Gorbachev_OsnoviTeoriiSluchajProtces[1]

служивания, если время пребывания его в очереди окажется больше значения случайной величины – времени ожидания Tож. Такая «нетерпеливость» объектов определяется общим для них распределением этой случайной величины; каждому объекту приписывается её реализация.

Пусть появление новых объектов, требующих обработки, покидание ими очереди без обработки, поступление объектов в устройства обработки и окончание их обслуживания представляют собой независимые случайные события и могут происходить в любые моменты времени, которое, таким образом, следует рассматривать как непрерывный аргумент рассматриваемого случайного процесса.

Как и в предыдущем примере, состояние системы в момент t определяется числом находящихся в ней в данный момент объектов. Система, таким образом, может находиться в

одном из m + n + 1 состояний . Обозначим Ai (i =0, m) такое её состояние, когда обслуживанием заняты ровно i устройств обработки (i ≤ m), и бункер не содержит ни одного объекта, а Am+ j ( j =1, n) – состояние системы, когда все m

УО заняты обслуживанием и в бункере ожидают обслуживания j объектов.

Предположим, далее, что входной поток объектов представляет собой простой пуассоновский процесс с интенсивностью λ, время обработки объекта Тобр в каждом УО распре-

(одинаковым для всех УО), а время ожидания объектом обработки Тож также имеет показательное распределение с па-

раметром ν = MT1ож (одинаковым для всех объектов). Пара-

метры μ и ν можно называть, соответственно, интенсивностью обслуживания объектов и интенсивностью покидания ими очереди. Последние предположения обеспечивают мар-

101

ковость исследуемого процесса ввиду известных свойств пуассоновского и показательного распределений.

Di(r) – окончание обработки за этот же отрезок времени ров-

но r объектов из i, находящихся в момент t в устройствах обработки и (или) поступивших в них за указанный интервал

( i =1, m + k, r ≤ i ), Fj( s) – покидание за это же время бункера s не дождавшимися обслуживания объектами из j там на-

P(Fj( s) ) = C sj (1 − e−ν t )s (e−μ t ) j−s P(Fj(0) ) =1 − jν t + o( t); P(Fj(1) ) = jν t + o( t); P(Fj( s) ) = o( t) (s >1).

принимаются независимыми в совокупности; предположим также, что они не зависят и от состояний системы.

Состояния системы в моменты времени t и t+ t связаны следующим логическими равенствами (в предположении ограниченной емкости бункера, т.е. n < ∞):

102

дизъюнкции конечного числа событий, вероятность каждого из которых есть величина, порядка малости не ниже 0( t), в

силу чего для i P(Oi ) →0. t t→0

Переходя к вероятностям рассматриваемых событий и устремляя t → 0, получим систему дифференциальных уравнений типа (3.30), из которых, имея в виду эргодичность рассматриваемого марковского процесса, после громоздких, но не сложных вычислений, получим предельное стационарное распределение состояний процесса, соответствующее стационарному режиму системы массового обслуживания, устанавливающегося при t → ∞ :

103

α=1

Если в (3.36) положить ν = 0, то получим систему уравнений, описывающих систему массового обслуживания без покидания очереди. Наоборот, формально полагая ν = ∞ , получаем систему без очереди (объекты, попавшие в бункер, немедленно покидают его, не дожидаясь обслуживания).

Наконец, если при n → ∞ ряд в знаменателе выражения для p0 сходится, то этот предельный переход приводит к системе с бункером неограниченной емкости. Когда указанный

ряд расходится, то p0 и все вероятности pi , pm+j оказываются равными нулю. Этот случай соответствует неэргодичности

процесса: с течением времени очередь, возникающая в бункере, неограниченно возрастает и стационарный режим не

устанавливается (например, при ν = 0 это имеет место, если mμ ≤ λ ).

3.4. Непрерывные марковские процессы. Уравнения Колмогорова и Колмогорова-Фоккера-Планка.

Перейдем, наконец, к рассмотрению марковских случайных процессов с непрерывным аргументом t T и несчетным множество возможных состояний S.

Обычно предполагается, что такой случайный процесс удовлетворяет условию непрерывности, смысл которого в различных задачах может варьироваться (ниже этот вопрос будет рассмотрен подробнее).

Марковское свойство процессов подобного типа (которые для краткости будем называть непрерывными марковскими процессами) выражается равенством (3.1) или, когда

104

существуют соответствующие плотности распределения, равенством (3.3).

Вместо переходных вероятностей, фигурировавших в соотношениях для марковских процессов с дискретным множеством состояний S, следует рассматривать условные функции или плотности распределения для пар сечений X1 = X(t1)

и X2 = X(t2) (t2 > t1): FX2 (v, t2 x1, t1 ) или f X 2 (v, t2 x1, t1 ) .

Найдем соотношения для этих условных распределений, аналогичные (3.25). Для этого зафиксируем три сечения X0 =

X(t0), X1 = X(t1), X = X(t) (t0 < t1 < t). Согласно формуле полной вероятности имеем:

FX (u,t | x0 ,t0 ) = P{X (t)<u | X (t0 ) = x0 } =

∞

∑P{X (t) < u | vi ≤ X (t1 ) < vi+1 , X (t0 ) = x0 }×

i=−∞

× P{vi ≤ X (t1 ) < vi+1 X (t0 ) = x0 } =

∞

= ∑P{X (t) < u | vi ≤ X (t1 ) < vi+1, X (t0 ) = x0} FX1 (vi | x0 ), (3.37)

i=−∞

где − ∞ < < vi < vi+1 < < ∞ разбиение пространства значений X1 = X(t1),

FX1 (vi | x0 ) = FX1 (vi+1 X (t0 ) = x0 ) − FX1 (vi X (t0 ) = x0 ).

Это равенство справедливо для любого разбиения множества значений X(t1) и сохраняется при предельном переходе sup | vi+1 − vi | → 0 , при котором правая сумма в (3.37) пе-

i

реходит в интеграл Стилтьеса:

FX (u,t | x0 ,t0 ) =∫FX (u,t | v,t1; x0 ,t0 )dFX1 (v,t1 | x0 ,t0 ),

105

Если существует плотность распределения значений случайного процесса, дифференцируя (3.38), получим

Полученные уравнения (3.38) и (3.39) носят название обобщенных уравнений Маркова или уравнений Смолуховского.

Основной вопрос, возникающий при изучении непрерывного марковского случайного процесса, как и прежде, состоит в анализе эволюции распределений (функции или плотности распределения) его состояний с течением времени. Эти эволюции описываются первым и вторым уравнениями Колмогорова.

Теорема 3.6. (Первое уравнение Колмогорова).

Пусть X(t) – непрерывный марковский случайный процесс, удовлетворяющий следующим условиям:

1)условная плотность распределения fX(u,t|x0,t0) существует и дифференцируема по t0 и трижды – по x0 с ограниченными производными;

2)выполняется условие непрерывности процесса, определяемое равенством

3)существуют пределы

106

Тогда для произвольных сечений процесса X0 = X(t0) и X = X(t) (t0<t) справедливо первое уравнение Колмого-

Нетрудно убедиться, что это условие непрерывности процесса является более жестким, чем условие непрерывности в среднем квадратичном, которое фигурировало в §1.4 (см. определение 1.27)).

Условие 3а означает, что при фиксированном значении любого сечения процесса X = X(t) начальная скорость изменения условного математического ожидания процесса конечна и равна величине a(x,t), называемой коэффициентом сноса. Условие 3б равным образом указывает на существование конечной начальной скорости изменения условной дисперсии процесса b(x,t), именуемой коэффициентом диффузии.

Дифференциальное уравнение (3.40) позволяет находить функцию условной плотности распределения f (x,t | x0 ,t0 ) по

ее частным производным в начальный момент времени. В связи с этим это уравнение часто называют обратным уравнением Колмогорова.

Чтобы получить (3.40), рассмотрим три сечения процес-

са X(t):

X (t0 ) = X 0 , X (t0 + t) = X1 , X (t) = X (t0 < t0 + t < t),

107

для которых обобщенное уравнение Маркова (3.39) имеет вид

тогда

108

В силу условий 1 и 3 два первых члена правой части последнего равенства имеют конечные пределы при t → 0. Последний член в силу условий 1 и 2 при t → 0 стремится к нулю. Существование конечного предела правой части последнего равенства приводит к (3.40).

В целях упрощения вывода первого уравнения Колмогорова и получения её в форме, удобной для практики, мы исходили из существования условной плотности распределения процесса. Можно, однако получить это уравнение и в терминах условных функций распределения, что повышает её общность. Заметим также, что при несколько иных предположениях условие непрерывности процесса при выводе уравнения может быть ослаблено, имея вид (в прежних обо-

(подробнее – см. [3].

При определенным образом измененных условиях справедливо второе уравнение Колмогорова (называемое также уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка), которое приводим без доказательства:

109

где a(x, t) и b(x, t) имеют смысл коэффициентов сноса и диффузии, но отнесенных к сечению Х=Х(t).Уравнение (3.42) нередко называют прямым уравнением Колмогорова.

Заметим, что случайные процессы рассмотренного типа носят название диффузионных, поскольку они описывают, в частности, диффузию частиц.

110