2. Математическое описание линейных сау
2.1. Уравнения звеньев системы
Целью рассмотрения системы автоматического управления является решение одной из двух задач: анализа или синтеза системы. При анализе системы требуется определить свойства системы с заданными значениями параметров, при синтезе - создать систему, удовлетворяющую заданным требованиям. В общем виде порядок исследования в обоих случаях включает в себя математическое описание системы, исследование ее установившихся и переходных режимов.
Математическое описание, т.е. получение математической модели, начинается с разбиения системы на звенья и описание этих звеньев. По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляют уравнения или определяют характеристики системы в целом, на основании которых ее исследуют.
Звеном называют часть системы, которая осуществляет преобразование входной величины в выходную. Звено обладает свойством однонаправленности, т.е. предыдущее звено воздействует на последующее. Разбиение системы на звенья может не совпадать с разбиением системы на функциональные элементы.
Звено - это условно выделенный направленного действия преобразователь сигналов, который может быть частью элемента или состоять из нескольких таких элементов.
Если разбить систему на звенья направленного действия, то математическое описание каждого звена может быть выполнено без учета его связей с другими звеньями системы. При этом математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений звеньев системы и уравнений связи между звеньями.
Уравнениями связи называют уравнения, отражающие характер передачи воздействий между звеньями системы.
После разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания звеньев составляют структурную схему. Структурной схемой САУ называется схема, показывающая, из каких звеньев состоит система и как эти звенья соединены между собой. На структурной схеме звенья изображаются прямоугольниками, а связи между звеньями и внешние воздействия – стрелками. Каждому звену структурной схемы соответствует описывающее его уравнение или характеристика. Получение структурной схемы является конечной целью математического описания.
Различают два вида характеристик звеньев: статические и динамические. Статическая характеристика звена представляет собой зависимость между входной Хвх и выходной Хвых величинами в установившемся режиме при разных постоянных значениях внешнего воздействия f (t)= f . В общем случае эта зависимость является нелинейной.
Если на находящееся в некотором состоянии звено (систему) влияет возмущающее воздействие, то звено начинает переходить в некоторое другое состояние. Характер процесса перехода звена (системы) из одного состояния в другое определяется динамической характеристикой звена (уравнением движения). Уравнение движения - это дифференциальное уравнение, определяющее изменение во времени выходной величины звена по заданному изменению во времени его выходной величины.
В теории автоматического управления общее дифференциальное уравнение звена (системы) принято записывать в следующем виде:
где
m
и n
- числа,
показывающие высший порядок производных
от входной величины
и выходной величины
;
;
;
;
;
……………………………………………
……………………………………………и т.д.
…………………………………………….
В большинстве случаев m n. Число n называется порядком дифференциального уравнения.
Если динамика звена описывается линейным дифференциальным уравнением, то это звено называется линейным, если дифференциальное уравнение нелинейное, то звено называют нелинейным.