kvant_mech

Из вида последнего уравнения, если принять, что производная среднего равна среднему от производной ddtL = dLdt , вытекает,

что оператор производной по времени следует определить как

L = const .МеханическаявеличинаL вэтомслучаеназывается интегралом движения и имеет место сохранение L . Этоотнюдь

91

не означает, что L имеет определенное значение, что имеет место тольковтакихсостояниях,волновымифункциямикоторыхявляют-

сясобственныефункцииоператора Lˆ (Lˆϕn = Lnϕn ). Если же Lˆ коммутирует с Hˆ , то эти функции совпадают с собственными функциями гамильтониана Hˆ (стационарными функциями) и

e− i Ent

имеют временнýю зависимость вида: .

Разложим произвольную Ψ(x,t) по общим собственным функциям операторов Lˆ и Hˆ , которые мы здесь обозначили

ϕn. ψ(x,0) = ∑cnϕn (x);

ψ(x,t) = ∑cn (0)ϕn (x)e−iEnt = ∑cn (t)ϕn (x).

Отсюдавидно,чтовероятностьтого,чтовеличинаL (интеграл движения)всостоянии,описываемомΨ(x,t),принимаетзначение

Ln,постоянна во времени: wn (t)= cn (t)2 = cn (0)2 = wn (0). ЕслипотенциальнаяэнергиянезависитотвремениU=U(x,y,z)

(консервативное поле), то dHdtˆ =[Hˆ ,Hˆ ]= 0 и мы приходим к

законусохраненияэнергии.Подчеркнемопять,чтоэтововсене значит, что энергия обязательно имеет определенное значение. Это имеет место только в состояниях, описываемых собствен-

ными функциями оператора Hˆ (Hˆψ = Eψ ).

Найдем теперь производные по времени операторов коорди-

нат и проекций импульса. Поскольку Û коммутирует с xˆ , от гамильтониана остаются только вторые производные:

92

= −im ∂∂ψx = pmˆ x ψ , откуда

второй закон Ньютона для операторов и соответствующих им средних значений.

Из (18.6), в частности, следует, что если U=U(y, z, t) не зависит от x, то, как и в классике, имеет место закон сохранения х-компоненты проекции импульса:

dpdtˆx = 0 и pˆx = const .

93

Центральное поле. Атом

ЛЕКЦИЯ 13

§35 Момент импульса.

Операторы проекций и квадрата момента импульса. Соотношения коммутации для них

Рассмотрим частицу, движущуюся под действием силы, всегда направленной в одну точку пространства (в центр) или от нее. Такое поле сферически симметрично и зависит только

от расстояния до центра (модуля радиус-вектора) U =U (r).

В классической механике, как мы видели, доказывается, что в таком поле имеет место закон сохранения момента импульса:

l =[r × p]= const, движение плоское, т.е. траектория лежит

воднойплоскостиперпендикулярной l .Вквантовоймеханике проекциям момента импульса сопоставляются операторы:

Покажем, что эти операторы в общем случае не коммутируют между собой.

94

lˆxlˆy −lˆylˆx = (ypˆ ˆz − zpˆˆ y )(zpˆˆ x − xpˆˆz )−(zpˆˆ x − xpˆˆ z )(ypˆ ˆ z − zpˆˆ y ) =

= ypˆ ˆ z zpˆˆ x − ypˆ ˆ z xpˆˆ z − zpˆˆ y zpˆˆx + zpˆˆ y xpˆˆz − zpˆˆx ypˆ ˆz + zpˆˆx zpˆˆ y + xpˆˆz ypˆ ˆz − xpˆˆz zpˆˆ y=

= ypˆ ˆ z zpˆˆx − zpˆˆx ypˆ ˆz + zpˆˆ y xpˆˆz − xpˆˆz zpˆˆ y = pˆz zypˆˆ ˆx − zpˆˆz ypˆ ˆx + zpˆˆz xpˆˆ y − pˆz zxpˆˆˆ y = = pˆz zypˆˆ ˆx − pˆ z zxpˆˆˆ y − zpˆˆ z ypˆ ˆ x + zpˆˆ z xpˆˆ y = pˆ z zˆ(ypˆ ˆ x − xpˆˆ y )+ zpˆˆ z (xpˆˆ y − ypˆ ˆ x ) = = (zpˆˆz − pˆz zˆ)(xpˆˆ y − ypˆ ˆ x ) = i (xpˆˆ y − ypˆ ˆ x ) = i lˆz !

Откуда циклическими перестановками получаем соотношениякоммутациидляостальныхпроекцийвекторамоментаколичествадвижения: lˆylˆz −lˆzlˆy = i lˆx и lˆzlˆx −lˆxlˆz = i lˆy , следовательно, операторы проекций момента движения не коммутируют между собой, и сами проекции не имеют одновременно в одном и том же состоянии определенных значений. Исключение составляет состояние, в котором все три проекции равны нулю.

lˆx = lˆy = lˆz = 0.Какмыувидим,такомусостояниюсоответ-

ствует сферически симметричная волновая функция Ψ=Ψ(r). Покажем теперь, что операторы проекций импульса коммутируют с оператором квадрата проекции импульса

lˆ2 = lˆx2 +lˆy2 +lˆz2 . Достаточно показать, что lˆz коммутирует с lˆx2 +lˆy2 . Имеем:

= (lˆzlˆx −lˆxlˆz )lˆx +(lˆzlˆy −lˆylˆz )lˆy −lˆx (lˆxlˆz −lˆxlˆz )−lˆy (lˆzlˆy −lˆylˆz ) = = i lˆylˆx −i lˆxlˆy −lˆxi lˆy +lˆyi lˆx = 0

И, следовательно, lˆzlˆ2 −lˆ2lˆz ≡[lˆz ,lˆ2 ]= 0. Таким образом существуютсостояния,вкоторых lz и l2 имеютодновременноопределенные значения, однако в этих состояниях lx и ly таковых

95

не имеют (за исключением состояния, при котором lx=ly=lz=0 и

l 2 = 0). Заметим также, что проекция вектора момента количества движения на плоскость XOY,соответствующая операто-

ру lˆXOY2 = lˆx2 +lˆy2 , имеет определенное значение.

Ось Z может иметь произвольное направление в пространстве, оно обычно задается каким-нибудь силовым воздействи-

ем. Это значит, что, измерив проекцию вектора l на это произвольноенаправлениеиквадратдлиныэтоговектора,мыделаем неопределенными его любые его проекции на плоскость, перпендикулярную оси Z. Этим свойства квантово-механического

вектора l коренным образом отличаются от классического. Упрощенно можно представить себе вектор l описывающим конус с постоянной высотой lz , направленной вдоль оси Z, и заданным квадратом длины l2 , при этом проекции lx и ly не определены, а квадрат проекции l на плоскость XOY имеет

ϕ= arctg x .

y

96

Производные, входящие в выражения для операторов проекций момента импульса представляются формулами вида:

Выполнив подстановки и простые, но громоздкие преобразова-

ния, можно получить явный вид операторов lˆz , lˆ2 и оператора Лапласа ∆.

lˆz = −i ∂∂ϕ ; lˆ2 = − 2∆; ∆ψ = 1r ∂∂r22 (rψ )+ ∆rψ2 ,

где дифференциальный оператор ∆ называется угловым лапласианом и выражается формулой:

§36 Собственные функции

исобственные значения операторов проекций

иквадрата момента импульса

По определению действие оператора lˆz должно превращать функцию в самое себя, умноженную на собственное значение поэтому:

Ae− i lzϕ ,

где А может зависеть от r и θ. Требование однозначности волновой функции означает, что на Ψ необходимо наложить условие периодичности, чтобы она не менялась при увеличении

97

угла на 2π откуда: e− i lz 2π =1, т.е. собственные значения lz=mħ и собственные волновые функции оператора проекции вектора

момента количества движения lˆz , принадлежащие этим собственным значениям, имеют вид: ψm = Ae−imϕ , где m=0, ±1,

Найдем теперь собственные значения оператора lˆ2 . Имеем: lˆ2 = lˆz2 +(lˆx2 +lˆy2 ), и воспользуемся, как в задаче об осцилляторе, разложением на операторные сомножители с введением повышающего и понижающего операторов: и lˆ− = lˆx −ilˆy . Произведения этих операторов:

lˆ+lˆ− = lˆx2 +lˆy2 +i(lˆylˆx −lˆylˆx ) = lˆx2 +lˆy2 + lˆz2 или lˆx2 +lˆy2 = lˆ+lˆ− − lˆz2 и

lˆ−lˆ+ = lˆx2 +lˆy2 −i(lˆylˆx −lˆylˆx ) = lˆx2 +lˆy2 − lˆz2 . или lˆx2 +lˆy2 = lˆ−lˆ+ + lˆz2

Откуда для оператора lˆ2 можно получить две формулы:

Подействуем на это уравнение оператором lˆ+ и воспользуемся соотношениями коммутации.

98

Откуда следует, что lˆ+ψm является собственной функцией оператора lˆz принадлежащейсобственномузначениюlz=(m+1) ħ и, следовательно, lˆ+ – повышающий оператор, поскольку он

увеличивает собственное значение lˆz на ħ.

Момент импульса не может быть бесконечным, а его проекция не может превышать величину самого момента, следова-

тельно, величина m должна иметь верхний предел, обозначим его l. Тогда lˆzψl = l ψl è lˆ+ψl = 0. Подействуем на Ψl оператором lˆ2 , и преобразуем его по второй формуле (А):

lˆ2ψl = (lˆz2 + lˆz )ψl +lˆ− (lˆ+ψl {= 0}) = lˆzl ψl + lˆzψl =

= (l +1)lˆzψl = 2l(l +1)ψl

Таким образом. Ψl является собственной функцией операто-

ра lˆ2 , а величина ħ2l(l+1) – его собственным значением, которому принадлежит эта функция.

В силу симметрии задачи относительно направлений z и –z, ясно, что существует и минимальное значение числа, равное

–l. Подобно тому, как мы это делали с оператором lˆ+ , можно доказать, что оператор lˆ− понижает на ħ собственные значения lˆz . И, повторяя все рассуждения, мы приходим к выводу, что m может принимать все целочисленные значения от –l до +l,

99

т.е. m = –l, –l+1, –l+2, …, –1, 0, 1, 2,…, l–1, l. Всего 2l+1 «штук».

Т.к. lˆz и lˆ2 коммутируют, то они имеют общие собственные функции, которые должны иметь вид произведения функции

e−imϕ на функцию угла θ. Обозначим эти собственные функции Ylm (θ,ϕ). Они в математике известны и называются сферическими или шаровыми функциями. Запишем их вид:

Ylm (θ,ϕ) = APlm (θ)e−imϕ .

Вспоминая связь оператора lˆ2 с угловым лапласианом и его собственные значения, действуя им на Ylm (θ,ϕ), получаем

−lˆ2 Ylm (θ,ϕ) = ∆Ylm (θ,ϕ) = −l(l +1)Ylm (θ,ϕ),

2

или, раскрывая угловой лапласиан и Ylm (θ,ϕ), имеем дифференциальное уравнение:

= −l(l +1)Plm (θ)eimϕ

Выполняя дифференцирование по ϕ и сокращая экспонен-

Решения этого уравнения непрерывные и однозначные при 0 ≤ θ ≤ π хорошо известны в математике и называются присоединенными функциями Лежандра. Мы не будем заниматься

100