- •А.В. Ряднов
- •Теоретические вопросы Типовой расчет №1 охватывает следующие темы:
- •Типовой расчет №2 охватывает следующие темы:
- •Указания по выполнению и сдаче типового расчета
- •Типовой расчет №1 Теоретические упражнения
- •Практические задания
- •Контрольные вопросы
- •1. Определители.
- •2. Комплексные числа и многочлены.
- •3. Алгебра матриц.
- •4. Линейные пространства.
- •Типовой расчет №2 Теоретические упражнения
- •Практические задания
- •Контрольные вопросы
- •5. Теория систем линейных уравнений.
- •6. Линейные операторы.
- •7. Билинейные и квадратичные формы.
- •8. Евклидовы пространства.
- •9. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Содержание
Практические задания
Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнений.
№ вар. |
Система уравнений |
1, 20 | |
3, 22 | |
5, 24 | |
7, 26 | |
9, 28 | |
11, 30 | |
13, 17 | |
15, 19 | |
2, 21 | |
4, 23 | |
6, 25 | |
8, 27 | |
10, 29 | |
12, 16 | |
14, 18 |
Задача 2*. Найти общее решение в зависимости от значения параметра. При каких значенияхсистема допускает решение с помощью обратной матрицы?
№ вар |
Система уравнений |
1 | |
3 | |
5 | |
7 | |
9 | |
11 | |
13 | |
15 | |
17 | |
19 | |
21 | |
23 | |
25 | |
27 | |
29 | |
2 | |
4 | |
6 | |
8 | |
10 | |
12 | |
14 | |
16 | |
18 | |
20 | |
22 | |
24 | |
26 | |
28 | |
30 |
Задача 3.Линейный операторопределяется действием отображенияна концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
а) Найти матрицу оператора в подходящем базисе пространства, а затем в каноническом базисе. б) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1, 0, 0) под действием отображения?
№ вар. |
Отображение |
1,21 |
отражение относительно плоскости x + y + z= 0
|
2,22 |
поворот на 180° вокруг оси x = y = z
|
3,23 |
проектирование на ось x = y/2 = z
|
4,24 |
проектирование на плоскость x + y + z = 0
|
5,25 |
отражение относительно плоскости x + y z= 0
|
6,26 |
поворот на 180° вокруг оси x=y=z
|
7,27 |
проектирование на ось 2x= 2y=z
|
8,28 |
проектирование на плоскость x y + z= 0
|
9,29 |
отражение относительно плоскости x y + z= 0
|
10,30 |
поворот на 180° вокруг оси x=y=z
|
11,16 |
проектирование на ось x= 2y= 2z
|
12,17 |
проектирование на плоскость x + y + z= 0
|
13,18 |
отражение относительно плоскости x + y + z= 0
|
14,19 |
поворот на 180° вокруг оси x=y=z
|
15,20 |
проектирование на плоскость x + y z= 0 |
Задача 4.а) Доказать, что операторявляется линейным оператором в пространствемногочленов степени не вышеn.
б) Найти его матрицу в каноническом базисе.
в) Существует ли обратный оператор? Если да, найдите его матрицу.
г) Опишите ядро оператора , т. е. множество:
.
№ вар. |
n | |
1, 22 |
2 | |
2, 23 |
2 | |
3, 24 |
3 | |
4, 25 |
3 | |
5, 26 |
3 | |
6, 27 |
3 | |
7, 28 |
2 | |
8, 29 |
3 | |
9, 30 |
2 | |
10, 16 |
2 | |
11, 17 |
3 | |
12, 18 |
2 | |
13, 19 |
3 | |
14, 20 |
2 | |
15, 21 |
2 |
Задача 5.ПустьАматрица оператораиз задачи 3 в каноническом базисе. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицыА. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора.
Задача 6.Оператордействует на матрицы, образующие линейное подпространствоМв пространстве матриц второго порядка.
а) Доказать, что линейный оператор вМ.
б) Найти матрицу Аоператорав каком-нибудь базисе пространстваМ.
в) Найти собственные значения и собственные векторы оператора (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).
г) Доказать, что оператор простого типа, описать его действие в собственном базисе.
№ вар. |
B | ||
1, 16 |
y = u | ||
2, 17 |
y = u | ||
3, 18 |
x + v = 0 | ||
4, 19 |
x + v = 0 | ||
5, 20 |
x + y + u + v = 0 | ||
6, 21 |
x y + u + v = 0 | ||
7, 22 |
x + y u v = 0 | ||
8, 23 |
x 2y u v = 0 | ||
9, 24 |
y = u | ||
10, 25 |
y = u | ||
11, 26 |
x + v = 0 | ||
12, 27 |
x + y + u + v = 0 | ||
13, 28 |
x + y + 2u + v = 0 | ||
14, 29 |
x + y + 2u v = 0 | ||
15, 30 |
x + y v = 0 |
Задача 7.В пространствегеометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базисазаданы координатами в базисе.
а) Найдите матрицу Грама скалярного произведения в этом базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его координаты в базисеS.
б) Ортогонализуйте базис S. Сделайте проверку ортонормированности построенного базисаPдвумя способами:
1) выписав координаты векторов из Pв каноническом
базисе ;
2) убедившись, что преобразование матрицы Грамма
при переходе от базиса Sк базисуP(по формуле) приводит к единичной матрице.
№ вар. |
1, 23 |
2, 24 |
3, 25 |
|
1 1 1 2 1 0 0 1 1 |
1 0 1 1 1 1 2 1 0 |
1 1 0 1 1 1 1 0 2 |
№ вар. |
4, 26 |
5, 27 |
6, 28 |
|
1 0 2 2 1 1 1 1 0 |
0 1 2 1 1 1 2 0 1 |
1 1 1 2 0 1 1 1 2 |
№ вар. |
7, 29 |
8, 30 |
9, 16 |
|
2 0 1 1 1 1 1 2 1 |
1 1 1 1 1 1 2 0 1 |
2 0 1 1 1 1 2 0 1 |
№ вар. |
10, 17 |
11, 18 |
12, 19 |
|
1 1 0 2 0 1 1 1 1 |
1 0 1 2 1 1 1 1 0 |
2 1 0 1 1 1 1 0 1 |
№ вар. |
13, 20 |
14, 21 |
15, 22 |
|
1 0 2 1 1 1 1 2 0 |
1 1 0 2 1 1 1 0 1 |
1 1 1 1 1 1 2 1 0 |
Задача 8. Задана квадратичная форма.
а) Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, записав соответствующее преобразование переменных.
б) Привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием.
в) Проверить закон инерции квадратичной формы на примерах преобразований, полученных в пунктах а), б).
№вар. |
Квадратичная форма |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 | |
14 | |
15 | |
16 | |
17 | |
18 | |
19 | |
20 | |
21 | |
22 | |
23 | |
24 | |
25 | |
26 | |
27 | |
28 | |
29 | |
30 |