- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
1.4 Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов, которая непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием первообразных. Интегралы, содержащиеся в этой (или подобной ей) таблице, принято называть табличными.
Таблица интегралов в силу инвариантности формы дифференциала функции оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменнойили любой её дифференцируемой функцией ().
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций.
Например, доказано, что следующие интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями:
– интеграл Пуассона;
– интегральный логарифм;
– интегралы Френеля.
1.5 Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием или методом разложения.
Пример
.
2. Метод подстановки (замены переменной). Метод, позволяющий с помощью введения новой переменной интегрирования свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, называется методом подстановки или методом замены переменной.
Метод основан на следующей теореме.
Теорема 1.3. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множествеT и пусть X – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множествеX функция имеет первообразную, то на множествеT справедлива формула замены переменной в неопределенном интеграле:
.
Доказательство. Пусть – первообразная для на множествеX. Рассмотрим на множестве T сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции, учитывая, что, получаем
,
т.е. функция имеет на множествеT первообразную и, следовательно,
.
Но
,
поэтому
.
Пример
.
Иногда формулу замены переменной полезно применять справа налево:
.
Пример
.
3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 1.4. Пусть функции иопределены и дифференцируемы на некотором промежуткеX и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежуткеX функция также имеет первообразную и справедливаформула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
.
Доказательство. Из равенства
получаем
.
Первообразной функции на промежуткеX является функция . Функцияимеет первообразную наX по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на промежуткеX. Интегрируя последнее равенство, получаем формулу интегрирования по частям.
Замечание. Так как , то формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле можно записать в виде
.
Пример
.
Замечание. Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.
Пример