- •А.В. Ряднов
- •Теоретические вопросы Типовой расчет №1 охватывает следующие темы:
- •Типовой расчет №2 охватывает следующие темы:
- •Указания по выполнению и сдаче типового расчета
- •Типовой расчет №1 Теоретические упражнения
- •Практические задания
- •Контрольные вопросы
- •1. Определители.
- •2. Комплексные числа и многочлены.
- •3. Алгебра матриц.
- •4. Линейные пространства.
- •Типовой расчет №2 Теоретические упражнения
- •Практические задания
- •Контрольные вопросы
- •5. Теория систем линейных уравнений.
- •6. Линейные операторы.
- •7. Билинейные и квадратичные формы.
- •8. Евклидовы пространства.
- •9. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Содержание
Практические задания
Задача 1. Разложить многочлен
а) на линейные множители; б) на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.
№ вар. |
a |
b |
c |
d |
e |
1 |
3 |
1 |
7 |
5 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
4 |
3 |
1 |
2 |
10 |
11 |
12 |
4 |
2 |
11 |
13 |
3 |
9 |
5 |
5 |
8 |
3 |
2 |
2 |
6 |
1 |
1 |
10 |
9 |
9 |
7 |
4 |
20 |
41 |
40 |
16 |
8 |
4 |
4 |
5 |
2 |
1 |
9 |
5 |
2 |
22 |
8 |
8 |
10 |
3 |
5 |
6 |
3 |
1 |
11 |
1 |
0 |
2 |
0 |
4 |
12 |
1 |
0 |
0 |
4 | |
13 |
0 |
12 |
0 | ||
14 |
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
15 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
16 |
1 |
–3 |
–8 |
–9 |
–5 |
17 |
1 |
1 |
–3 |
–4 |
–4 |
18 |
1 |
1 |
–2 |
–4 |
–8 |
19 |
1 |
2 |
–7 |
–18 |
–18 |
20 |
1 |
–3 |
–5 |
–21 |
–20 |
21 |
3 |
–1 |
5 |
3 |
2 |
22 |
1 |
2 |
7 |
6 |
5 |
23 |
1 |
3 |
8 |
8 |
8 |
24 |
1 |
1 |
10 |
9 |
9 |
25 |
1 |
–2 |
8 |
3 |
18 |
26 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
27 |
1 |
0 |
3 |
0 |
9 |
28 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
29 |
1 |
0 |
–9 |
0 |
81 |
30 |
1 |
0 |
4 |
0 |
16 |
Указания: 1) в вариантах 15, 1620 найти целочисленные корни многочлена; 2) в вариантах 610, 2125 известен корень z0:
№ вар. |
6 |
7 |
8 |
z0 | |||
№ вар. |
9 |
10 |
21 |
z0 | |||
№ вар. |
22 |
23 |
24 |
z0 | |||
№ вар. |
25 |
|
|
z0 |
|
|
Задача 2. Пусть М множество многочленов с вещественными коэффициентами P(t)Pn , удовлетворяющих указанным условиям. Доказать, что М подпространство в Pn; найти базис и размерность М. Дополнить базис М до базиса Pn.
№ вар. |
n |
Условия на |
1 |
3 |
P(1) = P(1) |
2 |
3 |
P(1) = P(1) |
3 |
3 |
P(2) = 0 |
4 |
4 |
P(2) = P(3) = 0 |
5 |
4 |
P(2 i) = 0 |
6 |
3 |
P(1) = 0 |
7 |
3 |
P(0) + P(1)=0 |
8 |
4 |
P(i1) = 0 |
9 |
4 |
P(t) (t 3)2 |
10 |
3 |
P(1) = 0 |
11 |
4 |
P(t) (t2 + t + 1) |
12 |
3 |
P(1) = P(2) = 0 |
13 |
3 |
2P(0) + P(1) = 0 |
14 |
3 |
P(1) + P(0) + P(1) = 0 |
15 |
3 |
P(0) + P(2) = 0 |
16 |
3 |
P(2) = P(–2) |
17 |
4 |
P(1)=P(0) = 0 |
18 |
3 |
P(2) = 0 |
19 |
4 |
P(2) = P(0) = 0 |
20 |
4 |
P(1 + i) = 0 |
21 |
3 |
P(–1) = 0 |
22 |
3 |
P(0) + P(1) = 0 |
23 |
4 |
P(2 + i) = 0 |
24 |
4 |
P (1) = P(–1) = 0 |
25 |
3 |
P(1) + P(0) = 0 |
26 |
4 |
P(t) (t2 +4 t + 5) |
27 |
3 |
P(–1) + P(0) = 0 |
28 |
3 |
P(–1) = 2P(0) |
29 |
3 |
P(1) + P(0) + P(1) = 0 |
30 |
4 |
P(0) = P(–1) = 0 |
Задача 3. Найти размерность и построить базис линейного подпространстваМв пространстве всех матриц данного размера (см. теоретические упражнения №5). Проверить, что матрицаВпринадлежитМ, и разложить ее по базису вМ.
№ вар. |
Ммножество матриц указанного вида |
В |
1 |
Решения матричного уравнения | |
2 |
Решения матричного уравнения | |
3 |
Матрицы, перестановочные с матрицей А = | |
4 |
Матрицы, перестановочные с матрицей А = | |
5 |
Матрицы антиперестановочные с матрицей А = | |
6 |
Матрицы, антиперестановочные с матрицей А= | |
7 |
Симметричные матрицы 3-го порядка | |
8 |
Кососимметричные матрицы 3-го порядка | |
9 |
Верхнетреугольные матрицы 3-го порядка с нулевым следом | |
10 |
Матрицы 3-го порядка с нулевыми суммами элементов вдоль главной и побочной диагоналей | |
11 |
Матрицы 3-го порядка, у которых суммы элементов вдоль любой строки и вдоль любого столбца одинаковы | |
12 |
Матрицы 3-го порядка, у которых суммы элементов вдоль любой строки и вдоль любого столбца равны нулю | |
13 |
Матрицы , у которых суммы элементов в обеих строках одинаковы | |
14 |
Матрицы, перестановочные с матрицей А= | |
15 |
Матрицы, антиперестановочные с матрицей А = | |
16 |
Решения матричного уравнения | |
17 |
Решения матричного уравнения | |
18 |
Матрицы, перестановочные с матрицей А= | |
19 |
Матрицы, перестановочные с матрицей А= | |
20 |
Матрицы, антиперестановочные с матрицей А= | |
21 |
Матрицы, антиперестановочные с матрицей А= | |
22 |
Симметричные матрицы 3-го порядка с нулевыми суммами элементов из первого и третьего столбцов | |
23 |
Кососимметричные матрицы 3-го порядка с нулевой суммой элементов из первой строки | |
24 |
Нижнетреугольные матрицы 3-го порядка с нулевым следом и нулевой суммой элементов по побочной диагонали | |
25 |
Симметричные матрицы 3-го порядка, у которых одинаковы суммы элементов в строках, а суммы элементов в столбцах знакочередуются | |
26 |
Симметричные матрицы 3-го порядка, у которых одинаковы суммы элементов в столбцах, а суммы элементов в строках знакочередуются | |
27 |
Симметричные матрицы 3-го порядка, у которых сумма элементов любого столбца равна 0 | |
28 |
Матрицы , у которых суммы элементов в обоих столбцах равны 0 | |
29 |
Симметричные матрицы, перестановочные с матрицей А = | |
30 |
Симметричные матрицы, антиперестановочные с матрицей А = |
Задача 4*. Доказать, что множествоМфункций, заданных на областиD, образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.
№ вар |
Множество М (, , , любые вещественные числа) |
D |
1, 18 |
М = | |
2, 19 |
М = | |
3, 20 |
М = | |
4, 21 |
М = | |
5, 22 |
М = | |
6, 23 |
М = | |
7, 24 |
М = | |
8, 25 |
М = | |
9, 26 |
М = | |
10, 27 |
М = | |
11, 28 |
М = | |
12, 29 |
М = | |
13, 30 |
М = | |
14, 16 |
М = | |
15, 17 |
М = |