).doc
#
09.06.2015820.74 Кб31Zadanie_UER_3_kurs_novoe.doc
#
09.06.2015141.82 Кб44ZhBK_i_Kam_konstr_testy.doc
#
09.06.2015254.79 Кб3ZI_part1.pdf
#
28.03.201676.04 Кб21Zyablov_Alexandr1.docx
#
09.06.201546.32 Кб4_квал.хар..docx
#
09.06.2015551.42 Кб25_ЛР 1. Автономное выживание человека1.doc
#
28.03.2016944.13 Кб42_Методические указания для студентов к.п_2013_final_corrected_1.doc
#
28.03.20161.02 Mб7_Методические указания для студентов к.п_2013_final_corrected_1.pdf