V.Теорема Остроградского-Гаусса и ее применение.

Теорема позволяет найти поток вектора электростатической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды, частности Q.

1. Рассчитаем поток индукции N через поверхность сферы радиуса r1:

N = Q

2. Если рассчитывать N через сферу любого радиуса, то по аналогии можно получить тот же результат.

3. Если рассматривать поверхность S₂, то легко заметить, что результирующий поток через эту поверхность на основании знака N равен нулю.

Вывод: для точечного заряда полный поток индукции через любую замкнутую поверхность равен:

– заряды внутри сферы; – заряды вне сферы.

Если поток через замкнутую поверхность создается n зарядами, то на основании (7) имеем:

(8)

Теорема Гаусса-Остроградского

Поток вектора электростатической индукции через любую замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности зарядов.

СИ:

Теорема Гаусса позволяет просто рассчитывать электростатические поля при симметричных распределениях зарядов и окружающих их диэлектриков.

Рассмотрим примеры применения теоремы:

А.Равномерно заряженная плоскость.

Плоскость бесконечная, равномерно заряженная с поверхностной плотностью . Линии индукции  поверхности и по обе стороны.

В

N = 2DS

качестве замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр, тогда поток через боковую поверхность цилиндра равен 0 (= 90). Тогда полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков через основания:

(9)

Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, что поток равен полному заряду, заключенному внутри цилиндра:

N = σS (10)

Решая (9) и (10):

2Ds = σS

тогда:

Б. Поле между двумя плоскостями, равномерно с одинаковой плотностью заряженными разноименными зарядами (плоский конденсатор).

Тогда Вне пластин Dвн = 0

Вывод: Поле сосредоточено внутри конденсатора.

В. Поле, создаваемое заряженной сферической поверхностью.

Сферическая поверхность радиуса R с поверхностной плотностью σ+. Выделим мысленно поверхность радиуса r > R, тогда поток вектора электростатической индукции N равен: (D = Dn, т.к. силовые линии  поверхности). Согласно теореме Остроградского-Гаусса:

Согласно теореме Остроградского-Гаусса:

если r >> R: r = R :

r  R : E = 0 (т.к. зарядов внутри сферы радиуса r < R нет. Q =0 )

Г. Поле, создаваемое бесконечно длинной равномерно заряженной нитью.

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса r. Поток через боковую поверхность цилиндра: N = DS = D·2πrℓ Поток по теореме Остроградского-Гаусса: N = Q = τℓ