Прогнозирование материальных потоков
Задача. Рассчитать прогнозируемое значение материального потока на 6-й год при следующих исходных данных за условный пятилетний период (табл.2.1)
Таблица 2.1
Изменение материального потока по годам
|
Годы, t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Мат. поток N(t), тыс. т/год |
21,5 |
26,7 |
30,9 |
37,4 |
44,2 |
51,5 |
Методика и решение. Прогноз показателей функционирования логистической системы подразумевает оценку ожидаемых уровней спроса на продукцию, перевозки и т.д. в течение некоторого отрезка времени в будущем. В каждом конкретном случае оптимальный вариант прогнозирования выбирается на основании анализа состояния рынков сбыта, каналов распределения, методов планирования перевозок и т.д.
Для прогнозирования материальных потоков могут быть использованы следующие методы прогнозирования.
Метод наивного прогноза
В этом случае прогнозируемый материальный поток принимается равным материальному потоку на конец анализируемого периода. Если обозначить прогноз как N(t+1), то получим:
-
N(t+1)=N(t)
(2.1)
В нашем случае значение прогноза на N(t+1) год составит: N(6+1)=N(6)=51,5 тыс. т/год
Метод простой средней
Значение прогноза рассчитывается как среднее арифметическое материальных потоков за предшествующие периоды:
-
(2.2)
где n — число значений материальных потоков, принятых для расчета;
—материальный
поток за период ti.
Для исходных данных, приведенных в таблице 2.1, получим:
N(t+1)=35.367 тыс.т/год
Метод скользящей средней
Этот метод позволяет дать каждому значению материального потока оценку его веса.
Метод предполагает, что значение анализируемой величины в конце предшествующего периода имеют большее влияние на прогнозируемое значение и должны иметь больший вес, а сумма весов за прогнозируемый период должна быть равна единице. При таких условиях значение прогноза рассчитывается по методу скользящей средней по формуле:
-
(2.3)
где αi — оценка веса i-го значения материального потока.
Ограничение для αi имеет вид:
-
(2.4)
Для определения оценок веса αi можно использовать метод экспертных оценок. Предположим, что эксперты присвоили следующие оценки весов: α(1)=0,1, α(2)=0,1, α(3)=0,15, α(4)=0,25, α(5)=0,4, α(6)=0,5. Расчет значения прогноза выполнен по формуле (2.3) при ограничении (2.4):
N(6+1)=0,5·21,5+0,4·26,7+0,25·30,9+0,15·37,4+0,1·44,2+0,1·51,5=44,3 тыс. т/год
Метод регрессионного анализа
Метод заключается в нахождении такой математической функции, которая обеспечивала бы описание изменения значений материального потока за предшествующие периоды и вычисление по этой функции значение прогноза.
В общем виде уравнение искомой функции может быть записано следующим образом:
-
N(t)=F(t)±δ
(2.5)
где F(t) — значение функции в t-й год;
δ — погрешность, показывающая величину отклонения теоретических значений от экспериментальных.
Функция может иметь любой вид: полином, экспонента, логарифм и т.д. Выбор функции, наиболее точно описывающей заданные изменения материального потока осуществляется на основании минимизации значения погрешности δ, которое рассчитывается по формуле:
-
(2.6)
где N(t) — значение материального потока в t-й год (фактическое);
n — число наблюдений;
р — число параметров в уравнении тренда (число неизвестных).
Примем для анализа две функции: линейную и полином 2-го порядка:
-
f(t)=a+bt
(2.7)
f1(t)=a+bt+ct2
(2.8)
где а — начальный уровень тренда;
b — средний абсолютный прирост в единицу времени, константа линейного тренда;
с — квадратичный параметр равный половине ускорения, константа параболического тренда.
Значения коэффициентов a, b, c определены с помощью метода наименьших квадратов.
Продифференцируем каждое уравнение и составим систему нормальных уравнений:
для линейного тренда:
(2.9)
для параболического тренда:
-
(2.10)
Для упрощения
расчетов используем метод отсчета
времени от условного начала. Обозначим
в ряду изменения значений времени (t)
таким образом, чтобы
стала равна нулю.
Представим метод расчета и его результаты в виде таблицы (табл.2.2).
Таблица 2.2
Расчет параметров тренда
|
tiус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
-2 |
|
-4 |
-8 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
8 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
231,6 |
10 |
0 |
34 |
52,8 |
469,6 |
|
4,06 |
|
1,18 |
Перепишем уравнения
с учетом
и
:
для линейного тренда:
(2.11)
для параболического тренда:
-
(2.12)
Отсюда:
для линейного тренда:
(2.13)
(2.14)
для параболического тренда:
-
(2.15)
Значения а и с для параболического тренда найдем, решив систему методом определителей:
-
(2.16)
с
(2.17)
Подставив численные значения, определенные по табл.2.2, в уравнения (2.13)-(2.17), получим:
Для линейного тренда
а=231,6/5=46,32
в=52,8/10=5,28
для параболического тренда
в=52,8/10=5,28
а=(231,6*34-469,6*10)/(5*34-10*10)=45,4
с= (469,6*5-231,6*10)(5*34-10*10)=0,46
Подставим полученные значения параметров а, в и с в уравнения (2.7) и (2.8):
f(ti)= 46,32+5,28t
f1(ti)=45.4+5.28t+0.46t2.
Теперь рассчитаем значения функций при ti=[-2;2]:
При t = –2
f(t-2)=46,32+5,28·(-2)=35,8
f1(t-2)=45,4+5,28·(-2)+0,46·4=33,7
При t = –1
f(t-1)=46,32+5,28·(-1)=41,0
f1(t-1)=45,4+5,28·(-1)+0,46·1=40,6
и так далее.
Рассчитанные значения f(ti) и f1(ti) и суммы квадратов разностей теоретических и практических значений приведены в столбцах 8-11 табл.2.2.
Рассчитаем погрешности по формуле (2.6):
Для линейного тренда
Для параболического тренда
1,09
Так как 1,09<1,44, параболический тренд является боле предпочтительной функцией, т.е. F(t)=f1(t). В этом случае прогноз искомого параметра целесообразно определять по формуле параболического тренда, т.е.
F(3)= 45,4+5,28·3+0,46·9=65,4 тыс. т/год
Графики N(t) и F(t) приведены на рисунке 2.1.
Графики функций N(t) и F(t).
Рис.2.1.
Варианты исходных данных для выполнения индивидуальных заданий приведены в прил.2