- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
8.2 Поверхностный интеграл второго рода
Пусть векторная функция
определена и непрерывна на некоторой поверхности в пространстве
Разобьем поверхность произвольным образом наn частей сплощадями (рис. 8.3). В каждой частичной областивыберем произвольную точку и составим сумму
,
где ,– единичная нормаль к поверхностив точке.
Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции в области (на поверхности).
Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей:
.
Рис. 8.3. Разбиение поверхности на частичные области в случае
поверхностного интеграла второго рода
Определение. Поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхностиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхностина частичные области, ни от выбора в каждой из них точки:
или в другой записи:
,
где векторный элемент поверхности
и скалярное произведение
.
Функция
называется интегрируемой по поверхности , сама–поверхностью интегрирования.
Теорема 8.2 (существования поверхностного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности, интегрируема по этой поверхности.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам поверхностного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:
При изменении стороны поверхности интегрирования интеграл изменяет знак (так как переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположное):
,
где и– стороны поверхности интегрирования.
Простейший физический смысл поверхностного интеграла второго рода – количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность с установившейся скоростью.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов следующим способом.
Если – выражения, полученные из уравнения поверхностиразрешением относительно соответствующих координат;– проекции поверхностисоответственно на плоскости ,,;– единичная нормаль к поверхности в точке (рис. 8.3), то
,
где знаки у двойных интегралов соответствуют знакам направляющих косинусов нормалик поверхности.
Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где – верхняя сторона плоскости, отсеченная плоскостямии лежащая в первом октанте (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Пример вычисления поверхностного интеграла второго рода
Обозначим через – проекции поверхностина плоскости ,,соответственно. Как видно из рис. 8.4, направляющие косинусы нормали к поверхности, а, так как плоскостьпараллельна осиOy. Следовательно, по формуле вычисления поверхностного интеграла второго рода получим:
.
8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
Используя выражение для скалярного произведения двух векторов
,
через их координаты
,
получим формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода через поверхностный интеграл первого рода и устанавливающую связь между этими интегралами:
.