6. Статистическое определение вероятности

Классическое определение не требует проведения опыта. В то время как реальные прикладные задачи имеют бесконечное число исходов, и классическое определение в этом случае не может дать ответа. Поэтому в таких задачах будем использовать статическое определение вероятностей, которое подсчитывают после проведения эксперимента или опыта.

Статической вероятностью P(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.

7. Аксиоматика теории вероятностей

Классическое определение вероятности случайного события предполагает конечное число всех исходов испытания. Но часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно. В этом случае, если позволяют обстоятельства, используют понятие геометрической вероятности.

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области исходов Ω

(если представить двумерный график, то мера А – какая-нибудь фигура (типа там произойдет событие), а мера Ω - весь график вообще.

Пусть каждому событию A ставится в соответствие некоторое число P(A), которое удовлетворяет общепринятой системе аксиом Колмогорова:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

0 <= P(A) <= 1

P(Ω) = 1

2. Если A и B независимые события (A * B = Ø), то P(A+B) = P(A)+P(B).

3. Если имеется счетное множество несовместных событий A₁, A₂,..., A_n, ...(A_i* A_j = Ø при i ≠ j), то 

8. Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

9. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

10. Формула Байеса

формула Байеса позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных).

P(A/H_k), P(H_k) – априорные(доопытные) вероятности

- вероятность справедливости самой гипотезы (послеопытная, апостериорная) вероятность

11. Независимые испытания, схема Бернулли

Биномиальная схема – схема независимых испытаний (биномиальные вероятности)

Она же – схема Бернулли (когда многократно повторяется один и тот же опыт с одними и теме же вероятностями).

12. Случайные величины и их распределения

Случайная величина – измеримая функция, которая принимает свое значение с некоторыми вероятностями.

Чтобы узнать все о случайное величине, надо знать EX, DX и функцию распределения или функцию плотности

Дискретные случайные величины – задаются значениями и вероятностями.

1. биномиальная случайная величина – появляется в схеме независимых испытаний Бернулли – в каждом опыте либо успех либо неудача

0

1

…

n

C вероятностью:

EX = np

DX = npq

0 < p < 1

q = 1 – p

2. Геометрическая случайная величина (стреляем по мишени)

1	2	3	k	∞
p	qp	q2p	qk-1p	…

EX =

DX =

3. Распределение Пуассона (редких событий)

0

1

…

n

с вероятностью:

EX = λ

DX = λ

НЕПРЕРЫВНЫЕ случайные величины (распределения)