Gorbachev_OsnoviTeoriiSluchajProtces[1]

Условие 2.2. Отсутствие последействия: для любого конечного набора непересекающихся полуинтервалов времени [t1, t1 + τ1), ..., [tn , tn + τn ) число событий в них K1, …, Kn — независимые в совокупности случайные величины.

Условие 2.3. Ординарность: вероятность появления более одного события в интервале времени длиною t — величина, малая относительно t, т.е.

Определение 2.1

Случайный процесс, отвечающий перечисленным условиям стационарности, отсутствия последействия и ординар-

ности, носит название простейшего потока событий или простого пуассоновского процесса.

Последнее название процесса объясняется тем, что распределение его сечений выражается известным из теории вероятностей распределением Пуассона. Чтобы убедиться в этом, покажем, что для его одномерного распределения (т.е. распределения каждого его сечения K(t)) справедлива формула

где λ – параметр распределения, смысл которого раскроется ниже (сокращенно (2.2) будет далее обозначаться

K(t) Po(λt)).

Пусть на интервале времени [0,T) осуществляется поток событий, удовлетворяющий условиям 2.1, 2.2, 2.3. Разобьем этот интервал на n равных непересекающихся отрезков (приняв без умаления общности и для упрощения записи T=1):

31

n

учтено условие стационарности потока событий). В силу условия отсутствия последействия события { A ti (k) } независимы в совокупности, а ввиду ординарности потока имеем

P{K( t) >1) =∑P1 (k) = 0( t).

k>1 n

Зафиксируем момент времени t, 0 < t < 1, и обозначим Bt(k) появление ровно k событий в интервале времени [0,t) и Pt(k) – вероятность этого события.

Определим целое число m условием

(последнее соотношение справедливо ввиду свойств отсутствия последействия и стационарности процесса).

Введем обозначение

p =P1 (0) = P1n (0) .

n

32

n

Далее, устремляя n и m к ∞ так, чтобы сохранялось соотношение (2.3), и используя свойство непрерывности вероятности, находим

Pt (0) = pt ,

или,вводя величину λ = −ln( p) ,

Pt (0) = e−λt =1 − λt + 0(t).

Используя теперь свойство ординарности процесса (Условие 2.3), получим Pt (1) = λt + 0(t). Заметим, что ввиду непрерывности вероятности существуют пределы

Наша задача состоит в выводе формулы для одномерного распределения рассматриваемого случайного процесса, т.е. для вероятности P{K(t) = k}, которая в наших обозначения равна Pt(k).

С этой целью для моментов времени 0 < t < t + t выпишем очевидные равенства

33

Wt (k) = (λkt!)k и

что и требовалось показать.

Рассмотрим теперь, как определяется система конечномерных распределений процесса K(t). Каждое входящее в эту систему n – мерное распределение для n, 0 < t1 <t2 < … tn из-за отсутствия последействия приводится к виду

P {K (t1 ) = k1 , K (t2 ) = k 2 ,..., K (tn −1 ) = k n −1 , K (tn ) = tn }=

=P{K(t1) = k1, K(t2 −t1) = k2 −k1,...,K(tn−1 −tn−2 ) =

=kn−1 −kn−2 , K(tn −tn−1) = kn −kn−1 } =

=P{K(t1) =k1}P{K(t2 −t1) =k2 −k1}...P{K(tn−1 −tn−2 ) =

=kn−1 −kn−2}P{K(tn −tn−1) =kn −kn−1}=

(2.3)

Все такие распределения (и, следовательно, вся система конечномерных распределений простого пуассоновского процесса) полностью конкретизируются скалярным параметром λ.

Для моментных функций математического ожидания MK(t) = mK(t) и дисперсии DK(t) = σK2(t) простого пуассоновского процесса находим

mK (t) =

34

σ2K (t) = MK 2 (t) − mK2 (t) =

ожиданию числа событий, происходящих за единицу време-

ни и потому носит название интенсивности потока событий.

Выражение для корреляционной функции простого пуассоновского процесса вытекает из следующих очевидных

вольных t1 и t2)

RK(t1,t2) =λmin(t1,t2). (2.6)

На рис.2.1 показан вид этой функции.

35

RK(t1, t2)

t2

Рис.2.1

Характер зависимости корреляционной функции RK (t1,t2 ) пуассоновского процесса от времени свидетельст-

вует о его нестационарности как в широком, так, следовательно, и в узком смысле; нестационарность процесса сохраняется и при его центрировании.

Внимательный читатель легко обнаружит противоречие между приведенными утверждениями: простой пуассоновский случайный процесс, удовлетворяющий условию стационарности в смысле Условия 2.1, оказывается нестационарным в обычном смысле, принятом в теории случайных процессов. Это недоразумение имеет, однако, чисто терминологический характер: в первом случае стационарность понимается как постоянство интенсивности потока λ, во втором случае нестационарность означает зависимость от времени распределений процесса. Для исключения двусмысленности,

36

вместо применяемого иногда неудачного термина нестацио-

нарный пуассоновский процесс ниже будет использоваться термин пуассоновский процесс с переменной интенсивно-

стью (§2.2) (иногда такой процесс называется также неодно-

родным [3]).

Ввиду непрерывности функций и mK(t) пуассо-

новский процесс оказывается непрерывным в среднем квадратичном (хотя все его реализации с вероятностью 1 разрыв-

ны). Вместе с тем, поскольку функция недифференцируема при t1 = t2 = t, пуассоновский процесс недифференцируем в среднем квадратичном при t (см. § 1.5).

Как известно, важным свойством распределения Пуассона является его устойчивость относительно суммирования независимых случайных величин, обладающих распределением этого типа. Это свойство распределения Пуассона выражается в следующих важных для практики свойствах простейшего потока событий.

Пусть во времени одновременно и независимо друг от

сумма числа событий в этих потоках к моменту времени t,

n

соновским с интенсивностью λ = ∑λi .

i=1

Подобный результат имеет место и в том случае, когда n простейших независимых потоков событий с интенсивностя-

ми λi , j = 1, ..., n, последовательно реализуются на непересекающихся отрезках [ti−1 ,ti ), образующих интервал времени

n

[0,t): [0,t)= U[ti−1 , ti ). Суммарное число событий, реали-

i=1

зуемых к моменту t, имеет распределение Пуассона с зави-

37

сящим от t параметром

Если рассматривать здесь t как текущее значение аргумента случайного процесса, то такой процесс представляет собой пример упомянутого выше пуассоновского процесса с переменной интенсивностью. Подробнее процессы такого типа рассматриваются в следующем параграфе.

Устойчивость простейшего потока (в смысле сохранения типа распределения) проявляется также в том, что при его случайном “просеивании” поток событий остается пуассоновским. Читателю предлагается проверить, что простейший поток с интенсивностью λ после “просеивания”, состоящего в удалении (независимо от других) каждого события с вероятностью p, превращается в пуассоновский процесс с интенсивностью (1-p)λ.

Свойства простейшего потока событий можно равноценно описать как распределением числа событий K(t) в интервале времени [0,t) (которое, как мы убедились, является распределением Пуассона), так и распределением интервала времени T между соседними событиями, которое оказывается показательным.

Действительно, для функции распределения интервала времени T между событиями в простом пуассоновском процессе имеет место равенство

FT (t) = P{T < t} =1 − P{K(t) = 0} =1 − e−λt ,

что соответствует показательному закону распределения случайной величины T с функцией плотности распределения

fT (t) = λe−λt ; t ≥ 0 .

Параметр λ имеет здесь прежний смысл интенсивности потока событий; математическое ожидание и дисперсия слу-

DT = 1λ2 .

38