7. Билинейные и квадратичные формы.

7.1. Что такое билинейная форма? Как образуется матрица билинейной формы в данном базисе? Как записать билинейную форму в данном базисе? Как записать билинейную форму в координатной и в векторно-матричной записи? Пусть – матрица формы в базисе;. Чему равны

?

7.2. При каком условии на коэффициенты билинейная форма

симметрична, кососимметрична?

7.3. Как меняется матрица билинейной формы при изменении базиса? Что происходит при этом со значениями формы?

7.4. Что такое квадратичная форма? Как образуется матрица квадратичной формы в данном базисе? Как записать квадратичную форму по ее матрице (указать 2 вида записи)? Выпишите матрицу квадратичной формы . Приведите векторно-матричную запись формы. Приведите два вида записи квадратичной формы с матрицей

.

7.5. Каков канонический вид квадратичной формы? Однозначно ли он определен? Как выглядит матрица формы в каноническом базисе? Какие характеристики формы не зависят от выбора канонического базиса?

7.6. Что называется положительным, отрицательным индексами инерции, рангом квадратичной формы? Что означает положительная (отрицательная) определенность формы? Каковы положительный, отрицательный индексы и ранг положительно (отрицательно) определенной формы?

7.7. Каков критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы?

7.8. Поверхность 2-го порядка в задается уравнением, где– квадратичная форма. Укажите тип поверхности в зависимости от ранга и индексов инерции квадратичной формы.

8. Евклидовы пространства.

8.1. Какие аксиомы определяют скалярное произведение в евклидовом пространстве? Что они означают на языке билинейных форм? Приведите примеры скалярных произведений.

8.2. Что такое матрица Грама? Каковы ее свойства? Как записать с ее помощью скалярное произведение векторов? Может ли матрица Грама в некотором базисе иметь вид: а); б); в)?

При положительном ответе найти , где

.

8.3. Что такое длина (норма) вектора в евклидовом пространстве? Каковы ее свойства? Что такое неравенство Коши–Буняковского? Когда оно превращается в равенство? Как выглядит неравенство треугольника, и почему оно так называется?

8.4. Как вычисляется угол между векторами? Почему это определение угла корректно? Какие векторы называются ортогональными? Скалярное произведение в базисе задается матрицей Грама. Будут ли ортогональны векторыи;и;и? Каковы длины векторов?

8.5. Что такое ортогональный, ортонормированный базисы в евклидовом пространстве? Как выглядит матрица Грама в ортогональном базисе, в ортонормированном? Как ищется скалярное произведение в ортонормированном базисе? Почему? Как выражаются через скалярное произведение координаты вектора в ортонормированном базисе?

9. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

9.1. Какой оператор А* называется сопряженным к линейному операторуАв евклидовом пространстве? Будет ли он единственным? Как найти его матрицу, зная матрицу оператора

Ав ортонормированном базисе?

9.2. Как найти оператор, сопряженный к произведению операторов АВ; к их суммеА+В? Чему равен сопряженный оператор к обратному оператору?

9.3. Какой оператор называется самосопряженным? Каково характеристическое свойство матрицы самосопряженного оператора в ортонормированном базисе? Сохраняется ли самосопряженность при сложении операторов; при умножении их на числа; при умножении операторов?

9.4. Какова специфика корней характеристического уравнения для самосопряженного оператора? Каковы свойства его собственных векторов?

9.5. Какой оператор называется ортогональным? Что происходит с ортонормированным базисом при действии ортогонального оператора?

9.6. Известно, что линейный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный. Каков этот оператор?

9.7. Будет ли ортогональный оператор иметь обратный? Если да, то как его найти?

9.8. Известно, что оператор Аобратим, и. Каков этот оператор?

9.9. Каковы свойства матрицы ортогонального оператора в ортонормированном базисе?

9.10*. Как показать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису матрица самосопряженного оператора преобразуется так же, как матрица соответствующей квадратичной формы? Для чего здесь нужна самосопряженность оператора?

Литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М.Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980.

2. Головина Л. И.Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.

3. Линейная алгебра и основы математического анализа. Сборник задач по математике для втузов. Ред. Ефимов А. В., Демидович Б. П. – М.: Наука, 1986.

4. Рублев А. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Высшая школа, 1972.