- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
8.4 Формула Остроградского
Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Формула Остроградского является аналогом формулы Грина, которая, как известно, связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой.
Определение. Замкнутая пространственная область называется правильной, если ее граница пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.
Теорема 8.3 (без доказательства). Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в правильной области, ограниченной поверхностью, то имеет местоформула Остроградского:
,
причем поверхностный интеграл второго рода берется по внешней стороне поверхности , т.е. единичный вектор нормалик этой поверхности направлен вне области.
Замечание. Формула Остроградского остается справедливой для всякой замкнутой области , которую можно разбить на конечное число правильных областей.
8.5 Формула Стокса
Формула Стокса является обобщением формулы Грина и устанавливает связь между криволинейным интегралом второго рода по замкнутой кривой L и поверхностным интегралом первого рода по поверхности , ограниченной этой кривой.
Теорема 8.4 (без доказательства). Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на поверхностис границейL, то имеет место формула Стокса:
,
где – направляющие косинусынормали к поверхности ,причем направления нормали и обхода контура L подчиняются правилу правого винта (рис. 8.5).
Замечание. В частности, если поверхность – область плоскости Oxy, ограниченная контуром L, то интегралы по иобращаются в нуль, и формула Стокса переходит в формулу Грина.
Рис. 8.5. Поверхность с границейL в формуле Стокса
9 Практические задания
9.1 Неопределенные интегралы
Задание 1. Найти интегралы методами непосредственного интегрирования и замены переменной
Вариант 1
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 2
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 3
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 4
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 5
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 6
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 7
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 8
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 9
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 10
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 11
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 12
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 13
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 14
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 15
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 16
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 17
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 18
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 19
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 20
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 21
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 22
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 23
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 24
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 25
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 26
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 27
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 28
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 29
1) |
2) |
3) |
4. |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Вариант 30
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
Задание 2. Найти интегралы методом интегрирования по частям
Вариант 1
1) |
2) |
3) |
Вариант 2
1) |
2) |
3) |
Вариант 3
1) |
2) |
3) |
Вариант 4
1) |
2) |
3) |
Вариант 5
1) |
2) |
3) |
Вариант 6
1) |
2) |
3) |
Вариант 7
1) |
2) |
3) |
Вариант 8
1) |
2) |
3) |
Вариант 9
1) |
2) |
3) |
Вариант 10
1) |
2) |
3) |
Вариант 11
1) |
2) |
3) |
Вариант 12
1) |
2) |
3) |
Вариант 13
1) |
2) |
3) |
Вариант 14
1) |
2) |
3) |
Вариант 15
1) |
2) |
3) |
Вариант 16
1) |
2) |
3) |
Вариант 17
1) |
2) |
3) |
Вариант 18
1) |
2) |
3) |
Вариант 19
1) |
2) |
3) |
Вариант 20
1) |
2) |
3) |
Вариант 21
1) |
2) |
3) |
Вариант 22
1) |
2) |
3) |
Вариант 23
1) |
2) |
3) |
Вариант 24
1) |
2) |
3) |
Вариант 25
1) |
2) |
3) |
Вариант 26
1) |
2) |
3) |
Вариант 27
1) |
2) |
3) |
Вариант 28
1) |
2) |
3) |
Вариант 29
1) |
2) |
3) |
Вариант 30
1) |
2) |
3) |
Задание 3. Найти интегралы от рациональных дробей
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
| ||
1) |
1) |
1) |
| ||
2) |
2) |
2) |
| ||
3) |
3) |
3) |
| ||
4) |
4) |
4) |
| ||
5) |
5) |
5) |
| ||
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 | |||
1) |
1) |
1) | |||
2) |
2) |
2) | |||
3) |
3) |
3) | |||
4) |
4) |
4) | |||
5) |
5) |
5) |
Задание 4. Найти интегралы от иррациональных функций
Вариант 1
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 2
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 3
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 4
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 5
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 6
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 7
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 8
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 9
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 10
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 11
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 12
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 13
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 14
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 15
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 16
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 17
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 18
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 19
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 20
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 21
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 22
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 23
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 24
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 25
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 26
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 27
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 28
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 29
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 30
1) |
2) |
3) |
4) |
Задание 5. Найти интегралы от тригонометрических функций
Вариант 1
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 2
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 3
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 4
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 5
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 6
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 7
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 8
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 9
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 10
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 11
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 12
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 13
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 14
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 15
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 16
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 17
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 18
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 19
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 20
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 21
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 22
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 23
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 24
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 25
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 26
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 27
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 28
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 29
1) |
2) |
3) |
4) |
Вариант 30
1) |
2) |
3) |
4) |
Задание 6. Найти неопределенные интегралы, используя различные методы интегрирования
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
6) |
6) |
6) |
7) |
7) |
7) |
8) |
8) |
8) |
9) |
9) |
9) |
10) |
10) |
10) |
Задание 7. Вычислить определенные интегралы, используя различные методы интегрирования
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
5) |
5) |
5) |
Задание 8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
1) |
1) |
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
4) |
4) |
4) |
Задание 9. Вычислить двойные интегралы
Номер варианта |
Двойной интеграл |
Область интегрирования G |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 | ||
21 | ||
22 | ||
23 | ||
24 | ||
25 | ||
26 | ||
27 | ||
28 | ||
29 | ||
30 |
Задание 10. Вычислить тройные интегралы
Номер варианта |
Тройной интеграл |
Область интегрирования V |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 | ||
21 | ||
22 | ||
23 | ||
24 | ||
25 | ||
26 | ||
27 | ||
28 | ||
29 | ||
30 |