- •Введение
- •Глава I. Основы линейной алгебры
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители второго и третьего порядка. Обратная матрица
- •3. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Формулы Крамера
- •3.2 Матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений
- •4. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений
- •5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3. Линии второго порядка
- •4. Полярная система координат
- •5. Комплексные числа
- •Глава 3. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Задачи для контрольных работ
- •Контрольная работа № 3 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
2. Аналитическая геометрия на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
, где .
Вектор , перпендикулярный прямой, называетсянормальным вектором прямой на плоскости.
Уравнение вида , где,,, называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через данную точкус заданным угловым коэффициентом, имеет вид:
.
Угол между прямыми ,определяется следующим образом:
.
Задание 2. Даны уравнения двух высот треугольника и, и одна из вершин. Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
Решение. По условию задачи нам известны: ,CD: и BE: . Определим уравнение стороныAB. Высота CD перпендикулярна стороне AB, а потому их угловые коэффициенты иудовлетворяют условию:. Из уравнения прямойCD следует, что . Тогда.
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом:
.
Подставив в это уравнение координаты точки А и угловой коэффициент ,получим уравнение стороны АВ:
или
.
Аналогично можно получить и уравнение стороны АС. Действительно, в силу перпендикулярности ВЕ и АС имеем: . Из уравнения высоты ВЕ следует, что . Тогда. Следовательно, подставив в уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, координаты точкиА и угловой коэффициент , получим уравнение стороныАС:
или
.
Теперь составим уравнение стороны ВС. Для этого определим координаты вершин В и С треугольника АВС. Координаты точки В можно определить из условия пересечения прямых АВ и ВЕ:
.
Решение полученной системы и есть координаты вершины, а именно.
Таким же образом определяем координаты точки С:
и тогда С.
Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид :
,
где B, C.
Подставив координаты точек В и С в данное уравнение, получим уравнение стороны ВС:
или
.
Сделаем теперь чертеж:
3. Линии второго порядка
К линиям второго порядка относят окружность, эллипс, гиперболу и параболу.
Каноническое уравнение окружности имеет вид
,
где r- радиус окружности.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где .
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
,
где .
Каноническое уравнение параболы имеет вид
а) , где > 0 ( парабола симметрична относительно оси);
б) (парабола симметрична относительно оси).
Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки и прямой. Сделать чертеж.
Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, - основание перпендикуляра, опущенного из точкина прямуюy. Тогда точка имеет координаты. Расстояние от точкиМ до прямой есть расстояние между точкамиМ и N:
.
Теперь определим расстояние между точками М и :
.
По условию задачи . Следовательно, для любой точкисправедливо равенство:
или
.
Окончательно,
.
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке . Действительно, сделаем замену
.
Тогда уравнение примет вид:
(каноническое уравнение параболы ).
4. Полярная система координат
Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы:
некоторая точка 0, называемая полюсом;
некоторый луч, исходящий из точки 0 и называемый полярной осью.
Полярными координатами точки M называются два числа: полярный радиус иполярный угол - угол между полярной осью и вектором.
Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат, причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось - с положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты x, y точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:
,
,
Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, придавая φ значения от дочерез промежуток.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить тип линии.
Решение.
1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса с центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углыс полярной осью, гдепринимает значения отдос шагом. Вычислим косинусы этих углов и по этим значениям найдем. Результаты вычислений занесем в таблицу:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,92 |
0,7 |
0,38 |
0 |
-0,38 |
-0,7 |
-0,92 |
-1 |
-0,92 |
-0,7 |
-0,38 |
0 |
0,38 |
0,7 |
0,92 |
1 |
|
0,16 |
0,17 |
0,19 |
0,24 |
0,33 |
0,53 |
1,11 |
4,16 |
∞ |
4,16 |
1,11 |
0,53 |
0,33 |
0,24 |
0,19 |
0,17 |
0,16 |
Построим точки () и по полученным точкам построим искомую линию:
2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами:
.
Отсюда ,.
Тогда имеем:
или после упрощения
.
Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,
преобразуем его к каноническому виду:
или
.
Окончательно получим:
,
где ,. Таким образом, данное уравнение определяет параболу.