Лабораторная работа 10

Задачи принятия решений с субъективными моделями.

Метод аналитической иерархии .

Цель работы:

Знакомство с методом аналитической иерархии (МАИ).

Продолжительность работы: 4 часа

Оборудование, приборы, инструментарий – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакетаMatLab.

Порядок выполнения

1. Изучить теорию.

2. Выполнить задание.

3. Подготовить отчет, в который включить выполненное задание. Отчет должен удовлетворять следующим общим требованиям:

а) отчет должен быть представлен в виде документа MicrosoftWord, имя файла (пример):p_51m_Oleynik_T_09_1 (факультет_ группа_ Фамилия студента (латиницей)_ Инициал (латиницей)_номер лабораторной, семестр).

б) отчет должен формулировку задания; тексты скриптов и М-функций; результаты расчетов и выводы.

Краткие теоретические сведения

и практические упражнения

1. Метод аналитической иерархии (МАИ).

Метод МАИ предназначен для решения задач, при решении которых используются модели субъективного характера. При решении таких задач строится не модель окружающей нас реальности, а модель желаний, предпочтений, политики лица, принимающего решения (ЛПР).

Исходные данные. Общая цель (или цели) решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы.

Требуется: выбрать наилучшие альтернативы.

Общая схема метода состоит из следующих этапов.

1 этап.Первый этап заключается в структуризации в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии - альтернативы.

2 этап.На втором этапе ЛПР выполняет попарные сравнения элементов каждого уровня по важности. Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала относительной важности (табл. 1).

Шкала относительной важности Таблица 1

Количественное значение степени значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая важность	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Умеренное превосходство	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
5	Сильное превосходство	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очень сильное превосходство	Имеются убедительные свидетельства в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютное превосходство	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия над другим в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями

На втором и третьем уровнях иерархии проводится сравнительная оценка важности всех элементов:

- на уровне критериев по важности для достижения цели сравниваются критерии;

- на уровне альтернатив по каждому критерию по важности сравниваются альтернативы.

Оценки относительной важности критериев и оценки относительной важности альтернатив выставляются по шкале относительной важности (табл. 1) и заносятся в матрицы парных сравнений.

Заполнение матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если объект превосходит по важности объект, то клетка матрицы, соответствующая строкеи столбцу, заполняется целым числом в соответствии с табл. 1, а клетка, соответствующая строкеи столбцу, заполняется обратным числом. Если элементыиимеют равную важность, то элементы матрицыиприравниваются единице.

Если в задаче общее число критериев равно , а альтернатив, то в результате процедуры попарных сравнений будет построена матрицапарных сравнений критериев размераи матрицы() парных сравнений альтернатив по отдельным критериям, каждая размером.

3 этап.Для каждой матрицы парных сравнений() подсчитывается вектор собственных значений, соответствующий максимальному собственному значению матрицы. Затем этот вектор нормируется по формулеи получается вектор весовкритериев и вектора весов,, альтернатив. Результатами вычислений дополняют соответствующие матрицы парных сравнений.

Например, в случае трех альтернатив ,,дополненная матрица парных сравнений альтернатив по-у критерию будет выглядеть следующим образом (табл. 2):

Таблица 2

				Собственный вектор	Вектор весов

4 этап.Проверка согласованности суждений ЛПР.

Известно, что при большом числе попарно сравниваемых объектов человек может вести себя непоследовательно, ошибаться, допускать нетранзитивность сравнений. Поэтому МАИ включает проверку согласованности оценок, даваемых ЛПР при попарном сравнении критериев и альтернатив. В первую очередь в процессе решения задачи требуется контролировать, чтобы при заполнении всех матриц попарных сравнений для элементов матриц выполнялись условия обратной симметричностии совместимости.

Если первое условие автоматически учитывается при заполнении матриц парных сравнений, то второе условие практически всегда нарушается, поскольку элементы парных сравнений определяются ЛПР независимо. Поэтому возникает необходимость оценить ошибки, которые возникают вследствие несогласованности суждений. Доказано, что матрица парных сравнений является абсолютно согласованной тогда и только тогда, когда ее максимальное собственное значениеравно размерности матрицы, и при отклонении от идеальной согласованностипревышает размерность матрицы.

Для оценки согласованности сравнений вводятся специальные показатели согласованности:

(1) индекс согласованности , вычисляемый по формуле(здесь- размерность матрицы);

(2) отношение согласованности .

При подсчете отношения согласованности используется индекс средней согласованности , значения которого для матриц разной размерности приведены в табл. 3 (эти значения были вычислены экспериментальным путем и представляют собой математические ожидания случайного индекса согласованности, вычисленные на большой выборке случайно сгенерированных обратно симметричных матриц с элементами из шкалы).

Эмпирические индексы средней согласованности Таблица 3

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	0,00	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51

Предпочтения ЛПР считаются согласованными, если отношения согласованности, вычисленные для всех матриц попарных сравнений, не первышают 0,1 – 0,15. Если величина на каком- то этапе выходит за эти пределы, то это служит сигналом к ЛПР к проверке своих оценок. При неудовлетворительной согласованности оценок возможна частичная или полная реструктуризации всей проблемы. Полезными приемами, улучшающими согласованности оценок, являются группировка однотипных элементов, объединение зависимых критериев.

5 этап.На пятом этапе определяется наилучшая альтернатива. Для каждой альтернативы рассчитывается показатель качества по формуле:

.

Альтернатива, имеющая самый высокий показатель качества, считается наилучшей.