2.2. Основные характеристики звеньев и систем

1

Рисунок 7. Структурная схема звена

. Передаточная функция. Она характеризует изменение сигнала при его прохождении через звено или систему (рис. 7). В теории автоматического управления передаточные функции устанавливают взаимосвязь между преобразованиями сигнала на входе и на выходе звена или системы (преобразование Лапласа). Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что упрощает решение ряда задач.

Преобразование Лапласа X(p) функции времени x(t):

,

Здесь p - переменная преобразования Лапласа (произвольная комплексная величина р=σ+jω, где σ и ω - вещественные переменные), а L - символ преобразования Лапласа.

Функция x(t) называется оригиналом, а X(p) - ее изображением.

При нулевых начальных условиях можно записать:

• входные переменные: ;;…,

• выходные переменные: ;;….

Применяя преобразование Лапласа к общему дифференциальному уравнению, описывающему звено, при нулевых начальных условиях, получаем:

Передаточной функцией звена (системы) W(p) называется отношение изображений Лапласа выходной величины к входной величине:

- при нулевых начальных условиях.

В общем случае передаточная функция звена имеет вид:

,

где M(p) и N(p) - полиномы степени m и n, которые имеют вид:

,

.

Если известны передаточные функции отдельных звеньев системы, то можно получить передаточную функцию всей системы в целом.

2. Переходная функция звена. Переходной функцией h(t) называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие (рис. 8), т.е. переходной процесс на выходе Y(t) при единичном импульсе на входе звена x(t) = 1(t). Следовательно:

Рисунок 8. Переходная функция звена

;

.

3. Весовая функция звена. Весовой функцией (импульсной переходной функцией) называется реакция звена (системы) на единичный импульс (рис. 9). Единичный импульс (импульсная функция) представляет собой производную от единичной ступенчатой функции , и соответствует импульсу бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, возникающему в момент времениt = 0, так что его площадь равна единице, т.е.:

Рисунок 9. Весовая функция звена

Учитывая это, получим: Y_δ(p) = W(p); y(t) = w(t), т.е. весовая функция представляет собой оригинал передаточной функции.

Частотные характеристики звена

Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.

Если на вход звена подается величина (рис. 10) x(t) = sinωt, то на выходе в установившемся режиме получается: y(t)= A(ω)∙sin(ωt+ φ), где A(ω) - амплитуда, φ(ω) - фаза.

Применяется символическая запись синусоидальных колебаний:

.

П

Рисунок 10. Частотные

характеристики звена

одставив эти величины в уравнение звена, получим:

,

откуда:

В результате находим:

; .

W(jω) = A(ω)∙e^jφ(ω) представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику звена (АФЧХ). Иногда W(jω) называют частотной передаточной функцией звена, которая является комплексной функцией от действительной переменной ω.

A(ω) называется соответственно амплитудно-частотной характеристикой звена (АЧХ), а φ(ω) - называется фазовой частотной характеристикой звена (ФЧХ).

Функцию W(jω) можно представить в виде:

,

где U(ω) и V(ω) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Г

Рисунок 11. АФЧХ звена

рафически АФЧХ (рис. 11) изображается на комплексной плоскости в полярных координатах A(ω), φ(ω) как годограф функции W(jω):

Длина вектора равна A(ω), а угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуплоскостью, равен φ(ω).

Кроме частотных характеристик используются логарифмические частотные характеристики - логарифмические амплитудно-частотные (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные (ЛФЧХ) характеристики.

ЛАЧХ - это график зависимости L() = 20∙lgA() от логарифма частоты lg. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат L().

ЛФЧХ - это график зависимости фазовой частотной функции φ(ω) от логарифма частоты lg. При его построении по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, по оси ординат откладывают φ(ω) в градусах или радианах.

З

Рисунок 12 - Оси координат ЛАХ

а единицу масштаба (рис. 12) по оси абсцисс принимается декада – частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз. В декаде содержится 3,32 октавы. Октавой называется частотный интервал, соответствующий удвоению частот, т.е. изменению частоты в 2 раза. Ось ординат при построении этих характеристик проводят через произвольную, удобную для рассматриваемой задачи точку, а не через точку  = 0, поскольку частоте  = 0 соответствует бесконечно удаленная точка.

Единицей L() является децибел (дБ), равный одной десятой Бела. Бел - это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. один Бел соответствует усилению мощности в 10 раз. Поскольку мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а lgA²=2∙lgA, то усиление в Белах, выраженное через отношение амплитуд, равно 2∙lgA. L() = 20 дБ означает, что на данной частоте при прохождении сигнала через звено его амплитуда увеличивается в 10 раз.