kvant_mech

Уравнение Шредингера

ЛЕКЦИЯ 6

§15 Операторы импульса и кинетической энергии, гамильтониан

Теперь установим способ нахождения волновой функции

ψ(x,y,z,t) ≡ψ(r,t).

Нам известен только вид ее для свободной частицы:

Формулы наводят на мысль, что величинам E и pxk следу-

будем операторами квантовой механики и их свойствами заниматься позднее. Пока достаточно сказать, что оператором мы называем«рецепт»,показывающий,чтонадосделатьсфункци-

ей, стоящей правее символа оператора. В нашем случае pˆxkψ означает, что Ψ нужно продифференцировать по хк, умножить

41

на –ih и поделить на 2π.

Поскольку кинетическая энергия свободно движущейся частицы есть квадратичная функция проекций импульса можно

Подействуем соответствующим оператором проекции импульса второй раз

Если последнюю формулу разделить на 2m, можно для Ψ получить уравнение в частных производных и ввести оператор кинетической энергии Êk:

ЕсличастицанаходитсявпотенциальномполеU(x,y,z,t),где, в общем случае потенциальная энергия может явно зависеть от времени, возникает вопрос, как обобщить уравнение (5.3)? Для свободно движущейся частицы кинетическая энергия равна полной (Ек=Е). В поле – Е=Ек + U(x,y,z,t). Мы можем записать своеобразный «закон сохранения энергии» в виде:

Ĥ называется оператором полной энергии или оператором Га-

мильтона. Во втором слагаемом Ĥ потенциальную энергию можно также рассматривать как результат действия оператора

умножения U (r,t) на Ψ-функцию.

42

Уравнение (5.4) было получено Шредингером и носит его имя. Это уравнение однородное и поэтому оно определяет Ψ-функцию с точностью до постоянного множителя, который может быть и комплексным. Читатель, наверное, заметил, что предыдущее рассуждение не вывод уравнения, а некоторое наведение на путь его установления. Вывести его нельзя, как нельзя вывести 2-ой закон Ньютона и уравнения Максвелла, которые получаются обобщением опытных данных. Уравнение Шредингера "правильное" потому, что все без исключения его следствия подтверждаются экспериментом и неизменно правильно предсказывают результаты эксперимента там, где он еще не проводился.

§16 Уравнение Шредингера и принцип причинности в квантовой механике

Уравнение Шредингера является уравнением 1-го порядка по времени, это значит, что при известном потенциале U (r,t) достаточно задать ψ(r,0), чтобы найти ее продолжение через (5.4). Т.к. с квантово-механической точки зрения Ψ полностью определяет состояние частицы, мы приходим к формулировке принципа причинности в квантовой механике:

Знание силового поля U (r,t) и начального состояния ψ(r,0) однозначно определяет последующую эволюцию состояния ψ(t). Эта формулировка напоминает классическую. Разница в том, что само понятие «состояния» определяется только статистически, вероятностно, через функцию ψ(r,t), а не классически с помощью координат и скоростей или импульсов.

Рассмотрим некоторые следствия уравнения Шредингера.

43

§17 Плотность и ток вероятности

По интерпретации Борна плотность вероятности ρ нахождения частицы вблизи точки с координатами x, y, z, в момент времени t пропорциональна |Ψ| 2 Ψ*Ψ. Здесь мы будем считать, чтоρ=Ψ*Ψ,т.к.постоянныйкоэффициентздесьнебудетсущественным, и мы найдем его позже из физических соображений. Будем исходить из известного в классической физике уравне-

ния неразрывности:∂∂ρt +div j = 0, которое, в данном случае,

выражает закон сохранения полной вероятности: ∫∫∫ρdV =1,

а вектор j можно трактовать как плотность тока вероятности.

Его величина задает вероятность того, что частица за единицу времени пройдет через единичную площадку, перпен-

дикулярную вектору j , а его направление определяет наиболее вероятное направление движения частицы в данной точке в

Воспользуемся сопряженным уравнением Шредингера:

44

здесь мы использовали, что ∆=div grad.

Простейшее допущение совместимое с этой формулойj = 2im (ψ gradψ*−ψ*gradψ), которое мы примем за опреде-

ление вектора j .

Если волновая функция вещественна, Ψ=Ψ*, то j =0. Это означает, что вещественные Ψ-функции описывают только специальные бесстоковые состояния частицы ("стоячие волны").

§18 Требования к волновым функциям

зический смысл плотности и плотности тока вероятности, то

ψ(r,t) и ее производные должны удовлетворять очевидным математическим требованиям.

1.Быть везде непрерывными и однозначными;

2.Оставаться везде конечными, включая область r → ∞, если она достижима в данной задаче;

3.И, наконец, удовлетворять условию нормировки: .

∫ ∞∫ ∫ψ *ψdV =1

−∞

Все эти требования вытекают из естественных ограничений, связанных с интерпретацией произведения ΨΨ* как плотности вероятности. Например, третье требование означает, что вероятность найти частицу во всей области существования равна единице, т.е. рассматриваемая частица вообще существует, присутствует.

45

ЛЕКЦИЯ 7

§19 Стационарные состояния. Одномерные задачи

Пусть потенциальное поле не зависит от времени (стационарно) U =U (x,y,z). В этом случае уравнение Шредингера допускает разделение переменных пространственных x,y,z и времени t. Действительно, представим волновую функцию в виде:Ψ=f (t) Ψ0(x, y, z), подставим это выражение в уравнение Шредингера и разделим обе части на Ψ.

этого уравнения зависит только от времени, а правая – только от координат, то обе должны быть равны одной и той же постоянной Е, имеющей размерность энергии. В итоге получаем

тель оставляем в Ψ0). Сравнивая с волной де Бройля, видим, что постоянная, действительно, должна представлять энергию частицы. Это подтверждается видом уравнения (6.2), в котором в левой части стоит оператор Гамильтона (полной энергии частицы).

46

− i Et

Решения вида: ψ = e ψ0(x,y,z) определяют так называемые стационарные состояния. Легко видеть, что в таких состояниях и вероятность и плотность тока веро-

Уравнение Hˆψ0 = Eψ0 называется уравнением Шрединге-

ра для стационарных состояний в отличие от временнóго (5.6). В дальнейшем (за исключением теории излучения) мы будем иметь дело, главным образом, с этим уравнением и Ψ0 обозначатьпростоΨ,незабывая,когданужноумножатьнавременнýю экспоненту.

В случае, если волновая функция зависит только от одной координаты уравнение Шредингера принимает вид:

Это уравнение является однородным уравнением второго порядка, хорошо известно. Его решениями при E>U является

суперпозиция гармонических функций ψ = Aeikx + Be−ikx ,

понент с действительным показателем ψ = Ceλx + De−λx , где

деляются в каждой задаче из конкретных граничных условий.

47

Рассмотрение более простых одномерных задач полезно т.к. уравнение Шредингера допускает разделение переменных, в декартовых координатах это бывает тогда, когда

U =U1(x)+U2 (y)+U3(z), но нам придется иметь дело и с разделением переменных в сферических координатах.

§20 Теорема о связи характера движения со спектром энергии

Докажем одну весьма общую теорему о связи между характером движения частицы и ее энергетическим спектром, имеющуюфундаментальноезначение.Пустьпотенциальнаяэнергия U имеет самый общий вид функции с горбами и впадинами, на обеих «бесконечностях» асимптотически приближающих-

С точки зрения классической механики характер движения частицы при больших |х| зависит от Е. Если Е>Ui (i=1,2), то частица может удаляться сколь угодно далеко. Движение инфинитно. Если же Е<Ui, то движение ограничено точками поворота (х1 или х2) и в данном направлении является финитным.

Дляквантовоймеханики,какивклассике,возможныразлич-

ные случаи:

1. Пусть при х → - , U(x)→U1 и Е>U1. В этом случае, при больших отрицательных х решение уравнения Шредингера имеет вид типа А, состоит из двух линейно независимых реше-

48

ным множителем) при любых х изображают волну, движущуюся в положительном и отрицательном направлениях оси ОХ неограниченно.

2. Если Е<U1, мы имеем решение типа Б: ψ = Ceλ1x + De−λ1x ,

убывает при х → - , а другое e−λ1x неограниченно возрастает.

3. В другом направлении, при х → , U(x)→U2 все заклю-

чения п.п. 1 и 2 будут аналогичными как для Е>U2, так и для Е<U2, нужно только заменить в соответствующих формулах индекс «1» на «2» и не забыть, что во втором случае неограниченно нарастать по амплитуде будет волна eλ2x .

Выводы:

1.При Е>Ui решения в виде прямой и обратной волн остаются конечными и инфинитными в соответствующих направлениях и, в этом смысле, совпадают с классическими представлениями.

2.При Е<Ui неограниченно возрастающие решения нужно отбросить, как не имеющие физического смысла. Затухающие решения означают, что возможно проникновение частиц в классически недоступную область. Поскольку

ρψ 2 e−2λi x → 0, вероятность найти частицу убывает в е

раз на глубине |x|=1/2λi.

Мыобсудилиповедениеприближенныхрешенийприx →± , перейдем теперь к точным решениям.

Как любое дифференциальное уравнение второго порядка

49

уравнение Шредингера имеет два линейно независимых решения, будем обозначать их ϕ1 и ϕ2. Общее решение задается ли-

нейной комбинацией:

Ψ=ϕ1(x)+Aϕ2(x).

Поскольку уравнение однородное, то решения определены с точностьюдопостоянногомножителяикоэффициентприϕ1(x) можно положить равным единице.

Рассмотрим теперь три области значений энергии.

1. Е<U2<U1. Выберем решения для ϕ1 и ϕ2 так чтобы они на – вели себя соответственно этому условию. Тогда в этой области

Первое слагаемое играет роль волны, падающей на область потенциала слева, а вторая отраженной волны. Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить Ψ на временной множитель, тогда аргумент у первой экспоненты будет иметь вид разности координатного и временнóго члена – волна идет в сторону возрастающих x, а у второй экспоненты – суммы – волна направлена в сторону уменьшения x. А играет роль своеобразного «коэффициента отражения».

При х → + ϕ1 и ϕ2 изменятся и перейдут во вполне опре-

деленные линейные комбинации функций eik2x и e−ik2x , являющихся приближенными решениями при х → + , и функции ϕi будут иметь вид:

Коэффициенты, если задан потенциал U(x), являются однозначно определяемыми функциями энергии. Подставляя (9.10)

в (9.9), имеем:

50