kvant_mech

Новосибирский Государственный университет Кафедра общей физики

ЛЕКЦИИ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ

раздел «Квантовая и ядерная физика»

для биологических специальностей ФЕН,

второй курс, 2-й семестр

Новосибирск

2009

1

Введение Элементарная теория строения атома

Лекция 1

§1 Модель Томсона

К концу XIX века в результате изучения электролиза, газового разряда и катодных лучей было установлено, что

а) Существуют мельчайшие частицы атомы химических элементов, имеющие размеры ~10-8 см

б) В их состав входят электроны и положительные заряды, а значит, они не неделимы.

Встал вопрос, как они устроены?

Первая гипотеза о строении атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Поскольку мы знаем, что статическая система точечных зарядов неустойчива, а предположить в стабильном атоме что-либо движущееся было трудно, согласно этой гипотезе атом представляет собой равномерно заряженную положительным зарядом сферу, в которой “плавают” электроны, число которых таково, что они нейтрализуют объёмный заряд Q. В случае водорода электрон один.

где Ra – радиус сферы, r –радиус-вектор электрона. На элек-

трон действует сила, направленная к центру сферы:

2

Можно записать уравнение движения электрона в виде:

mr = − Ze32 r .

Ra

Это уравнение гармонических колебаний с частотой

ω= Ze23 12 .

mRa

Если подставить m=9∙10-28, e=4,8∙10-10 и R~10-8см, то ω ~10-15сек-1, что близко по порядку величины с частотами излучения легких атомов, известными из эксперимента.

Однако модель Томсона противоречила другим экспериментальным данным, и прежде всего классическим опытам Резерфорда по рассеянию α-частиц в веществе.

§2 Ядерная модель Резерфорда. Формула Резерфода

В экспериментах, поставленных Резерфордом, «внутренность» атомов зондировалась потоком α-частиц – дважды ионизованных атомов гелия He++, испускаемых некоторыми радиоактивными веществами имеющими огромную скорость ~ 109см/сек. В опытах поток коллимированных частиц падал на очень тонкую фольгу такую, что каждая α-частица с заметной вероятностью проходит только через один атом, Она отклоняется его полем на угол θ и попадает на экран, покрытый тонким слоем сернистого цинка, в котором под действием α-частиц возникают вспышки. Их считают с помощью микроскопа. Экран поворачивается так, что можно установить число вспышек за заданное время в зависимости

3

от угла θ при изменении θ от 0 до 180°. Чтобы избежать искажений из-за столкновения с атомами воздуха, вся система находится в вакууме.

d2

θ

Рис. 1 Согласно модели Томсона электрические поля в атоме до-

вольно слабые, даже на его периферии, и частицы могли бы отклоняться на очень малые углы.

Действительно:максимальныйуголотклоненияимеетпорядок

4

ВопытахРезерфорда,хотячислочастиц,рассеянныхнаугол θ, резко убывает с увеличением θ, но тем не менее, некоторая, весьма малая часть рассеивается на значительные углы, вплоть до близких к 180°. Опыты показали, что в атомах существуют поля примерно в 1010 раз более мощные, чем в модели Томсона, но занимают они очень малые объёмы т.к. доля рассеянных на большие углы α-частиц очень мала.

Всвязи с этим, Резерфорд предложил новую,– ядерную модель атома, согласно которой в центре его находится весьма малое положительно заряженное образование – ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а на периферии – легкие

электроны. Оценить размер ядра можно следующим образом:

примерно 10–15 объёма атома! Почти весь объём для α-частиц прозрачен, т.к ввиду большой разницы масс (~8000 раз) столкновения α-частиц с электронами не могут привести к скольконибудь заметному рассеянию.

Формулу Резерфорда можно получить, если вспомнить задачу об инфинитном движении в поле отталкивающего центра, которую мы рассматривали в механике.

Чтобы попасть в угол dθ , лежащий вблизи, нужно пройти

черезплощадку dρ ,имеющуюприцельныйпараметрвблизиρ. Ранее (в «Механике») была получена связь между углом откло-

5

Введем понятие эффективного сечения рассеяния dσ . В классической физике это – площадь кольца, через которую должна пройти частица, чтобы угол рассеяния лежал между θ и θ +dθ, т.е. dσ =2πρ|dρ|. Дифференцируя ρ,

Рис. 2

Есливвестителесныйугол,образованныйконусамисуглами при вершине θ и θ+dθ, то dΩ = 2πsinθ dθ, получим для одного

Пусть теперь на мишень площадью S и толщиной l падает

6

N α-частиц за 1 секунду и мишень содержит n атомов в единице объёма. Тогда общее эффективное сечение равно величине dσ, умноженной на число атомов в площадке S мишени равное произведению Sln. Отношение этого произведения к площади мишени и есть доля α-частиц, рассеянных в интер-

вале углов [θ, θ+ dθ ] в телесный угол dΩ или:

Это и есть формула Резерфорда.

§3 Экспериментальная проверка формулы Резерфорда, её недостатки

Из формулы Резерфорда следует, что

Экспериментподтвердилэтуформулуприизмененииsin4θ/2 в несколько тысяч раз с точностью 20-30% в пределах ошибки измерения. Однако при больших углах рассеяния наблюдались нарушения закона Резерфорда. Согласно исходной формуле, это соответствует малым прицельным параметрам ρ и, следо-

вательно, малым расстояниям между α-частицами и поверхностью ядра. Это дало возможность оценить радиус ядра. Если

7

Т.к. величины n, l, Eα, dΩ и θ могут быть в эксперименте измерены, то изучение рассеяния дает возможность измерить заряд ядра Q.

Опыты сотрудника Резерфорда – Чэдвика показали, что Q = Ze, где Z с хорошей точностью совпадает с порядковым номером атома в таблице Менделеева. Таким образом, весь положительный заряд атома сосредоточен в ядре.

Наряду с успехами, модель Резерфорда натолкнулась на существенные затруднения.

Три главные из них:

1. Статическая модель Резерфорда невозможна ввиду неустойчивости системы свободных зарядов, поэтому предполагалось, что электроны, подобно планетам, движутся в атоме по замкнутым траекториям, поэтому модель стали называть планетарной. Однако электроны несут заряд, и по законам электродинамикионидолжнынепрерывноизлучатьэнергиюввиде электромагнитных волн, т.к. движение по замкнутым траекториям есть движение с ускорением.

Мы уже (в электродинамике) получали формулу для мощности излучения или, что всё равно, потерь энергии элементарного излучателя (вибратора):

− dEdt = 23ce32 (r)2

Для одноэлектронного атома полная энергия электрона: E = Ek +U = me2V 2 − Zer 2 . Допустим, что, несмотря на потери,

электрондвижетсяприближеннопокруговойорбитерадиусаr, тогда из второго закона Ньютона:

8

Подставим все это в формулу для мощности излучения:

2.Приразныхпроцессахполученияатомов,например,водорода через электролиз или путем растворения цинка в соляной кислоте, энергетические характеристики процесса будут разными. От величины энергии в задаче Кеплера зависит размер большой полуоси, или при круговой орбите величина радиуса орбиты. По этой причине размеры атомов по Резерфорду должны были бы зависеть от способа их получения, что противоречило всем экспериментам, в которых измерения размеров атомов производились или оценивались. Размеры атомов данного элемента неизменно оказывались одинаковыми.

3.Не находят объяснения линейчатые спектры излучения.

9

Лекция 2

§4 Постулаты Бора для водородоподобных атомов. Теория Бора для круговых орбит

Затруднения модели Резерфорда привели к тому, что в 1913 году Нильс Бор сделал следующий важный шаг в развитии теории атома. Он исходил из того, что устойчивость атомов можно объяснить только допустив, существование таких орбит, двигаясь по которым электроны не излучают! Уже в этом пункте теория Бора вступила в противоречие с классической механикой, т.к. движение по криволинейным траекториям всегда есть движение с ускорением, и электрон должен излучать электромагнитные волны.

Для водородоподобных атомов Бор сформулировал три постулата.

1-ый постулат:

В бесконечном множестве орбит, возможных согласно законам классической физики, существует ряд орбит, их называют стационарными, двигаясь по которым электрон не излучает энергию. Вследствие этого, находясь на n-ой орбите, он обладает постоянной энергией En. Т.к. атомы, согласно эксперименту, всё же поглощают и излучают энергию, то это может происходить только при переходе с одной стационарной орбиты на другую.

Руководствуясьидеяминарождавшейсятогдаквантовойтеории света Планка-Эйнштейна, по которой свет излучается порциями – квантами, Бор формулирует

10