1)Геометрическое определение вектора.

Геометрическим вектором называется отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно себе.

2)Сумма и разность векторов. Правило сложения векторов.

Правило сложения векторов. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть вектора и . Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Суммой векторов   и называется вектор   

Для любых векторов   справедливы равенства 

Разностью векторов   и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор   

откуда c 1  =  a 1 –  b 1 ;

c 2  =  a 2 –  b 2.

3) Умножение вектора на число.

Произведение вектора a(a1; a2) на число λ называется вектор (λa1; λa2), т.е. (a1; a2) λ = (λa1; λa2).  Для любого вектора a и чисел λ, μ   Для любого вектора a и b и числа λ 

4) Длина вектора.

Длиной вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Длина (модуль) вектора  a  - это длина отображающего его отрезка  AB, обозначается | a |. В частности,  | 0 | = 0.

Нулевой вектор  0  или  0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 = – 0.

5)Коллинеарные векторы

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых , называются коллинеарными.

Коллинеарные векторы  a и b  обозначаются  a || b.

6) Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

 

Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

     2. Если a*b=0, то

3.

4.

7) Уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.

1)Общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0,

 2)Уравнение прямой с угловым коэффициентом

- угол, образованный прямой с осью

8) Уравнения прямой на плоскости: уравнение в отрезках; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

1) Уравнение прямой в отрезках 

a,b – величины отрезков, отсекаемых на прямой – на осях координат.

2) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

A(x1;x2) и B(x2;y2)

Величина угла между прямыми

y = kx+b

y = k1x +b1

Прямые a1x+b1y+c1=0 и

a2x+b2y+c2=0, если

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

 

9) Условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

а)для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

 - условие перпендикулярности двух прямых.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

10)Условие параллельности двух прямых на плоскости

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     

11) Кривые второго порядка: окружность.

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — o) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r²,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

12) Кривые второго порядка: эллипс.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике)

5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.