- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
1.6 Интегрирование рациональных функций
Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют элементарные функции.
Определение. Функция
,
где – заданные числа (коэффициенты), называетсямногочленом или полиномом или целой рациональной функцией степени n.
Отношение двух многочленов
называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь будет правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе , инеправильной в противном случае .
Рассмотрим, как вычисляются интегралы от рациональных дробей.
Если дробь
неправильная, то следует разделить (как обычно, столбиком) числитель на знаменатель. Частное и остатокбудут многочленами, причем степень остаткаменьше степени делителя:
.
Пример
; .
Дробь – правильная, а интегралот многочленалегко берется методом непосредственного интегрирования.
Таким образом, интегрирование неправильной дроби свелось по сути к интегрированию правильной дроби:
.
Поэтому достаточно научиться интегрировать правильные дроби.
Известно (см., например, ч.1, раздел 5.3), что многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные и квадратичные действительные множители:
где – старший коэффициент многочлена. Каждый линейный множитель соответствует действительному корнюкратности, а каждый квадратичный множительсоответствует паре комплексно-сопряженных корнейкратности, причем.
В высшей алгебре доказывается, что всякая правильная дробь может быть единственным образом разложена на сумму так называемых простейших дробей:
,
где – некоторые действительные числа – коэффициенты разложения. Для их определения умножим обе части разложения на и приравняем коэффициенты, стоящие при равных степенях, у многочлена, который получится в правой части разложения и многочлена. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой и найдем неизвестные коэффициенты разложения. Такой метод отыскания коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби называетсяметодом неопределенных коэффициентов.
Пример. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби.
Так как , то разложение имеет вид
.
Умножая обе части равенства на , получаем
или
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения:
.
Решение системы , поэтому искомое разложение имеет вид:
.
Замечание. Систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения можно также получить, придавая последовательно столько различных произвольных значений, сколько имеется неизвестных коэффициентов (в данном примере – три):
,
.
Из изложенного следует, что задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к нахождению интегралов от простейших дробей следующих четырех типов:
I) ;II) ;
III) ; IV) .
Дроби I и II типов элементарно интегрируются при помощи подстановки :
I) .
II) .
Для вычисления интеграла от дроби III типа представим квадратный трехчлен в виде
.
Учитывая, что , введем в рассмотрение действительную постоянную. Сделав подстановку, будем иметь:
=
= =
==
= .
Пример
Остается вычислить интеграл от дроби IV типа.
Используя введенные выше обозначения , будем иметь:
Введем обозначения:
Интересующий нас интеграл будет найден, если будут найдены интегралы I и Jk :
.
Интеграл I берется элементарно:
Для вычисления интеграла Jk установим для него рекуррентную (возвратную) формулу, сводящую вопрос о вычислении Jk к вычислению Jk-1 .
Можно записать (при ):
Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям:
Находим
.
Из последнего равенства получаем рекуррентную формулу
,
по которой интеграл можно выразить через интеграл, затем, в свою очередь, выразить черези т.д. Процесс вычисленияпродолжаем до тех пор, пока не дойдем до
Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дробей. Установлено, что интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа простейших дробей, интегралы от которых выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами, любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.