BIS5_matem_org_ua
.pdf(53)2 =1 +( ba )2 ( ba )2 = 95 −1 = 169 ba = 34 .
Тогда уравнения асимптот в декартовых координатах будет
y = ± 4 (x +5) 4x −3y + 20 = 0 и 4x +3y + 20 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
в эти |
уравнения |
x = ρcosϕ, |
y = ρsinϕ |
и |
|
разрешая |
их |
||||||||||||||||||||||||||||
относительно ρ , находим полярные уравнения асимптот: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ρ = |
20 |
|
|
и |
ρ = |
|
|
|
−20 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3sinϕ −4cosϕ |
4cosϕ + |
3sinϕ |
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ПЛОСКОСТЬ |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всякое уравнение первой степени |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + By +Cz + D = 0 , |
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(49) |
|||||||||||||||||
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A, B,C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
одновременно |
|
не |
|
|
|
|
нулю, |
|
определяет |
плоскость. |
|||||||||||||||||||||||||
|
равны |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
плоскости. Вектор N = ( A; B;C) |
|||||||||||||||
Уравнение (49) называется общим уравнением.org |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ы |
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется нормальным вектором плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Уравнение |
плоскости, шпроходящей через |
точку |
M |
0 |
(x |
; y |
; z |
) |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
= ( A; B;C) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
перпендикулярной векторувN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а |
− x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(50) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
рA(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
д |
|
в отрезках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение плоскостие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ф |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
К |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
a,b,c – |
длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных |
осях, взятые с соответствующими знаками.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(x1; y1; z1) , M2 (x2; y2; z2 ) и M3 (x3; y3; z3 ) , имеет вид
|
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0 . |
(52) |
|
x3 − x1 y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
|
|
Нормальным уравнением плоскости называется уравнение вида |
||||||
|
xcosα + y cos β + z cosγ − p = 0 , |
(53) |
||||
где cosα,cos β,cosγ |
– направляющие косинусы |
перпендикуляра, |
проведенного из начала координат к данной плоскости, а p – его длина.
60
Для приведения общего уравнения плоскости (49) к нормальному виду (53) следует умножить все его члены на нормирующий множитель
|
|
|
|
|
|
µ = ± |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(54) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
знак которого выбирается противоположным знаку свободного члена D в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
общем уравнении плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 |
и |
|||||||||||||||||||
Угол |
ϕ |
|
|
|
между |
|
|
|
|
плоскостями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cosϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A2 + B1B2 +C1C2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(55) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
+C2 |
A2 |
|
+ B2 |
|
+C2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Условие параллельности двух плоскостей имеет вид: |
" |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
= |
B1 |
= |
C1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(56) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
||
Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A1A2 + B1B2 +C1C2 = |
0 . |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
(57) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Расстояние |
|
от точки |
|
|
M |
0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
|
|
|
|
к |
плоскости |
Ax + By +Cz + D = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
до |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + By |
|
+Cz |
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
те |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
d = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
.org2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(58) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
+мB |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 83. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ox и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1;−6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
проходящей через точку K (4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
К |
Плоскость, |
|
|
|
перпендикулярная |
|
оси |
|
Ox , параллельна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
координатной плоскости yOz и ее уравнение имеет вид Ax + D = 0 . Подставляя
в это уравнение координаты точки K , получим 4 A + D = 0 , т.е. D = −4A. Следовательно, уравнение плоскости Ax −4 A = 0 или x − 4 = 0 .
Задача 84. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и
точку L(5;−2;7) .
Решение. Так как плоскость проходит через ось Oz , то ее уравнение имеет вид Ax + By = 0 . Подставляя в это уравнение координаты точки L ,
получим 5A −2B = 0 или A = 25B . Таким образом, имеем 2Bx5 + By = 0 .
Откуда получаем 2x +5y = 0 .
61
Задача 85. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Ox и проходящей через точки M (1;−1;−3) и N (−5;4;−2) .
Решение. Поскольку плоскость параллельна оси Ox , ее уравнение имеет вид By +Cz + D = 0 . Подставляя в это уравнение координаты точек M и N , имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными:
|
|
|
|
|
−B −3C + D = 0, |
|
|
|
|
|
или |
|
|
B +3C = D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+4B − 2C + D = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4B + 2C = D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Откуда |
B = − |
|
|
D |
|
, |
|
|
C = |
|
5D |
. Следовательно, |
|
искомое |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
|
|
|
14 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
5D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
y |
+ |
z |
+ D = 0 |
|
|
или |
|
y −5z −Г14 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Задача 86. Даны точки M1(−3;7;−5) |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
и |
|
и |
(−8;3;−4) . Составить уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
плоскости, проходящей через точку M |
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
и перпендикулярной вектору M M |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Имеем |
||||||
|
|
Найдем координаты нормального вектора N = M M |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N = (−8 −(−3);3 −7;−4 −(−5)) = |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(−5; |
−4;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Подставляя |
|
значения |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
и |
|
|
точки |
|
M |
в |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(x − x ) + B( y − y ) +C(z −ыz ) = 0 , получим искомое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−5(x +3) − |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или 5x + 4 y − z −18 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4( y −д7) |
|
+(z +5) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 87. Построить плоскость 3x −12 y −8z + 6 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Запишем уравнение плоскости в отрезках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x −12 y −8z = −6 |
|
3x |
|
− |
|
12 y |
− |
8z |
=1 или |
|
x |
|
|
+ |
y |
+ |
z |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
−6 |
|
|
−6 |
−6 |
−2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Плоскость пересекает ось Ox в точке x = −2 ; ось Oy – в точке y = |
; ось |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Oz – в точке z = |
. Строим плоскость (рис. 33). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Указание. Эти же значения x, y, z
можно получить, придавая поочередно любым двум из переменных значения равные нулю:
y = 0, z = 0, 3x = −6 x = −2; |
|
|
|
x = 0, |
z = 0, −12 y = −6 y = |
1 |
; |
|
|
2 |
|
x = 0, |
y = 0, −8z = −6 z = 3 . |
|
|
|
4 |
|
|
Рис. 33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
через три точки: |
||
Задача 88. Составить уравнение плоскости, проходящей"Н |
||||||||||||||||||||||||
M1(1; −3;4) , M2 (0;−2;−1) и M3 |
(1;1;−1) . |
|
|
|
З |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
Г |
|
|
через данные три точки, |
|||||
Решение. Уравнение плоскости, проходящейи |
||||||||||||||||||||||||
имеет вид (52): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x −1 |
y +3 |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
z −4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
а |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15(x −1) −5( y +3) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− 4(ыz − 4) =matem0 |
или 15x −5y − 4z −14 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
й |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
по элементам первой строки, получаем |
|||||||||||||||
Раскладывая этот определительш |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 89. Найти острый угол между плоскостями 7x −11y +8z +19 = 0 и |
||||||||||||||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 y −10z −5 =К0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Первая плоскость имеет |
|
|
1 = (7;−11;8) ; |
|||||||||||||||||||||
нормальный вектор N |
вторая – N2 = (1;4;−10) .
Угол ϕ между плоскостями равен углу между нормальными векторами.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ = |
|
|
N |
1N2 |
|
= |
7 1 +(−11) 4 +8 (−10) |
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 +(−11)2 +82 12 +42 +(−10)2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
N1 |
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда ϕ = 3π |
|
. Острый угол между плоскостями α =π − |
3π |
= |
|
π . |
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Замечание. Острый угол можно найти, пользуясь формулой cosϕ = |
|
|
|
N |
1N2 |
|
|
, так как |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
N |
|
N |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
косинус такого угла положительный.
63
Задача 90. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (−4;3;−7) параллельно плоскости 6x −5y + 4z −15 = 0 .
Решение. Так |
|
|
как |
искомая |
плоскость параллельна |
плоскости |
||
6x −5y + 4z −15 = 0 , то в |
качестве ее |
нормального |
вектора можно взять |
|||||
нормальный вектор |
|
|
= (6;−5;4) данной плоскости. |
Используя |
уравнение |
|||
N |
||||||||
|
|
, получим |
||||||
плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору N |
||||||||
6(x + 4) −5( y −3) + 4(z +7) = 0 |
или 6x −5y + 4z + 67 = 0 . |
Задача 91. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;4;−5) и B(4;2;−3) и перпендикулярной плоскости 3x +5 y −6z −8 = 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
||
|
|
Решение. В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
взять вектор, перпендикулярный вектору |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB = (3;−2;2) |
и нормальному вектору |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 = (3;5;−6) данной плоскости. Так как векторное произведениеЗ |
двух векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
есть вектор, |
перпендикулярный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
за N можно |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
векторам-сомножителямВ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
принять векторное произведение |
|
|
AB и N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, т.ке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
N = AB ×N |
|
= |
3 |
|
|
-2 |
2 |
|
|
|
|
org |
+24 j |
+ 21k = (2;24;21) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5м -6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Используем далее уравнение плоскости, проходящей через данную точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1;4;−5) перпендикулярно вектору N = (2;24;21) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2(x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
+ 21(z +5) = 0 |
|
|
или |
|
2x +24 y +21z +7 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) + 24( y − 4) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||
|
|
Задача 92. Написать уравнение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (−1;−1;2) |
и |
|
|
|
|
перпендикулярной |
|
|
|
плоскостям |
|
|
x − 2 y + z − 4 = 0 |
и |
x + 2 y − 2z + 4 = 0 .
Решение. В качестве нормального вектора N искомой плоскости возьмем векторное произведение нормальных векторов N1 = (1;−2;1) и
N2 = (1;2;−2) данных плоскостей: i j k
N = N1 ×N2 = 1 -2 1 = 2i +3 j +4k = (2;3;4) . 1 2 -2
Далее остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку M (−1;−1;2) перпендикулярно вектору N = (2;3;4) :
2(x +1) +3( y +1) + 4(z − 2) = 0 или 2x +3y + 4z −3 = 0 .
64
Задача 93. |
Написать уравнение плоскостей, параллельных плоскости |
x − 2 y + 2z −7 = 0 |
и отстоящих от нее на расстоянии, равном 5. |
Решение. Запишем уравнение искомой плоскости в виде x − 2 y + 2z + D = 0 .
Найдем расстояние между плоскостями, для этого возьмем произвольную точку данной плоскости и определим ее расстояние до искомой плоскости.
Полагая x = 0, y = 0 , найдем z = |
7 , т.е. получаем точку M (0;0; 7 ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
Расстояние от точки M до плоскости x − 2 y + 2z + D = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ax0 + By0 +Cz0 + D |
|
|
|
|
1 0 + 2 0 + 2 7 |
+ D |
|
|
|
|
|
7 |
+ D |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
d = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
" |
|||||
|
|
|
|
|
|
A |
+ B |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (−2) |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
" |
|
|
|
|
|
|||||
Так как по условию d =5 , то для определенияЗD получаем уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
7 + D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
=5 |
|
или |
|
7 + D |
=15 , |
|
|
или 7 + D |
= ±15 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда D1 =8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D в уравнение искомой |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
D2 = −22 . Подставляя значения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
плоскости, получаем уравнения двух плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
= 0 |
|
|
|
и |
|
|
|
x −2 y + 2z − 22 = 0 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 y + 2zс+8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 94. |
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x −3y − 2z +35 = 0 привести к |
||||||||||||||||||||||||
еУравнение плоскости |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормальному видуа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Находим нормирующий множитель (54) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ = ± |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= − |
1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 +32 + 22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь берется знак минус, так как D =35 > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Умножив уравнение плоскости на (− |
1 ) , получим нормальное уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 x + |
3 y + |
2 z −5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ |
|
||
Уравнения прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) и параллельно |
|||
вектору a = (l, m, n) , записываются в виде |
|
||
x − x0 |
= y − y0 |
= z − z0 . |
(59) |
l |
m |
n |
|
Уравнения (59) называются каноническими уравнениями прямой, а вектор a – направляющим вектором прямой.
Если каждое из отношений (59) приравнять параметру t , то получаются
параметрические уравнения прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= x0 +lt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y0 + mt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(60) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= z0 + nt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
||||||||||
Уравнения прямой, |
|
проходящей |
|
|
через |
|
|
|
|
|
|
У |
M (x , y , z ) и |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
две точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
1 1 1 1 |
|
M2 (x2 , y2 , z2 ) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
Г |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x |
|
|
|
y − y |
|
|
|
z − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
. В |
|
|
|
|
|
(61) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x1 |
|
|
y2 − y1 |
|
|
z2 |
− z1 |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Угол между прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.org |
|
|
2 |
|
|
|
z − z |
2 |
|
|
|
||||||
|
x − x |
|
y − y |
|
|
z − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xа− x |
|
|
|
y − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
м |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
l1 |
|
m1 |
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
ш |
й |
|
l2 |
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
определяется по формулеы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
l1l2 + m1m2 + n2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
cosеϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(62) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
l1 + m1 + n1 l2 + m2 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности двух прямых имеет вид:
l1 = m1 = n1 . l2 m2 n2
Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид:
l1l2 + m1m2 + n2n2 = 0 .
Угол между прямой
x −l x0 = y −my0 = z −nz0
и плоскостью
Ax + By +Cz + D = 0
(63)
(64)
(65)
(66)
66
определяется по формуле
|
Al + Bm +Cn |
|
sinϕ = |
|
. |
A2 + B2 +C2 l2 + m2 + n2 |
Условие параллельности прямой (65) и плоскости (66) имеет вид:
Al + Bm +Cn = 0 .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:
Al = mB = Cn .
(67)
(68)
(69)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
Задача 95. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точку A(−5;8;−3) и параллельной вектору s = |
(2;4;−1) . |
|
Г |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Н |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
З |
|
|
|
|
(59) |
при |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулойУ |
|
|
||||||||||||||||||||||
x0 = −5, y0 =8, z0 = −3, l = 2, m = 4, n = −1: |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +5 |
|
|
|
y −8 |
|
|
z + |
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
м |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
м |
|
|
−1 |
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
это и есть канонические уравненияй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 96. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через точку A(−7;−3;2)р, перпендикулярной плоскости x − 4 y −5z +8 −0 . Найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точку |
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M прямой, соответствующую значению параметра t = 2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как нормальный вектор |
|
N = (1;−4;−5) |
данной плоскости |
перпендикулярен ей, то по условию он должен быть параллелен искомой прямой. По формулам (60), где x0 = −7, y0 = −3, z0 = 2, l =1, m = −4, n = −5 ,
получаем параметрические уравнения прямой:
x = −7 +t,y = −3 − 4t,z = 2 −5t.
При t = 2 находим x = −5, y = −11, z = −8 , т.е. получим точку
M (−5;−11;−8) .
67
Задача 97. Написать уравнения прямой l , проходящей через точки
A(−1;2;3) и B(5;−2;1) . Лежат ли на этой прямой точки K(−7;6;5) , L(2;0;1) ?
|
|
Решение. |
|
Используя |
|
|
|
|
формулу |
|
|
(61), |
|
|
|
при |
x1 = −1, |
y1 = 2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 =3, x2 =5, |
y2 =−2, z2 =1 получим искомые канонические уравнения прямой l : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
= |
y − 2 |
= |
z −3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
−2 |
|
|
K |
|
|
L , соответственно |
|||||||||
|
|
Подставляя в эти уравнения координаты точек |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находим |
|
|
|
−7 +1 = |
6 −2 |
|
|
|
|
5 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
0 − 2 ≠ 1 −3 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= −1, |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
−4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Следовательно, |
K l , а L l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
98. |
|
|
Найти |
|
|
канонические |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
по |
которой |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
уравнения прямой, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пересекаются плоскости x − 2 y |
+3z +15 = 0 и 2x |
+ |
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3y |
− 4z −12 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Направляющий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
прямой |
a |
|
должен быть |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
вектор искомой |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 = (1;−2;3) и |
||||||
перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N2 = (2;3;−4) . В |
качестве |
|
вектора |
|
|
|
a |
|
м |
|
ua |
взять |
векторное |
|
произведение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ожно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов N1 и N2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
те |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
й |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a = N1 ×N2 = |
|
|
ш |
|
|
|
3 |
|
|
= −i |
+10j |
+7k |
|
или a = (−1;10;7) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы2 |
3 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
самой |
|
прямой |
|
определяется системой |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
уравнение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
а |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
2 y +3z +15 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
К |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +3y − 4z −12 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Для нахождения точки M0 (x0 , y0 , z0 ) |
прямой положим, например, z0 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда из системы |
|
|
|
x −2 y +15 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
x0 = −3, |
y0 = 6 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +3y −12 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, искомая точка прямой M0 (−3,6,0) .
По точке M0 и вектору a составляем канонические уравнения прямой по
формуле (59):
x−+13 = y10−6 = 7z .
68
Задача 99. Найти угол ϕ между прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −1 |
|
= |
y +5 |
= |
z −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4 |
= |
y +5 |
|
= |
|
z −6 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|||||||||||||||
Решение. По формуле (62) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ = |
|
|
|
−2 1 + 6 2 +(−3) (−2) |
|
|
= 16 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 + 62 +32 12 + 22 + 22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
≈ 40D,37 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отсюда ϕ = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Задача 100. Составить уравнения |
|
|
прямой, |
|
|
|
проходящей |
через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(−3;8;−9) и параллельной прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 4 −5t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −7 |
+10t. |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Запишем уравнение данной прямой в каноническом виде |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
аy |
|
|
|
|
z |
+ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=м |
|
|
|
= |
ua |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
искомая |
|
прямая |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данной, |
|
|
|
то |
в |
качестве |
ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
параллельна.org |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направляющего |
вектора |
|
|
с |
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (−5;2;10) |
||||||||||||||||||||||
можнойвзять направляющий вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данной прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя теперь уравненияы |
прямой (59), проходящей через точку |
A и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параллельно вектору a |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
,аполучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+3 |
|
|
|
|
y − |
8 |
|
|
|
|
|
z +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 101. Составить уравнения |
|
|
прямой, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (−7,0,9) перпендикулярно двум данным прямым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −3 |
= |
y + 4 |
|
= |
z −5 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
= |
y −3 |
|
= |
z −2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|||||||||||
Решение. Найдем направляющий вектор a |
|
|
искомой прямой. Так как он |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
должен быть |
перпендикулярен |
|
|
|
направляющим |
|
|
векторам |
заданных прямых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1 = (−2;−1;3) |
и |
|
|
a2 = (4;6;−5) , |
|
|
|
то вместо |
|
|
|
|
него |
|
|
|
можно |
взять векторное |
произведение векторов a1 и a2 :
69