Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS5_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

=1.

Выполним

построение

эллипса. В системе координат

OXY

строим

точки

A1(5;0), A2(−5;0), B1(0;3), B2(0;−3)

– вершины эллипса. Затем через

эти точки проводим прямые,

параллельные осям OX и OY . В

результате

их

пересечения

получим

основной

прямо-

Рис. 20

угольник

эллипса,

внутри

которого

помощью

лекала

вычерчиваем эллипс так, чтобы он касался сторон прямоугольника"

в точках

A1, A2 , B1, B2 (рис. 20).

Заметим,

что эллипс

можно

2a =10

начертить, если нить длиною

закрепить

в точках

(4;0)

(−4;0) ,

т.е. в

фокусах эллипса, а острие

карандаша, оттягивающее эту нить (точка

не изменяя

M (Гx, y) ), перемещать,

карандаша по бумаге. Этим

натяжения по всей длине, на протяжении движенияк

ти

сначала по одну сторону от

способом эллипс вычерчивается в два приема:

прямой F F

, а затем по другую.

м .

те

org

+9 y

=180

определить его оси,

Задача 40. По уравнению эллипса 5x

эксцентриситет и уравнения директрисmatem.

Решение. Приве ем данное уравнение к виду

1а.

Для этого разделим обе части данного уравнения на 180, выполняя в

левой его части почленное деление:

5x2

9 y2

или

=1.

180

Отсюда

a = 36 = 6,b = 20 = 2 5 .

Находим эксцентриситет:

ε =

a2 −b2

36 −20

Большая ось эллипса будет 2a =12 , а малая – 2b = 4

5 .

Уравнения директрис:

6 3

x = ±

= ±

= ±9,

x = ±9 .

Задача 41. Написать каноническое уравнение эллипса, если a = 5, c = 4 .

Решение.

Находим

b2 = a2 −c2 = 25 −16 = 9

и,

подставляя

значения

a2 = 25 и

b2 = 9 в

каноническое

уравнение

эллипса, получаем

искомое

уравнение

=1.

Задача 42. Написать каноническое уравнение эллипса, если c = 3 и ε =

Решение. Поскольку ε =

, то имеемтисоотношение

cте

org

matem

Откуда a =

c =

3 =

находим

2 ы 2

−c

= 25 −9 =16

и,

используя

каноническое

bв= a

искомое уравнение

уравнение эллипса, составляемр

=1.

Задача 43. Написать каноническое уравнение

эллипса,

если

b = 5 и

ε =

Решение.

Из

соотношения

находим

a =

c =

a2 −b2 .

Подставляя заданное значение b = 5, получим уравнение

a =

−25

или

144

= a

−25.

169

Откуда a2 =169 и искомое уравнение эллипса будет

=1.

169

Задача 44. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего

через точку M1(2; −3) и имеющего большую полуось a = 4 .

Решение. Каноническое уравнение эллипса при a = 4

имеет следующий

вид:

Этому уравнению должны удовлетворять координаты точки M1(2; −3) .

Следовательно,

(−3)2

=1 b2

=12 .

Подставляя найденное значение

=12

получим искомое

в уравнение,

уравнение эллипса

ти

, если c = 2 и расстояние между

Задача 45. Написать уравнение эллипсаа

.ua

директрисами равно 5.

те

org

matem

Решение. Так как x = ±

,еа расстояние между директрисами 2

= 5 или,

что тоже, x = ±

, то имеемвсоотношение

р2

дa

Откуда a

c =

2 = 5 .

Используя равенство b2 = a2 −c2 , находим

b2 = 5 −4 =1.

Пользуясь каноническим уравнением, составляем искомое уравнение эллипса

x2	+	y2	=1.
5		1

Задача 46. Написать каноническое уравнение эллипса, если ε = 12 и

расстояние между директрисами равно 32.

Решение. Расстояние между директрисами 2

= 32 . Откуда x =16

или

x = ±16 . Следовательно,

=16 . Подставляя сюда ε =

, получаем 2a =16 или

a =8 . Учитывая это значение из уравнения

, находим c =

= 4 . Далее

определяем b2 = a2 −c2 = 64 −16 = 48 и искомое уравнение эллипса будет

Задача 47. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными

осями, проходит через точки

(2;

(0;2) . Написать его уравнение,

найти фокальные радиусы точки M

и расстоян я этой точки от директрис.

ти

что

Решение. Используя каноническое уравнение эллипса и тот факт,

те2

эллипс проходит через точки M и M

, составляем систему уравнений:

org

сb

matem

a = 4

b = 2.

0в

Фокальные радиусы точки M1 определим по формулам (20), подставляя

значение a = 4, b = 2 и следующее значение

ε =

a2 −b2

16 −4

2 3

Получаем

r = a ±εx = 4 ±

2 = 4 ± 3 .

1,2

Расстояния d1,2 точки M1 от соответствующих директрис находим из

формул (22)

r1,2

4 ±

(4 ±

3) .

1,2

Задача 48. Установить, что уравнение 4x2 +3y2 −8x +12 y −32 = 0

определяет эллипс, найти его центр О1, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Построить эллипс и его директрисы.

Решение. В данном общем уравнении согласно формуле (13) A = 4,C =3 , причем A ≠ C и A C =12 > 0 . Значит, данное уравнение определяет эллипс или случаи его вырождения (точку, мнимый эллипс).

Приведем данное уравнение к каноническому виду (24), группируя его члены и выделяя полные квадраты по переменным х и у в соответствующих группах:

4 x2

−2x

+3 y2

+ 4 y

=32 ,

4 (x2 −2x +1)−1 +3 (y2 + 2 2 y + 4)

− 4 = 32 ,

−1)

−

4 (x

−1

( y + 2)

4 = 32 ,

4(x −1)

−4 +3( y + 2)

−12 = 32 ,

4(x −1)

+3( y + 2)

= 48 .

ти

Разделив обе части последнего уравнения на 48, получим

.ua

=1.

м+

(x −1)

( y + 2)

те

org

(24), находим

Сравнивая это уравнение с формулойм

O1(1;−2)

– центр эллипса.

matem

a =

12 = 2 3,

b =

16 =

е4 – полуоси эллипса,

Для

построения

проведем

через цент

эллипса

эллипса O

прямые,

параллельные осям Oxди Oy , на которых укажем направления соответственно

O1 X и

O1Y . Получим новую прямоугольную систему

этим осям и обозначенияф

координат O1 XY

, в которой уравнение эллипса примет канонический вид

X 2

=1,

где X = x −1,

Y = y + 2 .

В этой системе координат построение эллипса выполняется аналогично тому, как и в задаче 39 (рис. 20). Так как для данного эллипса b > a , то 2b =8 –

большая ось эллипса, а			2a = 4	3 – малая ось. А поскольку фокусы эллипса
находятся	на большой		оси, совпадающей с осью O1Y , то точки		F1(0;c) и
F (0; −c) ,	где	c =	b2 − a2 ,	будут фокусами эллипса.	Находим
2

c = 16 −12 = 4 = 2 и фокусы эллипса будут F1(0;2) и F2 (0;−2) . Для данного эллипса формулы (19) и (21) примут вид:

ε = bc <1 – эксцентриситет эллипса;

Y = ±εb – уравнения директрис эллипса в системе координат O1XY .

Следовательно,

ε = 24 = 12 , Y = ± 14 = ±8 .

Запишем уравнения директрис относительно системы координат Oxy ,

используя формулу y =Y −2 :

y = +8 − 2 = 6

y = −8 − 2 = −У10 .

построение

"выполнимН

(x −

( y +

эллипса

Г12

y = −10 . Для этого

и директрис y = 6

ти

в системе координат OXY строим точку

те

– центр эллипса, через которую

Oм(1;−.2)

org

O X и O Y

апроводим координатные оси

matem

оси

симметрии

эллипса.

Откладывая

–

влево

вправо

от точки

отрезки,

равные малой полуоси a = a

3 , а вверх

вниз

от

точки

отрезки,

равные

большой полуоси b = 4 , построим точки

Рис. 21

A , A , B , B

–

вершины

эллипса.

Проведя через вершины эллипса прямые,

параллельные координатным осям, построим основной прямоугольник эллипса,

внутри которого вычерчиваем эллипс,		касающийся его сторон в точках
A1, A2 , B1, B2 . Далее строим директрисы,		т.е. прямые, параллельные оси Ox и
пересекающие ось Oy в точках (0;6) и (0;−10) (рис. 21).
Задача 49. Составить каноническое уравнение эллипса, который
проходит через точки M1(3;2) и M2 (4;	2	2	) , если его фокусы лежат на оси Ox

симметрично относительно начала координат.

Решение. По условию координаты заданных точек удовлетворяют уравнению (19):

=1,

=1.

9b2

Решаем

систему.

Из

второго

уравнения

определим

a2 =

b2 −

подставим в первое уравнение:

16(b2 −4)

=1 7b2

=56 b2 =8 ;

9b2

9 8

a2 =

=18 .

8 − 4

Таким образом, искомое уравнение будет иметь вид

=1.

Задача 50.

Земля движется по эллипсу,

из фокусов которого

в одном"

находится Солнце. Наименьшее расстояние Земли от Солнца приблизительно

равно 147,5 млн км, а наибольшее – 152 млн кмВ. Найти большую полуось и

эксцентриситет орбиты Земли.

ти

Решение. Обозначим

через

полуось

эллипса, расстояние

большую

между фокусами

2c .

Солнца будет

Наименьшимтерасстоянием Земли от

расстояние между фокусом,

Солнце с ближайшей вершиной

где находится.org

matem

эллипса, т.е.

147,5 = a −c . Наибольшим будет расстояние от этого фокуса до

дальней вершины эллипса, т.е.ш2a −147,5 =152,5 .

Откуда 2a =147,5 +152,5 =300 млн км,

a =150 млн км.

−147,5 = 2,5 млн км и ексцентриситет орбиты

Но тогда c = a −147,5 =150

2,5

ф1

Земли ε =

150

2.3. Гипербола

Гипербола – это геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если систему координат выбрать так, чтобы прямая, соединяющая фокусы гиперболы служила осью гиперболы, а начало координат было помещено в середине между фокусами, то уравнение гиперболы в этой системе координат будет иметь вид

	x2	−	y2	=1,	(26)
	a2		b2

где b2 = c2 −a2 .					(27)

Гипербола имеет две действительные вершины A1(a;0) и A2 (−a;0) на фокальной оси; отрезок A1A2 = 2a называется действительной осью гиперболы.

Со второй осью Oy гипербола не пересекается, но по условию действительный

отрезок 2b называют мнимой осью гиперболы. Параметры a и

b , входящие в

уравнение(26), даютдлинудействительнойимнимойполуосейгиперболы.

Для гиперболы возможны все три случая:

a >b, a =b, a <b .

Если a =b , гипербола называется равносторонней.

Для гиперболы, определенной уравнением

−

=1,

(28)

действительной осью является отрезок 2b , совпадающий с осью Oy .

Эксцентриситетом

называется

гиперболы

расстояния

между

отношение

фокусами к действительной оси:

ε =

(29)

ти

для уравнения (26)

или ε =

(30)

те

.org

для уравнения (28).

Для

точек

правой

ветви

matem

гиперболы

фокальные радиусы

вычисляются по формулам:

r1 =εx − a

(31)

r2 =εx + a

Рисе. 22

r2 − r1 = 2a .

(32)

Для точек левой ветви имеем:

r1 = −εx + a

(33)

r2 = −εx − a

r1 −r2 = 2a .

той оси

(34)

Две прямые, перпендикулярные к

гиперболы, которая ее

пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии εa от него, называются директрисами гиперболы.

Их уравнения, как в случае эллипса, имеют вид: x = εa – уравнение правой директрисы;

x = −εa – уравнение левой директрисы.

Так как для гиперболы ε >1, то εa < a . Отсюда следует, что правая директриса

расположена между центром и правой вершиной гиперболы; левая – между центром и левой вершиной гиперболы.

Для директрис гиперболы имеет место указанное выше свойство (22), однако для гиперболы это постоянное отношение больше единицы.

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b , расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах A1(a;0) и A2 (−a;0)

в случае уравнения (26) или в вершинах B1(0;b) и B2 (0;−b) в случае уравнения

(28), называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы, т.е. такими прямыми, расстояние от которых произвольной точки гиперболы стремится к нулю по мере ее неограниченного удаления от начала координат (рис. 22). Их уравнения:

y =

y = −

x .

(35)

, y

) , будет:

Уравнение гиперболы, центр которой перенесен"вНточку O

(x − x

)

( y − y )

−

=1.

(36)

Раскрывая

квадраты

разностей

(36), можно получить

уравнениик

ти

.ua

C = −

уравнение вида (13), где B = 0 и AC < 0 (здесь

A =

При

указанных

те

org

в зависимости

от

значениях старших

коэффициентов

0ы

значений

matem

выделения

полных

квадратов

по

D, E, F уравнение

(13) путем

переменным x и y может быть

еприведено к уравнению

(x − x )

−a

( y − y

)

2с

= 0 ( ,b > 0 ),

определяющему

пару

в точке

( x0 , y0 )

прямых

(случай

пересекающихся

вырождения гиперболы в пару пересекающихся прямых).

если

b = 0

Таким образом, уравнение (13) определяет гиперболу,

AC < 0 .

Задача 51. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой находятся на оси ОХ и симметричны относительно начала координат,

если действительная ось равна 6, а эксцентриситет ε =						5 .
						3
Решение. Поскольку 2a = 6 , то a =3 . Пользуясь формулами (27) и (29),
находим:
c = 5 a =	5 3 = 5 , b = c2 −a2 = 25 −9 = 16 = 4 .
3	3
Искомое уравнение имеет вид:
		x2	−	y2	=1.
	9		−	16	=1.
	9			16

Задача 52. Найти полуоси a и b гиперболы x2 −4 y2 =16 и составить уравнения ее асимптот.

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 16:

4 y

−

или

−

=1.

Сравнивая это уравнение с каноническим уравнение, находим:

a2 =16 a =

16 = 4;

b2 = 4 b =

4 = 2.

Используя формулы (35), составляем уравнения асимптот:

y =

1 x и y = −

1 x .

4x2 −9 y2 = 25 . Указать

Задача 53. Определить полуоси a и b гиперболыЗ

ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения гиперболы на 25:

4x2

−

9 y2

или.ua

−

=1.

org

те

matem

каноническим

уравнением

гиперболы,

Сравнивая это уравнениее

определяем:

= 25 a =

;

b =

Из формулы (15) находим

25 = 25

c2 = a2 +b2 =

= 25 9 + 4

325 .

Откуда

c = 5

точки

F (

5 13

;0) и

F (−5 13 ;0)

– фокусы

гиперболы,

ε =

= 5

13 2

>1 – эксцентриситет гиперболы.

6 5

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб2Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx
#
06.06.2015755.71 Кб33ch5 в работе.doc