1. Различные подходы к определению вероятности

Три подхода к определению вероятностей

1. статистический, сюда же закон больших чисел. Можем многократно повторить в одних и тех же условиях.

n₀ – количество орлов/решек

n – количество бросков монеты

0 <= P(A) <= 1

P(A) = 0 – событие невозможно

P(A) = 1 – достоверное событие

2. классический подход. Связан с реализацией конечного числа равновероятных исходов.

a – число благоприятных исходов

b – число общее исходов

3. аксиоматический подход (предложен Колмогоровым в 1933). Вероятности задаются перечислением их свойств.

в пример задачку:

36 карт. 4 игрока по 9 карт. найти вероятность, что у каждого будет по одному тузу.

2. Свойства вероятностей

P(A) – вероятность события А

Ω - универсальное множество, которому все другие множества принадлежат.

P(Ø) = 0

P(Ω) = 1

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) – формула включений выключений (зд. формула сложений вероятностей)

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – Только если AB = Ø (тоже кстати Колмогоров предложил)

если А и В независимы друг от друга:

Р(АВ) = Р(А) * Р(В) – формула перемножения вероятностей

P(A) = P(^A/_B)*P(B)

P(^A/_B) – вероятность события А при условии В

P(AB) = P(^A/_B)*P(B) = P(A) – если события независимы

P(AB) = P(A)*P(B)

A Ā - происходит, когда не происходит А

А ∩ Ā = Ø

P(^A/_Ā) = 0

3. Классическое определение вероятности

классический подход. Связан с реализацией конечного числа равновероятных исходов.

a – число благоприятных исходов

b – число общее исходов

4. Комбинаторно-вероятностные схемы

Комбинаторика – раздел математики, изучающей вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Каждая из задач на использование комбинаторных формул определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе на удачу m элементов из n элементов. Существует две схемы выбора элементов:

1. Схема без возвращения выбранного элемента.

2. Схема с возвращением выбранного элемента.

Схема выбора с возвращениями. Определение. Если при выборке m элементов из n элементов сами элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то такое размещение называется размещением с повторениями. Определяются и обозначаются следующим образом:  

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком, количеством повторений элементов. Определение. Если при выборке m элементов из n элементов элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями. Определяются и обозначаются следующим образом:   Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов. При этом первый элемент повторяется , второй  – раз и так далее, причем Определение. Перестановки из n элементов данного множества называется перестановками с повторением.   - вот эта хрень – полиномиальный коэффициент

5. Биномиальная и полиномиальная схемы

Биномиальная схема – схема независимых испытаний (биномиальные вероятности)

Она же – схема Бернулли (когда многократно повторяется один и тот же опыт с одними и теме же вероятностями).