Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS5_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

a = a1 ×a2 =

−2

−1

= −13

−8

= (−13;2;−8) .

−5

Теперь, зная направляющий вектор прямой a и точку M , через которую проходит эта прямая, получаем канонические уравнения искомой прямой:

x +7

z −9

−13

−8

Задача 102. Найти угол между прямой

x = 9 +t,

−2t,

y =5

z = −1 −t

и плоскостью 4x − 2 y + 2z + 7 = 0 .

Решение. Запишем уравнения данной прямойВ

в каноническом виде

−9

y −

к=

z +1

−ти2

−1

Используя формулу (67)

при

A =

= −2,

C = 2,

l =1,

m = −2, n = −1,

= 6

= 1 .

получим

sinϕ = 4 1 + (−м2) (−.2)org+ 2 (−1)

те

matem

1 +

Отсюда ϕ =

Задача 103. При каком значении m прямая

x = 2 −7t,

= −3 +mt,

= 4 −15t

параллельна плоскости 6x −9 y +5z −11 = 0 ?

Решение. Используя условие параллельности прямой и плоскости (68),

где A = 6, B = −9,

C =5,

l = −7,

n = −15 , получим

−7 6 + m(−9) −15 5 = 0

или

9m +117 = 0 .

Откуда m = −13 .

Задача 104. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (−4,3, −8) и перпендикулярной прямой

x −2 5 = −y5 = z 7+1 .

Решение. За нормальный вектор N искомой плоскости можно принять параллельный ему направляющий вектор a = (2;−5;7) данной прямой.

Используя

уравнение

плоскости

(50),

проходящей через данную

точку

, получим

M (−4,3, −8) перпендикулярно вектору N

2(x + 4) −5( y −3) + 7(z +8) = 0

или

2x −5 y + 7z + 79 = 0 .

Задача 105. Найти точку пересечения A

прямой

x +1

y −2

−1

с плоскостью 3x − 2Гy + z −3 = 0 .

−1

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде (60):

ти

2t,

x = −1

y = 2 +t,

теz =1

−t.

org

Подставляя полученные значения

в уравнение плоскости, получим

y, z

3(−1 + 2t) − 2(2 +t) +(1 −t) −3 =

0 , откуда t =3 . Подставляя значение параметра t

в параметрические уравнения прямойmatem, находим координаты точки пересечения:

=5, y =5, z = −2 .

Итак

A(5;5;−2) .

Задача 106. Привести к каноническому виду уравнения прямой

x + y − z +2 = 0,

2x − y −3z −17 = 0.

Решение. Вид канонического уравнения прямой в пространстве (59)

подсказывает, что для

этого,

во-первых,

надо найти какую-либо

точку

M0 (x0 , y0 , z0 ) . Положим z0 = 0 , тогда из системы

+ y

2 = 0,

2x0 − y0 −17 = 0

находим x0 =5, y0 = −7 . Значит M0 (5, −7,0) .

Во-вторых, требуется найти направляющий вектор прямой a = (l;m;n) .

Так как прямая принадлежит обеим плоскостям с нормальными векторами n1 = (1;1;−1) и n2 = (2;−1;−3) , то прямая l перпендикулярна к каждому из них.

Значит, в качестве направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение известных нормальных векторов:

a = n1 ×n2 =

1 −1

= −4

−3

-1

−3

т.е. a = (−4;1;−3) .

Искомые канонические уравнения прямой принимают вид

x −5

y + 7

−4

−3

A(5;−1;1) относительно

Задача 107. Найти точку, симметричную точке

плоскости 2x − y + z = 0 .

Решение. Найдем сначала проекцию

, z0 )

точки

A на заданную

P(x0 , y0

ти

плоскость. Так как вектор AP перпендикулярен к плоскости, то он коллинеарен

нормальному

вектору

N = (2;−1;1) .

плоскости,

т.е.

AP = (x0 −5; y0 +

1; z0 −1) .

Итак,

AP = λN

x0 −5 = 2λ; y0 +1 = −λ; z0 −1 = λ. Отсюда

потому

matem

x = 2λ +5; y = −λ −1; z

= λ +

Так

как

точка

, z0 )

лежит

на

заданной

плоскости, то

аP0

(x0 , y0

2x0 − y0 + z0 = 0 .

Потому

2(2λ +5) −(−λ −1) + (λ +1) = 0 или λ = −2 .

Тогда

x0 = 2(−2) +5 =1; y0 = −(−2) −1 =1; z0 = −2 +1 = −1.

Точка P(1;1;−1) .

Пусть искомая точка B имеет координаты (x1; y1; z1) . Так как точка P – середина отрезка AB ,

то 1 = x1 2+5 ;1 = y12−1;−1 = z12+1 .

Отсюда x1 = −3; y1 =3; z1 = −3 , т.е. искомая точка B(−3;3;−3) .

Задача 108. Найти угол между прямыми

x −1

y −2

z −3

или

x −1

y −1

z − 2

−2

−1

−3

Решение. Угол между прямыми определяется по формуле (62), где

l1 = 2, m1 = 2, n1 = −1, l2 = −2, m2 = 6, n2 = −3 ;

cosϕ =

2 (−2) + 2 6 + (−1) (−3)

11 .

22 + 22 + (−1)2

(−2)2 + 62 + (−3)2

Отсюда

ϕ = arccos

≈1,019 рад. ≈58D,41.

Задача 109. Параллельны ли прямые

x −2

y −3

z −5

x −2

y −1

или

z −6

−4

0,5

−2

1к

ти

те

двух прямых по формуле

Решение. Проверим условие параллельностим .ua

(63), где l =1, m = 2, n = −4, l

org

n = −2 ,

0,5,

=1,

0,5

−matem2

−4

ш=

= 2 .

Условия выполняются, следовательно, прямые параллельны.

Задача 110. Перпендикулярны ли прямые

x −2

y +1

z − 2

или

x −1

y +1

z −1

−4

−3

Решение. Проверим условие перпендикулярности двух прямых по

формуле (64), где l1 = −4, m1 = −3,

n1 =1,

l2 =1,

m2 =1, n2 = 7 ,

−4 1 +(−3) 1 +1 7 = 0 0 ≡ 0 .

Условия перпендикулярности прямых выполняется, поэтому прямые перпендикулярны.

Задача 111. Через точку A(1;2;3) провести прямую параллельно прямой

x − y + z +1 = 0,x + 2 y − z + 2 = 0.

Решение. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.

Векторы

1 = (1;−1;1)

N2 = (1;2;−1)

соответственно

перпендикулярны

заданным плоскостям.

Направляющий вектор прямой

a =N

1 ×N2 =

1 -1 1

[(−1) (−1) −2 1]−

[1 (−1) −1 1]+k [1 2 −1 (−1)]=

−1

=−

=(−1;2;3).

Составляем уравнение искомой прямой по точке УA и направляющему

вектору a (59):

x −1

y −2

z −

−1

ти

те

5. ПОВЕРХНОСТИ

5.1. Цилиндрические.orgповерхности

Цилиндрической

поверхность, описываемую

прямой-

называют

заданной

образующей, которая перемещаетсяmatemпараллельно самой себе по

кривой-направляющей.

Важными являютсяр случаи, когда направляющая лежит в координатной

плоскости, а образующиее

перпендикулярны этой плоскости. В этих случаях

описываются уравнениями

направляющих, а

цилиндрические аповерхности

образующие параллельны той оси координат, вдоль которой изменяется

переменная, не вошедшая в уравнение.

Например,

уравнение

−

есть уравнение

цилиндрической

поверхности, направляющей которой является гипербола, а образующие параллельны оси Oy . Эта поверхность называется гиперболическим цилиндром

(рис. 42).

5.2. Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением плоской кривой вокруг прямой, расположенной в ее плоскости.

Укажем правило составления уравнения поверхности вращения: чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси

координат кривой, лежащей в координатной плоскости, нужно в уравнении кривой переменную, отвечающую оси вращения, оставить без изменения, а другую переменную заменить на корень квадратный из суммы квадратов второй и третьей координат, не вошедших в уравнение кривой.

Задача 112. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса

y2 + z2 b2 c2

x = 0

=1 вокруг оси Oz .

Решение. Заменяя в уравнении эллипса

на

x2 + y2 и оставляя z

неизменным, получим

(

+ y2

)

"Н2

или

З+

=1 .

Поверхность,

называется эллипсоидом

определенная этим уравнением,

вращения.

ти

Задача 113.

Найти

уравнение

поверхностиа

образованной вращением

.ua

параболы

те

= 2 py

.org

matem

вокруг оси Oy .

z = 0

Решение. Заменяя

на

+ z

и оставляя

неизменным, получим

следующее уравнение параболоида вращения

+ z

= 2 py .

Задача 114. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы

x	2		z	2
x		−	z		=1	вокруг оси Ox .
a2		−	c2		=1
a2			c2
y = 0
y = 0

Решение. Заменим в уравнении гиперболы z на z2 + y2 , оставляя x неизменным.

Получаем уравнение

x2	−	(	z2 + y2 )2	=1	или −	x2	+	z2	+	y2	= −1.
a2			c2			a2		c2		c2

Это уравнения двуполостного гиперболоида вращения с осью симметрии

Ox .

5.3. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей

Поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно

текущих координат

+ By

+Cz

= 0 ,

+ Dxy + Eyz + Fxz + Mx + Ny + Pz +Q

где коэффициенты

A, B,C

одновременно

называется

неУравны нулю,

поверхностью второго порядка.

При

соответствующем

выборе

координат

уравнения

системык

поверхности второго порядка можно привестити

к одному из следующих видов,

называемых каноническими уравнениямимповерхности второго порядка:

те

эллипсоид.org

=1 – трехосныйм

с полуосями a,b,c (рис. 34),

matem+ y + z

= R .

при a =b = c = R

имеем уравнение сферы радиуса R (рис. 35):

Рис. 34

Рис. 35

Если полуоси a,b,c попарно равны между собой, то получим уравнения эллипсоидов вращения;

2)x2 + y2 − z2 =1 – однополостный a2 b2 c2

гиперболоид

с осью

симметрии

(рис. 36), при

a =b

имеем

уравнение

однополостного гиперболоида вращения

Рис. 36

−

=1;

−

= −1 – двуполостный

c2 "

гиперболоид

симметрии

осьюГ

(рис. 37),

при

имеем

уравнение

двуполостного гиперболоида вращения:

xк y

ти2

−

= −1;

те

org

Рис. 37

(рис. 38),

matemпорядка с осью симметрии Oz

−

= 0

– конус второго

при

a =b

имеем

уравнение

прямого

кругового конуса:

−

= 0 ;

= 2z

( pq > 0)

–

эллиптический параболоид (рис. 39), при

p = q имеем параболоид вращения:

Рис. 38

x2 + y2 = 2 pz ;

−

= 2z

( pq > 0)

–

гиперболический параболоид (рис. 40);

–

эллиптический

a =b

имеем

цилиндр (рис. 41), при

уравнение прямого кругового цилиндра;

−

–

гиперболический

Рис. 39

цилиндр (рис. 42);

y2 = 2 px

–

параболический

цилиндр (рис. 43).

Дальнейшее

исследование

уравнения

целью

поверхности

установления

формы

(вида)

ее

производится

сечений,

суть

методом

в том, что поверхность

которого состоитУ

пересекаетсяГ

координатными плоскостями

или

иплоскостями,

параллельными

координатным. В результате чего по виду

Рис. 40

уравнений линий и по их параметрам

устеанавливается форма поверхности.

org

matem

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Задача 115. Определить вид поверхности

x2 + z2 − y2 =1. a2 a2 b2

Решение. Исследуем поверхность, применяя метод сечений. Положим в уравнении x = 0 ( x = 0 – уравнение плоскости yOz ). Тогда в плоскости yOz

имеем линию, определяемую уравнением

−

=1.

Это каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью a ,

мнимой полуосью b и центром в начале координат.

Положив в уравнении z = 0 ( z = 0 – уравнение плоскости xOy ), получим:

−

– каноническое уравнение гиперболы с теми же полуосями и

центром в начале координат.

При y = 0 (

y = 0 – уравнение плоскости xOzУ) получаем уравнение

= 0 или

иx

+ z

= a

ти

Это каноническое уравнение окружностиа

с центром в начале координат и

радиусом, равным a .

те

org

Если

пересечь поверхность

y = h

(| h |< ∞) , то в сечении

плоскостью.

matem b

1 +

. Из

этой формулы видно, что с

получим окружность радиуса

возрастанием | h |

радиус

a увеличивается.

форма

поверхности

– это однополостный

результате определитсяд

Oy .

гиперболоид вращения с осью симметрии

Задача 116. Определить вид поверхности 2x2 +3y2 −6z2 −54 = 0 .

Решение. Перенесем свободный член вправо и разделим на него все

члены уравнения. В результате получим

−

или

−

=1.

Получим уравнение однополостного гиперболоида с полуосями a =3 3 ,

b =3 2,

c =3 (рис. 36).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.2016924.3 Кб238Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб2Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx
#
06.06.2015755.71 Кб33ch5 в работе.doc