- •1)Геометрическое определение вектора.
- •2)Сумма и разность векторов. Правило сложения векторов.
- •3) Умножение вектора на число.
- •13) Кривые второго порядка: гипербола.
- •14 ) Кривые второго порядка: парабола.
- •15) Размерность матрицы. Основные виды матриц.
- •16) Операции над матрицами: транспонирование.
- •22) Обратная матрица.
- •23) Критерий совместимости Кронекера – Капелли. Критерий совместности Кронекера-Капелли
- •24) Решение системных линейных уравнений. Формулы Крамера. Формулы Крамера
- •25) Решение системных линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Гаусса
- •26)Понятие множества. Операции над множествами.
- •27) Понятие функции: определение. Способы задания функций.
- •28) Основные свойства функций.
- •29) Обратная функция. Сложная функция.
- •30) Элементарные функции: определение, классификация.
22) Обратная матрица.
Обратная матрица — такая матрица A?1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
23) Критерий совместимости Кронекера – Капелли. Критерий совместности Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений имеет вид:
где аij – коэффициенты при неизвестных, bi – свободные члены м(i = ; j =), xj - неизвестные.
Решением системы называется такая совокупность n чисел (x1=c1, x2=c2,..., xn=cn), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Система называется несовместной, если она не имеет решений.
Пример:
система уравнений совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10; 0);
система уравнений несовместная;
система уравнений совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения (x1=c, x2=10-2c), где с – любое число.
Запишем систему уравнений в матричной форме
AX = B,
где - матрица коэффициентов при неизвестных, называемая матрицей системы,- столбец переменных,столбец свободных членов.
Если к матрице системы приписать столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы вида
.
Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда ранг матрицы совместной системы равен числу переменных r(A) = n.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
24) Решение системных линейных уравнений. Формулы Крамера. Формулы Крамера
Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:
, , …,,
где - определитель матрицы системы,
- определитель, получаемый из определителя заменойk-го столбца столбцом свободных членов.
Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители i (i=):
Отсюда x1 = 1/ = 1, x2 = 2/ = 2, x3 = 3/ = 3, x4 = 4/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.
25) Решение системных линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Гаусса
Суть этого метода состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных матрица системы превращается в треугольную, равносильную данной. Удобнее приводить к трапециевидному виду расширенную матрицу системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.
Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:
x1 + x2 – 3x3 = 2,
3x1 – 2x2 + x3 = - 1,
2x1 + x2 – 2x3 = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
~ ;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
.
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x1 + x2 – 3x3 = 2,
-5x2 + 10x3 = -7,
- 10x3 = 13.
Из последнего уравнения находим x3 = -1,3.
Подставляя это значение во второе уравнение, имеем x2 = -1,2.
Далее из первого уравнения получим x1 = - 0,7.