Кольца и их свойства

Кольца и их свойства

Определение. Непустое множество называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставя-

тельно сложения).

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1.Множество целых чисел.

2.Множество рациональных чисел.

3.Множество действительных чисел.

4.Множество рациональных чисел.

Если операция умножения коммутативна и обладает нейтральным (единичным) элементом, то говорят о коммутативном кольце с единицей.

1

Основные свойства кольца

I.Справедливы все групповые свойства для операции сложения

1.В кольце есть единственный 0.

2.У каждого элемента имеется единственный противоположный элемент.

3.Сумма любого числа слагаемых определена однозначно (обобщенный закон ассоциативности сложения).

4.a a для любого элемента a кольца.

5.Для любых элементов a,b из кольца существует единственное решение уравнения a x b . Оно обозначается b a и очевидно равно b a .

II.Для любых элементов a,b, c из кольца справедливы равенст-

ва:

3.c a b ca cb , a b c ac bc .

4.Поскольку кольцо есть мультипликативная полугруппа, то произведение конечного числа элементов определено однозначно (обобщенный закон ассоциативности для умножения).

5.Законы дистрибутивности справедливы для любого числа слагаемых.

Доказательство свойства 1.

0 0 0 0 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a

0 a 0 a 0 0 a 0 a 0 .

Доказательство свойства 2.

a a b 0 b 0 a b ab 0 . Следователь-

но, a b есть элемент, противоположный к элемен-

ту ab или a b ab .

Подкольца

Определение. Подкольцо — это подгруппа аддитивной группы кольца по сложению, замкнутая относительно операции умножения. Пример. Кольцо целых чисел является подкольцом поля действительных чисел и подкольцом кольца многочленов с целыми коэффициентами.

Критерий подкольца

Теорема. Для того чтобы непустое подмножество кольца было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы разность и произведение любых двух элементов из множества снова принадлежали

.

Доказательство. Необходимость этих условий очевидна.

Для доказательства достаточности предположим, что множество удовлетворяет условиям теоремы. Из того, что разность принадлежит , следует, что – аддитивная подгруппа. Имеется и замкнутость относительно умножения. Поэтому – подкольцо кольца .

Определение. Полем называется коммутативное кольцо P с

единицей, обладающее следующими свойствами:

2

3. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.

Подполе. Множество поля называется подполем , если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле . Тогда P называется надполем

или расширением поля .

Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее – подполем поля комплексных чисел.

Критерий подполя

Теорема. Для того чтобы множество поля , содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость утверждения очевидна, поскольку всякое подполе содержит результаты выполнения всех перечисленных операций.

Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечение любого множества подколец кольца есть подкольцо кольца . Доказательство ее вполне соответствует приведенному ниже доказательству для полей.

3

они принадлежат каждому подполю и по критерию подполя

также входят в каждое подполе , а значит, и в пересечение . В силу того же критерия, – подполе поля P.