Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS5_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

параболы ( y −3)2 =16(x −1) с вершиной в точке O1(1;3) . Относительно новой системы координат O1XY и с учетом формул параллельного переноса осей координат X = x −1 и Y = y −3 будет уравнение:

Y 2 =16 X .

Относительно старой системы координат определяем координаты точки M3 , через которую проходит парабола. Для этого положим y = −1 и из

уравнения (−1 −3)2 =16(x −1) находим x = 2 , т.е. имеем точку M3 (2;−1) . Далее

в системе координат

OXY

строим

точку M3 (2;−1) , а затем в 4-м

координатном углу новой системы координат O1XY строим дугу параболы,

проходящую через точку M3 (рис. 28, в).

ти

те

org

matem

Рис. 28

Задача 70. Вычислить фокальный радиус точки M параболы y2 = 20x , если абсцисса точки равна 7.

Решение.

Фокальный радиус

точки M

согласно

определению

параболы будет

r = x +

где x – абсцисса точки M ;

p – параметр параболы, равный расстоянию

фокуса от

директрисы

( p > 0) .

Сравнивая данное

уравнение

параболы с

каноническим y2 = 2 px , находим:

2 p = 20 p =10 .

Тогда, учитывая, что x = 7 , имеем:

r = 7 +

=12 .

Задача 71.

Вычислить фокальный радиусГточки M параболы y

=12x ,

если ордината точки M равна 6.

ти

Решение. Найдем абсциссу точкимM , подставляя заданную ординату в

те

.org

уравнение параболы

x =

=3 .

Параметр параболы находимmatem, сравнивая данное уравнение параболы с

каноническим y2

2 px :

2 p =12

p = 6 .

Тогда фокальный радиус точки M (3;6) будет

r = x +

= 3 +

= 6, r = 6 .

Задача 72. На параболе y2 =16x найти точку, фокальный радиус которой равен 13.

Решение. Аналогично предыдущему находим параметр из уравнения

2 p =16 p =8.

Абсциссу точек определяем по формуле

x = r − 2p , подставляя r =13 и p =8 , т.е. x =9 .

При найденном значении абсциссы, ординаты точек находим из уравнения:

y2 =16 9 y = ±5 .

Таким образом, имеем две точки M1(9;−5) и M2 (9;+5) , для которых фокальный радиус равен 13.

Задача 73. Определить координаты вершины и величину параметра параболы, уравнение которой

y2 +5x −6 y +14 = 0 .

Найти также координаты ее фокуса и уравнение директрисы. Изобразить на чертеже параболу, фокус и директрису.

Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду

( y − y )

= −2 p(x − x ), p > 0 .

Для этого данное уравнение перепишем в виде

−6 y = −5x

−

14У

и дополним

левую часть уравнения до полногоГквадрата двучлена, прибавляя к

обеим частям уравнения 9. Получим:

ти

y −2

3y +9 = −5x −14 +9

или

= −5(x +1) .

( y −3)

те

, заключаем:

Сравнивая полученное уравнение с каноническим.ua

x0 = −1; y0 =3; 2 p =5 ,

org

т.е. парабола имеет вершину

O1(е−1;3) , параметр p =

началом которой служит

Фокус параболы в системеmatemкоординат O XY ,

вершина параболы

(р−1;3) , имеет координаты (−

;0)

. Координаты фокуса

относительно системы координат Oxy получим из формул

y =Y + y0 :

x = X + x0 К

x = −5

−1 = −

= −2 1

, y = 0 +3 = 3.

F(−2 1 ;3) . Уравнение

Таким

образом,

парабола

имеет

фокус

точке

директрисы в новой системе координат

O XY

X =

= 5 относительно старой

системы Oxy будет:

5 −1 = 1 .

x = X + x =

Для построения параболы укажем кроме вершины еще одну точку. Для этого зададим значение одной из переменных, например y = 0 . Значение другой

переменной найдем из заданного уравнения параболы: 0 = −5x −14 x = −2,8 .

Имеем точку M (−2,8;0) , через которую

проходитпарабола.

Далее построим две системы координат

Oxy и O1XY с началом в точке O1(−1;3) . В

новой

системе O1XY уравнение

параболы

примет вид

Y 2 = −sX ,

т.е.

отрицательное

направление оси O1X будет осью симметрии

параболы. В старой системе Oxy строим точку

M (−2,8;0) и

вершину параболы

O1(−1;3) ,

затем

вычерчиваем

параболу

симметрично

относительно

прямой

y =3

проходящей

черезэтиточки.

x =

и строим

Проводим директрису

Рис. 29

точку

F(−2

;3)

– фокуспараболы(рис. 29).

ти

Задача 74. В параболу x2 = y

те

равносторонний треугольник

мвписан.ua

org

так, что одна из его вершин совпадает

matem

с вершиной параболы. Найти сторону

треугольника.

Решение.

Пусть точка

A(x0; y0 )

– одна из вершин треугольника, тогда

другими его вершинами будут точки

B(−x0; y0 )

и O(0;0)

(рис. 30). Так как

треугольник

равносторонний,

то

AB = BO = AO .

Рис. 30

Откуда 2x

+ y2 .

Решаем это уравнение совместно

с уравнением

= y

3 :

4x02 = x02 +

x02 (x02 −9) =9 x0 = 3.

4x2

= x2

+ y2

Таким образом, сторона треугольника 2x0 = 6 .

2.5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Рассмотрим эллипс, гиперболу или параболу. Пусть F – фокус из этих кривых, D – ее директриса, полюс кривой совпадает с фокусом, а полярная ось FP – с осью симметрии кривой (рис. 31).

Тогда уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид

r =

(48)

1 −ε cosϕ

где

–

эксцентриситет

кривой ( ε <1 – для эллипса, ε >1 –

для гиперболы

ε =1 –

для

параболы),

–

параметр кривой,

полуфокальным

называемый

"Н p

–

расстояние

от

(

диаметром

фокуса до директрисы).

ти

Рис. 31

те

org

matem

Задача

второго порядка

определяет

уравнение

75. Какую линиюш

r =

. Написать каноническоев

уравнение этой линии.

5 − 4cosϕ

уравнение в виде

Решение. З пишемф

r =

1 −

4 cosϕ

Сравнивая это уравнение с уравнением (48), находим

ε =

4 <1.

Так

как

эксцентриситет

линии

ε <1, то данное уравнение

определяет

эллипс. Преобразуем данное уравнение к каноническому виду, заменяя

на

x2 + y2 , а cosϕ на

+ y2

x2 + y2 =		9	или	5 x2 + y2 = 4x +9 .
	5 −	4x

		x2 + y2

Возведем обе части последнего равенства в квадрат и преобразуем полученное уравнение к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной x :

25(x2 + y2 ) =16x2 +72x +81,

9x2 −72x + 25 y2 =81,

9(x2 −2 4x +16) + 25 y2 =81 +144 ,

9(x −4)2 + 25 y2 = 225 ,

(x − 4)

"Н

=1.

с центром в точке O1(4;0) и

Получили каноническое уравнение эллипсак

полуосями a = 5 и b =1.

ти

те

org

matem

r =

Задача 76. Какую линию определяет уравнение

? Написать

1 −cosϕ

каноническое уравнение этой линии.

данное уравнение с уравнением (48), находим ε =1.

Решение. Сравниваяе

определяет

параболу. Приведем это

уравнение,

Следовательно, уравнениеф

аналогично предыдущему, к каноническому виду:

x2 + y2 =

+ y2 =3 + x .

1 −

x2 + y2

x 2 + y2 =9 + 6x + x 2 y2 = 6(x +

3) .

Сравнивая это уравнение с (48), заключаем, что оно определяет параболу с вершиной в точке ( −32 ;0 ) и осью симметрии, параллельной оси Ox .

Задача 77. Вывести полярное уравнение параболы y2 = 2 px при условии,

что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в вершине параболы.

Решение. При этом условии x = r cosϕ,

y = r sinϕ и уравнение параболы

примет вид:

r2 sin2 ϕ = 2 pr cosϕ

r =

2 p cosϕ .

sin2 ϕ

Задача

78.

Вывести полярное

уравнение

гиперболы

−

при

условии,

что полярная ось сонаправлена с осью

Ox , а полюс находится в

центре гиперболы.

Решение. При этом условии переход от"Нполярных координат

произвольной точки к декартовым координатам тойЗже точки осуществляется

по формулам:

x = r cosϕ,

ти

y = r sin

ϕ.

Подставим эти выражения для x и y в уравнение гиперболы:

−

=1,

те

.org

cos

sin

matem

cos

ϕ −a

sin

ϕ = aшb

2 2

a b

r2 =

+ a )cos ϕ − a

cos ϕ −a рsin

и обозначив

+ a

= c

Разделив числитель и знаменатель дроби на a

получим

r2 =

ε2 cos2

ϕ −

Задача 79. Записать уравнение

окружности

x2 + y2 = ax

полярных

координатах.

Решение. Выделяя полный квадрат по переменной x , получим уравнение окружности в нормальном виде:

(x − a )2 + y2 = a2 . 2 4

Отсюда заключаем, что данная окружность с радиусом a2 и центром в

точке ( a2 ;0), т.е. эта окружность касается оси ординат в начале координат.

Поместим полюс в начало декартовой системы координат, а полярную ось направим вдоль оси Ox . Тогда x = ρcosϕ,

y = ρsinϕ.

Подставляя x и y в данное уравнение, получим

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = aρcosϕ

или

ρ2 (cos2 ϕ +sin2 ϕ) = a cosϕ .

Откуда ρ = a cosϕ – полярное уравнение окружности.

Задача 80.

На эллипсе ρ =

найти точкиГ , полярный радиус

которых равен 6.

− 2 cosϕ

"Н

Решение. Для нахождения точек,

радиус которых равен 6,

полярныйи

нужно решить следующее уравнение относиельно ϕ :

6 =

.ua .

те

org

−

2 cosϕ

Отсюда cosϕ =

ϕ = ±й.

Таким образом, имеем две точкиmatem:

(6;

) и (6;−

) .

Задача 81.

На

параболе

ρ =

найти

точку с наименьшим

−cosϕ

полярным радиусом.

Решение. Такой точкой является точка с полярным радиусом ρ =

Полярный угол ϕ находим из уравнения:

Отсюда cosϕ = −1 ϕ =π .

1 −cosϕ

Таким образом, искомой точкой является точка

(

;π) .

Задача 82. Установить, что уравнение ρ = 3 −5cos16 ϕ определяет правую

ветвь гиперболы, и составить полярные уравнения директрис и асимптот этой гиперболы.

Решение. Разделив

числитель и знаменатель на 3, приведем данное

уравнение к виду (48): ρ =

1 −

5 cosϕ

Сравнивая полученное

уравнение

с полярным уравнением гиперболы

(для ее правой ветви)

ρ =

(ε >1) ,

1 −ε cosθ

находим параметры p и ε :

p =16 ;

ε = 5 .

ти

те

org

matem

Рис. 32

Поскольку ε = 53 >1, то данное уравнение определяет правую ветвь

гиперболы.
Поместим начало декартовой системы координат Oxy			в правый фокус
гиперболы, т.е. в полюс полярной системы координат,		а ось Ox совместим с
полярной осью. Установим связь между	параметрами	p, a	и b гиперболы
(рис. 32).
В системе координат O1XY , где	X = x +5,Y = y ,		гипербола будет
определяться каноническим уравнением

X 2

−

Y 2

=1,

и точка N (c, p)

находится на гиперболе (здесь полярный параметр p = FN ).

Подставляя координаты точки N (c, p)

в уравнение гиперболы, получим:

−

=1.

Учитывая, что c2 = a2 +b2 ,

имеем:

a2 +b2

−

=1 p2 = b4

p = b2 .

Для

данной

ветви

гиперболы

FN =ε

или

=ε . Отсюда

DF =

Тогда

уравнение

директрисы

для

этой

ветви в декартовых координатах

выразится формулой

У16

x = −

или

иx = −

= −

ти

.ua

.org

5cosϕ

Подставляя сюда x = ρcosϕ , получимте

ρ = −

– полярное уравнение

директрисы.

matem

системе

координатшO1XY

уравнение

этой директрисы будет

X = −

+5 =

, а уравнение симметричной ей директрисы относительно точки

O1 будет

X = −

x +5 = −

. В декартовой системе Oxy это уравнение будет

5а

теперь

полярное уравнение директрисы, подставляя

или x = −34 . Запишем

сюда x = ρcosϕ :

ρ = −

– полярное уравнение второй директрисы.

5cosϕ

для

составления

уравнений

асимптот

используем

формулы

Y = ± b

или формулы

y = ± b

(x +5)

в системе координат Oxy . Отношение

найдем из уравнения

ε =

a2 +b2

)

, подставляя сюда

ε =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб2Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx
#
06.06.2015755.71 Кб33ch5 в работе.doc