Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS5_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Задача 13. Даны вершины треугольника A(−12;−2), B(4;10) , C(−6;10) . Написать уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Точка К пересечения искомой биссектрисы с прямой ВС делит отрезок ВС в отношении λ = ACAB .

Находим

AB = (xB −xA )2 + ( yB − yA )2

(4 +12)2 + (10 + 2)2 =

256 +144 = 20 ;

AC = (x −x

)2 + ( y

− y

(−6 +12)2 + (−10 + 2)2

36 +64 =10 ;

λ =

= 2 .

Находим координаты точки K(xK ; yK ) :

xB +λxC

4 + 2(−6)

= −

;

1+ 2

1+λ

10 + 2(−10)

yK =

+λy

= −

;

1+λ

1+ 2

точка K(−

;−

) .

ти

Определим уравнение биссектрисы АК:

.ua

x −xA

y − yA

x −(−12)

y −(−2)

те

−x

− y

org

(−а12)

−

−(−2)

matem

(x +12) 3

( y + 2) 3

x +12

x + 2

−4

сш

−1

или x + 7 y + 26 = 0 .

1.2.аУравнение прямой в отрезках.

расположение двух прямых

Взаимноед

Уравнение в отрезках для прямой линии плоскости имеет вид

=1,

(5)

где a и b

– величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных

осях.

Если две прямые заданы общими уравнениями

A1x + B1 y +C1 = 0

A2 x + B2 y +C2 = 0 ,

то угол ϕ

между прямыми

находится из формулы

A1 A2 + B1B2

cosϕ =

(6)

+ B2

Условие параллельности прямых

(7)

Условие перпендикулярности прямых

A1 A2 + B1B2 = 0 .

(8)

Если две прямые

заданы

уравнениями с

угловыми коэффициентами

y = k1x +b1 и y = k2 x +b2 , то угол между прямыми находится из формулы

tgϕ =

k1 −k2

(9)

1 +k k

Условие параллельности прямых

k1 = k2 .

(10)

Условие перпендикулярности прямых

= −

(11)

Расстояние от точки M0 ( x0 , y0 ) до прямой

Ax + Bx +C = 0 определяется

формулой

Ax + Bx +C

d =

(12)

+ B

Задача 14. Общее уравнение

2x −3y −6 = 0

привести к

прямой

ти

уравнению в отрезках. Построить эту прямую.

Решение. Запишем данное уравнение в виде 2x −3y = 6 и разделим обе

org

его части на свободный член:

matem

=е1.

−2ш

Это и есть уравнениеы(5) данной прямой в отрезках. Если y = 0, то x = 3.

Если же x = 0 , то y = −2а. Строим прямую по двум точкам (рис. 7).

Рис. 7

Задача 15. Составить уравнение прямой, изображенной на рис. 8.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках	x	+	y	=1. Из
	a		b

рисунка усматриваем, что a = 5, b = −2 . Тогда уравнение данной прямой будет

5x + −y2 =1.

ти

те

Рис. 8

org

Задача 16.

matem

Найти площадь треугольника, заключенного между осями

координат и прямой 2x −5y +20е= 0 .

Решение. Запишем уравнениев

прямой в виде 2x −5y = −20 .

–20,

получаем уравнение прямой в отрезках

Разделив уравне ние на

−10

=1.

Рис. 9

Строим прямую (рис. 9).

Требуется найти площадь ∆ABO . Имеем:

S∆ABO = 12 AO OB = 12 10 4 = 20 кв. ед.

Задача 17. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2), отсекающей на положительных полуосях координат равные отрезки.

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид	x	+	y	=1. По
	a		b

условию a = b . Следовательно, уравнение прямой принимает вид x + y = a . Так

как точка с координатами (1;2) принадлежит этой прямой, то числа x =1, y = 2

удовлетворяют уравнению x + y = a , т.е. 1 +2 = a , откудаГa = 3. Итак, искомое

уравнение записывается следующим образом:

x + y −3 = 0 .

Задача

18.

Составить

уравнениетипрямой, проходящей через точку

пересечения прямых x −2 y −4 = 0 и

2xм−

= 0 и составляющей с осью ОХ

3y −7

те

org

угол 45 .

matem

Решение. Находим точкуеп ресечения прямых:

x −2 y −4 = 0

− 2 y = 4

2x −3y −7 = 0

или

2x −3y

= 7.

Решим систему по формулам Крамера

−2

x =

∆x

7 −3

4 (−3) −7 (−2)

−12 +14

= 2 ,

1 −2

∆

1 (−3) −2 (−2)

−3 +4

2 −3

∆y

y =

2 7

7 −8

= −1.

∆

Итак, точка пересечения прямых – А(2;-1). Искомая прямая проходит

через точку А(2;-1) и имеет угловой коэффициент k = tg45 =1. Воспользовавшись уравнением прямой по точке и угловому

коэффициенту, получим	или x − y −3 = 0 .
y −(−1) =1 ( x −2)

Задача	19. Составить	уравнение прямой, параллельной	прямой
2x +3y −1 = 0	и отсекающей	на положительной полуоси абсцисс	отрезок,

равный 4 единицам.

Решение. Искомая прямая проходит через точку А(4;0), а ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой, т.е. k = − 23 .

Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, получим

y −0 = −

( x

−4)

или 2x +3y −8 = 0 .

Задача 20. Составить уравнение прямой L2 , перпендикулярной к прямой

L1 (прямые изображены на рис. 10).

Составим

вначале

Решение.

уравнение прямой L1 , пересекающей

координатныеУ

оси в точках А(–4;0) и

В(0;3).ГВоспользовавшись уравнением

прямойи в отрезках, получаем

ти

=1.

−4

те

org

Откуда

+1 или

y =

x +3.

matem

Сравнивая

это

уравнение

уравнением

y = kx +b ,

находим

угловой

коэффициент

прямой

L1 :

k1 = .

Рис. 10

Поскольку прямая

проходит

через точку А(-4;0) и имеет угловой

коэффициент

k2 = −

= −

то

воспользуемся

уравнением

прямой,

проходящей через данную точку в данном направлении, т.е.

Имеем

y − yA = k(x − xA ) .

y +4 = −

или 4x +3y +12 = 0 .

Задача 21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–4;3) и перпендикулярной к прямой 2x −3y −4 = 0 .

Решение. Угловой коэффициент данной прямой k1 = 23 , искомая прямая

перпендикулярна данной, поэтому ее угловой коэффициент k2 = − 1 = − 3 . k1 2

Используя уравнение	прямой,	проходящей через данную точку с
заданным угловым коэффициентом, получим уравнение искомой прямой:
y − yA = k2 (x − xA )	или y −3	= −	3	( x +4) ,

		2

откуда 3x +2 y +6 = 0 .

Задача 22. Написать уравнение высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А, если А(2;5), В(–4;3) и С(6;–2).

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки

С и В:

kCB

yB − yC

3 −(−2)

= −

−4 −6

xB − xC

Угловой коэффициент высоты

k = −

= 2 .

kCB

коэффициенту:

Находим уравнение высоты по точке А и угловомуВ

y − y

= k(x

− x

)

или y −

−2) ,

5 = 2(x

ти

отсюда

те

2x − y +1 = 0 .

org

Задача

23.

Найти

точку

Q ,

которая

симметрична точке Р(-5;13)

matem относительно прямой 2x −3y −3 = 0 .

Решение.

Точки

Q находятся на одном перпендикуляре

прямой

l :

2x −3y −3 = 0

на

одинаковом

расстоянии

от

нее

(рис. 11).

Прямая

имеет нормальный

Рис. 11

вектор n = (2; −3) . Прямая

PQ имеет

направляющий

вектор

a = n .

точке Р и направляющему вектору a :

Составим уравнение прямой PQ по

x +5

y −13

−3

или −3(x +5) = −2( y −13) , или 3x +2 y −11 = 0 ( PQ ).

Найдем точку пересечения прямых l и PQ , решив систему их уравнений по формулам Крамера:

x −3y = 3

∆ =

2 −3

=13; .

=11,

3x +2 y

∆x

3 −3

= 39;

∆y

=13;

3 11

x =

∆

x =

= 3

;

y =

∆y

=1.

∆

Итак, N (3;1) .

Найдем координаты точки Q . Точка N делит отрезок PQ пополам:

+ x

+ y

xN =

;

yN =

x = 2x

− x = 2 3 −(−5) =11;

y = 2 y

− y =

2У1

−13 = −11.

P Г

Таким образом, Q(11; −11) .

Задача

24. Найти

острый

угол

ти

прямыми

2x +4 y −7 = 0 и

между

x −3y +5 = 0 .

те

org

Решение. Угловые коэффициентыа данных прямых таковы:

matem2

= −

, k

этими прямыми найдем по формуле (9)

Тангенс угла междур

tgϕ =

k1 −k2

−

= −1.

1 +k1k2

1 +( 2 )

(−

Отсюда ϕ =135 о. Острый угол между прямыми α =180 −135 = 45 .

Замечание. Так как тангенс острого угла положительный, то для отыскания именно острого угла можно было бы указанную формулу применить в виде:


tgϕ =		k1 −k2		.

	1 +k k		2
	1

Тогда tgϕ =1. Откуда ϕ = 45 .

Задача 25. Найти расстояние от точки M0 (9; −1) до прямой, проходящей через точки M1(1;3) и M2 (5;6) .

Решение. Найдем уравнение прямой по двум точкам:

x − x1

y − y1

или

x −1

y −3

, или

x −1

y −3

− x

− y

5 −1 6 −3

= 0 – искомое уравнение прямой.

откуда 3x −

4 y +9

Расстояние от точки до прямой определяется формулой (12)

d =

Ax0 + By0 +C

+ B2

В данном случае A = 3, B = −4,C

= 9, x0 = 9, y0 = −1.

3 9 +(−4) (−1) +9

d =

=8.

32 +(−4)2

B(2;5) и C(3;2) найти

Задача 26. В треугольнике с вершинами A(−3;10) ,

ти

длину высоты, проведенной из вершины А.

те

через точки В и С:

Решение. Запишем уравнение прямойм ,.проходящейua

x − xB

y − yB

или

xа−2

.=orgy −

или 3x + y −11 = 0 .

xC − xB

yC − yB

−

−2 2

Длина высоты находится какmatemрасстояние от точки А до прямой ВС:

3 (−3) +

1 10 −11

−10

Axр+ By +C

= 10 .

+ B2

+12

Задача

27.

Найти

расстояние

между

параллельными

прямыми

2x −3y −5 = 0 и 2x −3y +21 = 0 .

Решение. Возьмем точку на прямой

2x −3y −5 = 0 . Пусть

y = 0, тогда

2x −5 = 0 или x =

= 2,5 . Итак, точка М(2,5;0) лежит на прямой 2x −3y −5 = 0 .

Находим расстояние от точки М до прямой 2x −3y +21 = 0 :

d =

2 2,5 −3 0 +21

= 2 13 .

22 +(−3)2

Задача 28.	Составить уравнение	прямых, параллельных	прямой
3x −4 y −10 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 3.
Решение. У	параллельных прямых	коэффициенты при х	и у

пропорциональны. Разделив почленно уравнение искомых прямых на коэффициент пропорциональности, его можно записать в виде 3x −4 y +C = 0 .

Далее возьмем произвольную точку на данной прямой. Для этого значение x положим, например, равным 2. Значение же y найдем из

уравнения:

3 2 −4 y −10 = 0 y = −1.

Таким образом, имеем точку M (2; −1) .

Найдем расстояние точки М от искомых прямых и приравняем расстоянию d = 3:

3 =

3 2 −4 (−1) +C

15 =|10 +C | .

32 +(−4)2

Убирая знак абсолютной величины, получим два"Нуравнения 15 =10 +C и

= 5 и C2 = −25 .

15 = −10 −C . Откуда для

находим

два значенияЗ :

Следовательно, имеем две

прямые

3x −4 y −25 = 0 ,

3x −4Вy +5 = 0

параллельных данной 3x −4 y −10 = 0 .

ти

те

org

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

matem

второго порядка. Окружность

2.1. Общее уравнение кривойе

Линией или кривойвторого порядка называется плоская кривая, которая

описывается уравнением второй степени относительно текущих координат х

и y . В общем случае такое уравнение имеет вид

+ Bxy

+Cy

+ Dx + Ey + F = 0 ,

(13)

где А, В, С, Д, Е, F – заданные действительные числа. При этом числа А, В, С одновременно не равны нулю.

На самом деле может случиться, что нет вовсе точек (х,у) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (13). В этом случае говорят, что уравнение (13) определяет мнимую кривую второго порядка.

Уравнение x2 + y2 = −1 может служить примером уравнения второй

степени, определяющего мнимую кривую.

Рассмотрим важные частные случаи общего уравнения второй степени. Простейшая линия второго порядка – окружность.

Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром.

Если O1(x0 , y0 ) – центр окружности, r – ее радиус, а M(x,y) – произвольная (текущая) точка окружности, то

r2 =	O M	2	или (x − x	)2 +(y − y	0	)2	= r2 .	(14)

	1		0

Это уравнение называют нормальным уравнением окружности. В него входят три параметра: координаты центра окружности и ее радиус.

Перенеся начало координат в центр окружности, т.е. полагая x0 = 0 и y0 = 0 , получим наиболее простое уравнение

x2 + y2 = r2 ,

(15)

которое называют каноническим уравнением окружности.

Раскрывая скобки в уравнении (14), получают общее уравнение

окружности

+ y

+ mx

+ nx + p = 0

(16)

Здесь m = −2x0 , n = −2 y0 ,

−r

p = x0

+ y0

Сравнивая уравнения

(16)

и (13),

приходим к выводу, что общее

ти

уравнение (13) может определять окружность, если в нем A =C и B = 0 .

Заметим,

что,

рассматривая

при

зн чениях А, В, С уравнение (13) и

выделяя в нем

полные

квадраты

те

и у, можно прийти в

по

переменным.ua

org

зависимости от значений D, E, F к уравнениям вида

(x − x )2 +( y − y )2

matem

)2 +( y − y )2 = 0 .

= −1

илий(x − x

В первом случае говорятш, что уравнение определяет мнимую окружность,

во втором – точку

(x0 , y0 )ына плоскости (случай вырождения окружности в

точку).

Обозначим через t (0 ≤t < 2π)

центральный

угол точки M (x, y) ,

движущейся по окружности (рис. 12)

положительном

направлении

(против

часовой стрелки). Тогда из

∆OMN получаем:

x = a cost

(17)

y = asin t

Эти

уравнения

называются

параметрическими

уравнениями

окружности.

Рис. 12

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.2016924.3 Кб238Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб2Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx
#
06.06.2015755.71 Кб33ch5 в работе.doc